turno de cordero

Diferencia de energía de los estados electrónicos del átomo de hidrógeno no predicha por la ecuación de Dirac

Estructura fina de los niveles de energía en el hidrógeno: correcciones relativistas al modelo de Bohr

En física, el desplazamiento de Lamb , llamado así en honor a Willis Lamb , se refiere a una diferencia anómala de energía entre dos orbitales de electrones en un átomo de hidrógeno. La diferencia no fue predicha por la teoría y no puede derivarse de la ecuación de Dirac , que predice energías idénticas. Por lo tanto, el desplazamiento de Lamb se refiere a una desviación de la teoría que se observa en las diferentes energías contenidas en los orbitales ² S _1/2 y ² P _1/2 del átomo de hidrógeno .

El desplazamiento de Lamb es causado por interacciones entre los fotones virtuales creados a través de fluctuaciones de energía en el vacío y el electrón a medida que se mueve alrededor del núcleo de hidrógeno en cada uno de estos dos orbitales. Desde entonces, el desplazamiento de Lamb ha desempeñado un papel importante a través de las fluctuaciones de la energía del vacío en la predicción teórica de la radiación de Hawking procedente de los agujeros negros .

Este efecto se midió por primera vez en 1947 en el experimento de Lamb-Retherford sobre el espectro de microondas del hidrógeno ^[1] y esta medición proporcionó el estímulo para que la teoría de la renormalización manejara las divergencias. Fue el presagio de la electrodinámica cuántica moderna desarrollada por Julian Schwinger , Richard Feynman , Ernst Stueckelberg , Sin-Itiro Tomonaga y Freeman Dyson . Lamb ganó el Premio Nobel de Física en 1955 por sus descubrimientos relacionados con el desplazamiento de Lamb.

Importancia

En 1978, en el cumpleaños número 65 de Lamb, Freeman Dyson se dirigió a él de la siguiente manera: "Aquellos años en los que el cambio de Lamb era el tema central de la física, fueron años dorados para todos los físicos de mi generación. Ustedes fueron los primeros en ver que este pequeño Este cambio, tan esquivo y difícil de medir, aclararía nuestro pensamiento sobre las partículas y los campos". ^[2]

Derivación

Esta derivación heurística del cambio de nivel electrodinámico sigue el enfoque de Theodore A. Welton . ^{[3] [4]}

Las fluctuaciones en los campos eléctricos y magnéticos asociados con el vacío QED perturban el potencial eléctrico debido al núcleo atómico . Esta perturbación provoca una fluctuación en la posición del electrón , lo que explica el desplazamiento de energía. La diferencia de energía potencial está dada por

${\displaystyle \Delta V=V({\vec {r}}+\delta {\vec {r}})-V({\vec {r}})=\delta {\vec {r}}\cdot \nabla V({\vec {r}})+{\frac {1}{2}}(\delta {\vec {r}}\cdot \nabla )^{2}V({\vec {r}})+\cdots }$

Como las fluctuaciones son isotrópicas ,

${\displaystyle \langle \delta {\vec {r}}\rangle _{\rm {vac}}=0,}$

${\displaystyle \langle (\delta {\vec {r}}\cdot \nabla )^{2}\rangle _{\rm {vac}}={\frac {1}{3}}\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}\nabla ^{2}.}$

Así uno puede obtener

${\displaystyle \langle \Delta V\rangle ={\frac {1}{6}}\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}\left\langle \nabla ^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{\rm {at}}.}$

La ecuación clásica de movimiento para el desplazamiento de electrones ( δr ) _{k →} inducido por un modo único del campo del vector de onda k → y frecuencia ν es

${\displaystyle m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(\delta r)_{\vec {k}}=-eE_{\vec {k}},}$

y esto es válido sólo cuando la frecuencia ν es mayor que ν ₀ en la órbita de Bohr, . El electrón no puede responder al campo fluctuante si las fluctuaciones son menores que la frecuencia orbital natural del átomo. ${\displaystyle \nu >\pi c/a_{0}}$

Para el campo que oscila en ν ,

${\displaystyle \delta r(t)\cong \delta r(0)(e^{-i\nu t}+e^{i\nu t}),}$

por lo tanto

${\displaystyle (\delta r)_{\vec {k}}\cong {\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}E_{\vec {k}}={\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}{\mathcal {E}}_{\vec {k}}\left(a_{\vec {k}}e^{-i\nu t+i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}+h.c.\right)\qquad {\text{with}}\qquad {\mathcal {E}}_{\vec {k}}=\left({\frac {\hbar ck/2}{\epsilon _{0}\Omega }}\right)^{1/2},}$

donde es un gran volumen de normalización (el volumen de la hipotética "caja" que contiene el átomo de hidrógeno) y denota el conjugado hermitiano del término anterior. Por la suma de todo ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle h.c.}$ ${\displaystyle {\vec {k}},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}&=\sum _{\vec {k}}\left({\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}\right)^{2}\left\langle 0\left|(E_{\vec {k}})^{2}\right|0\right\rangle \\&=\sum _{\vec {k}}\left({\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}\right)^{2}\left({\frac {\hbar ck}{2\epsilon _{0}\Omega }}\right)\\&=2{\frac {\Omega }{(2\pi )^{3}}}4\pi \int dkk^{2}\left({\frac {e}{mc^{2}k^{2}}}\right)^{2}\left({\frac {\hbar ck}{2\epsilon _{0}\Omega }}\right)&&{\text{since continuity of }}{\vec {k}}{\text{ implies }}\sum _{\vec {k}}\to 2{\frac {\Omega }{(2\pi )^{3}}}\int d^{3}k\\&={\frac {1}{2\epsilon _{0}\pi ^{2}}}\left({\frac {e^{2}}{\hbar c}}\right)\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\int {\frac {dk}{k}}\end{aligned}}}$

Este resultado diverge cuando no hay límites sobre la integral (tanto en frecuencias grandes como pequeñas). Como se mencionó anteriormente, se espera que este método sea válido solo cuando , o de manera equivalente . También es válido sólo para longitudes de onda superiores a la longitud de onda Compton , o equivalente . Por lo tanto, se puede elegir el límite superior e inferior de la integral y estos límites hacen que el resultado converja. ${\displaystyle \nu >\pi c/a_{0}}$ ${\displaystyle k>\pi /a_{0}}$ ${\displaystyle k<mc/\hbar }$

${\displaystyle \langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\rm {vac}}\cong {\frac {1}{2\epsilon _{0}\pi ^{2}}}\left({\frac {e^{2}}{\hbar c}}\right)\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\ln {\frac {4\epsilon _{0}\hbar c}{e^{2}}}}$.

Para el orbital atómico y el potencial de Coulomb ,

${\displaystyle \left\langle \nabla ^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{\rm {at}}={\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int d{\vec {r}}\psi ^{*}({\vec {r}})\nabla ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)\psi ({\vec {r}})={\frac {e^{2}}{\epsilon _{0}}}|\psi (0)|^{2},}$

ya que se sabe que

${\displaystyle \nabla ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)=-4\pi \delta ({\vec {r}}).}$

Para los orbitales p , la función de onda no relativista desaparece en el origen (en el núcleo), por lo que no hay desplazamiento de energía. Pero para los orbitales s hay algún valor finito en el origen,

${\displaystyle \psi _{2S}(0)={\frac {1}{(8\pi a_{0}^{3})^{1/2}}},}$

donde el radio de bohr es

${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{me^{2}}}.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \left\langle \nabla ^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{\rm {at}}={\frac {e^{2}}{\epsilon _{0}}}|\psi _{2S}(0)|^{2}={\frac {e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}a_{0}^{3}}}}$.

Finalmente, la diferencia de energía potencial queda como:

${\displaystyle \langle \Delta V\rangle ={\frac {4}{3}}{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}{\frac {1}{8\pi a_{0}^{3}}}\ln {\frac {4\epsilon _{0}\hbar c}{e^{2}}}=\alpha ^{5}mc^{2}{\frac {1}{6\pi }}\ln {\frac {1}{\pi \alpha }},}$

¿ Dónde está la constante de estructura fina ? Este cambio es de aproximadamente 500 MHz, dentro de un orden de magnitud del cambio observado de 1057 MHz. Esto equivale a una energía de sólo 7,00 x 10^-25 J., o 4,37 x 10^-6 eV. ${\displaystyle \alpha }$

La derivación heurística de Welton del desplazamiento de Lamb es similar, pero distinta, al cálculo del término de Darwin utilizando Zitterbewegung , una contribución a la estructura fina que es de orden inferior que el desplazamiento de Lamb. ^{[5] : 80–81} ${\displaystyle \alpha }$

Experimento de Lamb-Retherford

En 1947, Willis Lamb y Robert Retherford llevaron a cabo un experimento utilizando técnicas de microondas para estimular transiciones de radiofrecuencia entre los niveles ² S _1/2 y ² P _1/2 de hidrógeno. ^[6] Al utilizar frecuencias más bajas que las de las transiciones ópticas, el ensanchamiento Doppler podría despreciarse (el ensanchamiento Doppler es proporcional a la frecuencia). La diferencia de energía que encontraron Lamb y Retherford fue un aumento de aproximadamente 1000 MHz (0,03 cm ⁻¹ ) del nivel ² S _{1/2 por encima del nivel} ² P _1/2 .

Esta diferencia particular es un efecto de un solo bucle de la electrodinámica cuántica y puede interpretarse como la influencia de fotones virtuales que han sido emitidos y reabsorbidos por el átomo. En electrodinámica cuántica el campo electromagnético está cuantificado y, al igual que el oscilador armónico en mecánica cuántica , su estado más bajo no es cero. Por tanto, existen pequeñas oscilaciones de punto cero que hacen que el electrón ejecute rápidos movimientos oscilatorios. El electrón se "borra" y cada valor de radio se cambia de r a r + δr (una perturbación pequeña pero finita).

Por lo tanto, el potencial de Coulomb se altera ligeramente y se elimina la degeneración de los dos niveles de energía. El nuevo potencial se puede aproximar (usando unidades atómicas ) de la siguiente manera:

${\displaystyle \langle E_{\mathrm {pot} }\rangle =-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\left\langle {\frac {1}{r+\delta r}}\right\rangle .}$

El desplazamiento Lamb en sí está dado por

${\displaystyle \Delta E_{\mathrm {Lamb} }=\alpha ^{5}m_{e}c^{2}{\frac {k(n,0)}{4n^{3}}}\ \mathrm {for} \ \ell =0\,}$

con k ( n , 0 ) alrededor de 13 variando ligeramente con n , y

${\displaystyle \Delta E_{\mathrm {Lamb} }=\alpha ^{5}m_{e}c^{2}{\frac {1}{4n^{3}}}\left[k(n,\ell )\pm {\frac {1}{\pi (j+{\frac {1}{2}})(\ell +{\frac {1}{2}})}}\right]\ \mathrm {for} \ \ell \neq 0\ \mathrm {and} \ j=\ell \pm {\frac {1}{2}},}$

con log( k ( n ,ℓ)) un número pequeño (aprox. −0,05) que hace que k ( n ,ℓ) esté cerca de la unidad.

Para obtener una derivación de Δ E _Lamb, consulte, por ejemplo: ^[7]

En el espectro del hidrógeno

En 1947, Hans Bethe fue el primero en explicar el desplazamiento de Lamb en el espectro del hidrógeno y sentó así las bases para el desarrollo moderno de la electrodinámica cuántica . Bethe pudo derivar el desplazamiento de Lamb implementando la idea de renormalización de masa, lo que le permitió calcular el desplazamiento de energía observado como la diferencia entre el desplazamiento de un electrón ligado y el desplazamiento de un electrón libre.^[8] El desplazamiento Lamb actualmente proporciona una medición de la constante de estructura fina α a mejor que una parte en un millón, lo que permite una prueba de precisión de la electrodinámica cuántica .

Ver también

• Portal de física

• Potencial de Uehling , primera aproximación al desplazamiento de Lamb
• Conferencia de Shelter Island
• Efecto Zeeman utilizado para medir el desplazamiento Lamb

Referencias

1. G Aruldhas (2009). "§15.15 Cambio de cordero". Mecánica cuántica (2ª ed.). Prentice-Hall de la India Pvt. Limitado. Ltd. pág. 404.ISBN​ 978-81-203-3635-3.
2. "Willis E. Lamb, Jr. 1913—2008" (PDF) . Memorias Biográficas de la Academia Nacional de Ciencias : 6. 2009.
3. Marlan Orvil Scully; Muhammad Suhail Zubairy (1997). Óptica Cuántica. Cambridge Reino Unido: Cambridge University Press. págs. 13-16. ISBN 0-521-43595-1.
4. Welton, Theodore A. (1 de noviembre de 1948). "Algunos efectos observables de las fluctuaciones mecánico-cuánticas del campo electromagnético". Revisión física . 74 (9): 1157-1167. Código bibliográfico : 1948PhRv...74.1157W. doi : 10.1103/PhysRev.74.1157. ISSN  0031-899X.
5. Itzykson, Claude ; Zuber, Jean-Bernard (2012). Teoría cuántica de campos . Publicaciones de Dover. ISBN 9780486134697. OCLC  868270376.
6. Cordero, Willis E .; Retherford, Robert C. (1947). "Estructura fina del átomo de hidrógeno mediante un método de microondas". Revisión física . 72 (3): 241–243. Código bibliográfico : 1947PhRv...72..241L. doi : 10.1103/PhysRev.72.241 .
7. Bethe, HA; Salpeter, EE (2013) [1957]. "c) Correcciones radiativas y de otro tipo §21. Estructura fina y desplazamiento Lamb". Mecánica cuántica de átomos de uno y dos electrones . Saltador. pag. 103.ISBN​ 978-3-662-12869-5.
8. Bethe, HA (1947). "El cambio electromagnético de los niveles de energía". Física. Rdo . 72 (4): 339–341. Código bibliográfico : 1947PhRv...72..339B. doi : 10.1103/PhysRev.72.339. S2CID  120434909.

Otras lecturas

• Smirnov, Boris M. (2003). Física de átomos e iones. Saltador. págs. 39–41. ISBN 0-387-95550-X.
• Scully, Missouri ; Zubairy, MS (1997). "§1.3 Cambio de cordero". Óptica cuántica . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 13-16. ISBN 0-521-43595-1.

enlaces externos

• Hans Bethe hablando sobre los cálculos de Lamb-shift en Web of Stories
• Biografía del Premio Nobel de Willis Lamb
• Conferencia Nobel de Willis Lamb: Estructura fina del átomo de hidrógeno