Teorema de Bernstein (polinomios)

Desigualdad matemática

En matemáticas , el teorema de Bernstein es una desigualdad que relaciona el módulo máximo de una función polinómica compleja en el disco unitario con el módulo máximo de su derivada en el disco unitario. Fue demostrado por Sergei Bernstein mientras trabajaba en la teoría de aproximación . ^[1]

Declaración

Sea el módulo máximo de una función arbitraria en , y sea su derivada. Entonces, para cada polinomio de grado tenemos ${\displaystyle \max _{|z|=1}|f(z)|}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle f'(z)}$ ${\displaystyle P(z)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \max _{|z|=1}|P'(z)|\leq n\max _{|z|=1}|P(z)|}$.

La desigualdad es la mejor posible, y la igualdad se cumple si y sólo si

${\displaystyle P(z)=\alpha z^{n},\ |\alpha |=\max _{|z|=1}|P(z)|}$.

^[2]

Prueba

Sea un polinomio de grado , y sea otro polinomio del mismo grado sin ceros en . Demostramos primero que si en , entonces en . ${\displaystyle P(z)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Q(z)}$ ${\displaystyle |z|\geq 1}$ ${\displaystyle |P(z)|<|Q(z)|}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle |P'(z)|<|Q'(z)|}$ ${\displaystyle |z|\geq 1}$

Por el teorema de Rouché , con tiene todos sus ceros en . En virtud del teorema de Gauss-Lucas , tiene todos sus ceros en también. De ello se deduce que en , de lo contrario podríamos elegir un con tal que tenga un cero en . ${\displaystyle P(z)+\varepsilon \ Q(z)}$ ${\displaystyle |\varepsilon |\geq 1}$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle P'(z)+\varepsilon \ Q'(z)}$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle |P'(z)|<|Q'(z)|}$ ${\displaystyle |z|\geq 1}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle |\varepsilon |\geq 1}$ ${\displaystyle P'(z)+\varepsilon Q'(z)}$ ${\displaystyle |z|\geq 1}$

Para un polinomio arbitrario de grado , obtenemos el Teorema de Bernstein aplicando el resultado anterior a los polinomios , donde es una constante arbitraria que excede . ${\displaystyle P(z)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Q(z)=Cz^{n}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \max _{|z|=1}|P(z)|}$

Desigualdad de Bernstein

En el análisis matemático , la desigualdad de Bernstein establece que en el plano complejo , dentro del disco de radio 1, el grado de un polinomio multiplicado por el valor máximo de un polinomio es un límite superior para el máximo similar de su derivada. Tomando la derivada k -ésima del teorema,

${\displaystyle \max _{|z|\leq 1}(|P^{(k)}(z)|)\leq {\frac {n!}{(n-k)!}}\cdot \max _{|z|\leq 1}(|P(z)|).}$

Resultados similares

Paul Erdős conjeturó que si no tiene ceros en , entonces . Esto fue demostrado por Peter Lax . ^[3] ${\displaystyle P(z)}$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\displaystyle \max _{|z|=1}|P'(z)|\leq {\frac {n}{2}}\max _{|z|=1}|P(z)|}$

MA Malik demostró que si no tiene ceros en para un dado , entonces . ^[4] ${\displaystyle P(z)}$ ${\displaystyle |z|<k}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle \max _{|z|=1}|P'(z)|\leq {\frac {n}{1+k}}\max _{|z|=1}|P(z)|}$

Véase también

• Desigualdad de los hermanos Markov
• Desigualdad de Remez

Referencias

1. RP Boas, Jr., Desigualdades para las derivadas de polinomios, Math. Mag. 42 (1969), 165–174.
2. MA Malik, MC Vong, Desigualdades relativas a la derivada de polinomios, Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 34 (1985), 422–426.
3. PD Lax, Prueba de una conjetura de P. Erdös sobre la derivada de un polinomio, Bull. Amer. Math. Soc. 50 (1944), 509–513.
4. MA Malik, Sobre la derivada de un polinomio J. London Math. Soc (2) 1 (1969), 57–60.

Lectura adicional

• Frappier, Clément (2004). "Nota sobre la desigualdad de Bernstein para la tercera derivada de un polinomio" (PDF) . J. Inequal. Pure Appl. Math . 5 (1). Artículo n.º 7. ISSN  1443-5756. Zbl  1060.30003.
• Natanson, IP (1964). Teoría de funciones constructivas. Volumen I: Aproximación uniforme . Traducido por Alexis N. Obolensky. Nueva York: Frederick Ungar. MR  0196340. Zbl  0133.31101.
• Rahman, QI; Schmeisser, G. (2002). Teoría analítica de polinomios . Monografías de la London Mathematical Society. Nueva serie. Vol. 26. Oxford: Oxford University Press . ISBN. 0-19-853493-0.Zbl 1072.30006  .