Descripciones matemáticas de la opacidad.

Cuando una onda electromagnética viaja a través de un medio en el que se atenúa (esto se denomina medio " opaco " o " atenuante "), sufre una desintegración exponencial como lo describe la ley de Beer-Lambert . Sin embargo, hay muchas formas posibles de caracterizar la onda y la rapidez con la que se atenúa. Este artículo describe las relaciones matemáticas entre:

• coeficiente de atenuación ;
• profundidad de penetración y profundidad de la piel ;
• número de onda angular complejo y constante de propagación ;
• índice de refracción complejo ;
• permitividad eléctrica compleja ;
• Conductividad de CA ( susceptancia ).

Tenga en cuenta que en muchos de estos casos existen múltiples definiciones y convenciones de uso común que entran en conflicto. Este artículo no es necesariamente exhaustivo ni universal.

Antecedentes: onda no atenuada

Descripción

Una onda electromagnética que se propaga en la dirección + z se describe convencionalmente mediante la ecuación: donde $${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,}$$

• E ₀ es un vector en el plano x - y , con las unidades de un campo eléctrico (el vector es en general un vector complejo , para permitir todas las polarizaciones y fases posibles);
• ω es la frecuencia angular de la onda;
• k es el número de onda angular de la onda;
• Re indica parte real ;
• e es el número de Euler .

La longitud de onda es, por definición, Para una frecuencia determinada, la longitud de onda de una onda electromagnética se ve afectada por el material en el que se propaga. La longitud de onda del vacío (la longitud de onda que tendría una onda de esta frecuencia si se propagara en el vacío) es donde c es la velocidad de la luz en el vacío. $${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}.}$$ $${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {2\pi \mathrm {c} }{\omega }},}$$

En ausencia de atenuación, el índice de refracción (también llamado índice de refracción ) es la relación entre estas dos longitudes de onda, es decir, la intensidad de la onda es proporcional al cuadrado de la amplitud, promediada en el tiempo sobre muchas oscilaciones de la onda. lo que equivale a: $${\displaystyle n={\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}={\frac {\mathrm {c} k}{\omega }}.}$$ $${\displaystyle I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}.}$$

Tenga en cuenta que esta intensidad es independiente de la ubicación z , una señal de que esta onda no se atenúa con la distancia. Definimos I ₀ para igualar esta intensidad constante: $${\displaystyle I(z)=I_{0}\propto |\mathbf {E} _{0}|^{2}.}$$

Ambigüedad conjugada compleja

Porque cualquiera de las expresiones se puede usar indistintamente. ^[1] Generalmente, los físicos y químicos usan la convención de la izquierda (con e ^{− iωt} ), mientras que los ingenieros eléctricos usan la convención de la derecha (con e ^{+ iωt} , por ejemplo ver impedancia eléctrica ). La distinción es irrelevante para una onda no atenuada, pero adquiere relevancia en algunos casos a continuación. Por ejemplo, existen dos definiciones de índice de refracción complejo , una con una parte imaginaria positiva y otra con una parte imaginaria negativa, derivadas de dos convenciones diferentes. ^[2] Las dos definiciones son conjugados complejos entre sí. $${\displaystyle \operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]=\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{0}^{*}e^{-i(kz-\omega t)}\right]\!,}$$

Coeficiente de atenuación

Una forma de incorporar la atenuación en la descripción matemática de la onda es mediante un coeficiente de atenuación : ^[3] donde α es el coeficiente de atenuación. $${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=e^{-\alpha z/2}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,}$$

Entonces la intensidad de la onda satisface: es decir $${\displaystyle I(z)\propto \left|e^{-\alpha z/2}\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-\alpha z},}$$ $${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-\alpha z}.}$$

El coeficiente de atenuación, a su vez, está simplemente relacionado con varias otras cantidades:

• el coeficiente de absorción es esencialmente (pero no siempre) sinónimo de coeficiente de atenuación; consulte el coeficiente de atenuación para obtener más detalles;
• el coeficiente de absorción molar o coeficiente de extinción molar , también llamado absortividad molar , es el coeficiente de atenuación dividido por la molaridad (y normalmente multiplicado por ln(10), es decir, decádico); consulte la ley de Beer-Lambert y la absortividad molar para obtener más detalles;
• coeficiente de atenuación de masa , también llamado coeficiente de extinción de masa , es el coeficiente de atenuación dividido por la densidad; consulte el coeficiente de atenuación de masa para obtener más detalles;
• la sección transversal de absorción y la sección transversal de dispersión están relacionadas cuantitativamente con el coeficiente de atenuación; consulte la sección transversal de absorción y la sección transversal de dispersión para obtener más detalles;
• El coeficiente de atenuación también se denomina a veces opacidad ; ver opacidad (óptica) .

Profundidad de penetración y profundidad de la piel.

Profundidad de penetración

Un enfoque muy similar utiliza la profundidad de penetración : ^[4] donde δpen es la profundidad de penetración _. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (z,t)&=e^{-z/(2\delta _{\mathrm {pen} })}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,\\I(z)&=I_{0}e^{-z/\delta _{\mathrm {pen} }},\end{aligned}}}$$

Profundo en la piel

La profundidad de la piel se define de modo que la onda satisfaga: ^{[5] [6]} donde δ _piel es la profundidad de la piel. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (z,t)&=e^{-z/\delta _{\mathrm {skin} }}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,\\I(z)&=I_{0}e^{-2z/\delta _{\mathrm {skin} }},\end{aligned}}}$$

Físicamente, la profundidad de penetración es la distancia que la onda puede recorrer antes de que su intensidad se reduzca en un factor de 1/ e ≈ 0,37 . La profundidad de la piel es la distancia que puede recorrer la onda antes de que su amplitud se reduzca en ese mismo factor.

El coeficiente de absorción está relacionado con la profundidad de penetración y la profundidad de la piel mediante $${\displaystyle \alpha =1/\delta _{\mathrm {pen} }=2/\delta _{\mathrm {skin} }.}$$

Número de onda angular complejo y constante de propagación.

Número de onda angular complejo

Otra forma de incorporar atenuación es utilizar el número de onda angular complejo : ^{[5] [7]} donde k es el número de onda angular complejo. $${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i({\underline {k}}z-\omega t)}\right]\!,}$$

Entonces la intensidad de la onda satisface: es decir $${\displaystyle I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{i({\underline {k}}z-\omega t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\operatorname {Im} ({\underline {k}})z},}$$ $${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2\operatorname {Im} ({\underline {k}})z}.}$$

Por lo tanto, comparando esto con el enfoque del coeficiente de absorción, ^[3] $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} ({\underline {k}})&=k,&\operatorname {Im} ({\underline {k}})&=\alpha /2.\end{aligned}}}$$

De acuerdo con la ambigüedad señalada anteriormente, algunos autores utilizan la definición de conjugado complejo : ^[8] $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} ({\underline {k}})&=k,&\operatorname {Im} ({\underline {k}})&=-\alpha /2.\end{aligned}}}$$

Constante de propagación

Un enfoque estrechamente relacionado, especialmente común en la teoría de líneas de transmisión , utiliza la constante de propagación : ^{[9] [10]} donde γ es la constante de propagación. $${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{-\gamma z+i\omega t}\right]\!,}$$

Entonces la intensidad de la onda satisface: es decir $${\displaystyle I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{-\gamma z+i\omega t}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\operatorname {Re} (\gamma )z},}$$ $${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2\operatorname {Re} (\gamma )z}.}$$

Comparando las dos ecuaciones, la constante de propagación y el número de onda angular complejo están relacionados por: donde * denota conjugación compleja. Esta cantidad también se denomina constante de atenuación , ^{[8] [11]} a veces denominada α . Esta cantidad también se llama constante de fase , a veces denotada como β . ^[11] $${\displaystyle \gamma =i{\underline {k}}^{*},}$$ $${\displaystyle \operatorname {Re} (\gamma )=\operatorname {Im} ({\underline {k}})=\alpha /2.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Im} (\gamma )=\operatorname {Re} ({\underline {k}})=k.}$$

Desafortunadamente, la notación no siempre es consistente. Por ejemplo, a veces se le llama "constante de propagación" en lugar de γ , que intercambia las partes real e imaginaria. ^[12] ${\displaystyle {\underline {k}}}$

Índice de refracción complejo

Recuerde que en medios no atenuantes, el índice de refracción y el número de onda angular están relacionados por: donde $${\displaystyle n={\frac {\mathrm {c} }{v}}={\frac {\mathrm {c} k}{\omega }},}$$

• n es el índice de refracción del medio;
• c es la velocidad de la luz en el vacío;
• v es la velocidad de la luz en el medio.

Por lo tanto, un índice de refracción complejo puede definirse en términos del número de onda angular complejo definido anteriormente: donde n es el índice de refracción del medio. $${\displaystyle {\underline {n}}={\frac {\mathrm {c} {\underline {k}}}{\omega }}.}$$

En otras palabras, se requiere que la onda satisfaga $${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i\omega ({\underline {n}}z/\mathrm {c} -t)}\right]\!.}$$

Entonces la intensidad de la onda satisface: es decir $${\displaystyle I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{i\omega ({\underline {n}}z/\mathrm {c} -t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\omega \operatorname {Im} ({\underline {n}})z/\mathrm {c} },}$$ $${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2\omega \operatorname {Im} ({\underline {n}})z/\mathrm {c} }.}$$

En comparación con la sección anterior, tenemos que esta cantidad a menudo (ambiguamente) se llama simplemente índice de refracción . Esta cantidad se llama coeficiente de extinción y se denota por κ . $${\displaystyle \operatorname {Re} ({\underline {n}})={\frac {\mathrm {c} k}{\omega }}.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Im} ({\underline {n}})={\frac {\mathrm {c} \alpha }{2\omega }}={\frac {\lambda _{0}\alpha }{4\pi }}.}$$

De acuerdo con la ambigüedad señalada anteriormente, algunos autores utilizan la definición conjugada compleja, donde el coeficiente de extinción (aún positivo) es menos la parte imaginaria de . ^{[2] [13]} ${\displaystyle {\underline {n}}}$

Permitividad eléctrica compleja

En medios no atenuantes, la permitividad eléctrica y el índice de refracción están relacionados por: donde $${\displaystyle n=\mathrm {c} {\sqrt {\mu \varepsilon }}\quad {\text{(SI)}},\qquad n={\sqrt {\mu \varepsilon }}\quad {\text{(cgs)}},}$$

• μ es la permeabilidad magnética del medio;
• ε es la permitividad eléctrica del medio.
• "SI" se refiere al sistema de unidades SI , mientras que "cgs" se refiere a las unidades gaussianas-cgs .

En medios atenuantes, se utiliza la misma relación, pero se permite que la permitividad sea un número complejo , llamado permitividad eléctrica compleja : ^[3] donde ε es la permitividad eléctrica compleja del medio. $${\displaystyle {\underline {n}}=\mathrm {c} {\sqrt {\mu {\underline {\varepsilon }}}}\quad {\text{(SI)}},\qquad {\underline {n}}={\sqrt {\mu {\underline {\varepsilon }}}}\quad {\text{(cgs)}},}$$

Al elevar al cuadrado ambos lados y utilizar los resultados de la sección anterior se obtiene: ^[7] $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} ({\underline {\varepsilon }})&={\frac {\mathrm {c} ^{2}\varepsilon _{0}}{\omega ^{2}\mu /\mu _{0}}}\!\left(k^{2}-{\frac {\alpha ^{2}}{4}}\right)\quad {\text{(SI)}},\quad &\operatorname {Re} ({\underline {\varepsilon }})&={\frac {\mathrm {c} ^{2}}{\omega ^{2}\mu }}\!\left(k^{2}-{\frac {\alpha ^{2}}{4}}\right)\quad {\text{(cgs)}},\\\operatorname {Im} ({\underline {\varepsilon }})&={\frac {\mathrm {c} ^{2}\varepsilon _{0}}{\omega ^{2}\mu /\mu _{0}}}k\alpha \quad {\text{(SI)}},&\operatorname {Im} ({\underline {\varepsilon }})&={\frac {\mathrm {c} ^{2}}{\omega ^{2}\mu }}k\alpha \quad {\text{(cgs)}}.\end{aligned}}}$$

Conductividad de CA

Otra forma de incorporar atenuación es a través de la conductividad eléctrica, de la siguiente manera. ^[14]

Una de las ecuaciones que rigen la propagación de ondas electromagnéticas es la ley de Maxwell-Amperios : ¿dónde está el campo de desplazamiento ? $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J_{f}} +{\frac {\mathrm {d} \mathbf {D} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{\mathrm {c} }}\mathbf {J_{f}} +{\frac {1}{\mathrm {c} }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {D} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(cgs)}},}$$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$

Conectando la ley de Ohm y la definición de permitividad (real) donde σ es la conductividad eléctrica (real, pero dependiente de la frecuencia), llamada conductividad de CA. $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\sigma \mathbf {E} +\varepsilon {\frac {\mathrm {d} \mathbf {E} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi \sigma }{\mathrm {c} }}\mathbf {E} +{\frac {\varepsilon }{\mathrm {c} }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {E} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(cgs)}},}$$

Con dependencia del tiempo sinusoidal de todas las cantidades, es decir, el resultado es $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {H} &=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {H} _{0}e^{-i\omega t}\right]\!,\\\mathbf {E} &=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{-i\omega t}\right]\!,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} _{0}=-i\omega \mathbf {E} _{0}\!\left(\varepsilon +i{\frac {\sigma }{\omega }}\right)\quad {\text{(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} _{0}={\frac {-i\omega }{\mathrm {c} }}\mathbf {E} _{0}\!\left(\varepsilon +i{\frac {4\pi \sigma }{\omega }}\right)\quad {\text{(cgs)}}.}$$

Si la corriente no se incluyera explícitamente (mediante la ley de Ohm), sino sólo implícitamente (mediante una permitividad compleja), la cantidad entre paréntesis sería simplemente la permitividad eléctrica compleja. Por lo tanto, en comparación con la sección anterior, la conductividad de CA satisface ${\displaystyle \mathbf {J_{f}} }$ $${\displaystyle {\underline {\varepsilon }}=\varepsilon +i{\frac {\sigma }{\omega }}\quad {\text{(SI)}},\qquad {\underline {\varepsilon }}=\varepsilon +i{\frac {4\pi \sigma }{\omega }}\quad {\text{(cgs)}}.}$$ $${\displaystyle \sigma ={\frac {k\alpha }{\omega \mu }}\quad {\text{(SI)}},\qquad \sigma ={\frac {k\alpha \mathrm {c} ^{2}}{4\pi \omega \mu }}\quad {\text{(cgs)}}.}$$

Notas

1. Notas complementarias de MIT OpenCourseWare 6.007: convenciones de signos en ondas electromagnéticas (EM)
2. Para conocer la definición de índice de refracción complejo con una parte imaginaria positiva, consulte Propiedades ópticas de los sólidos, de Mark Fox, p. 6. Para la definición de índice de refracción complejo con una parte imaginaria negativa, consulte Handbook of infrarrojos óptico materiales, por Paul Klocek, p. 588.
3. Griffiths, sección 9.4.3.
4. Compendio de terminología química de la IUPAC
5. Griffiths, sección 9.4.1.
6. Jackson, Sección 5.18A
7. Jackson, Sección 7.5.B
8. Lifante, Ginés (2003). Fotónica integrada. pag. 35.ISBN​ 978-0-470-84868-5.
9. "Constante de propagación", en Glosario ATIS Telecom 2007
10. PW Hawkes; B. Kazán (27 de marzo de 1995). Imagen avanzada y física electrónica. vol. 92. pág. 93.ISBN​ 978-0-08-057758-6.
11. S. Sivanagaraju (1 de septiembre de 2008). Transmisión y Distribución de Energía Eléctrica. pag. 132.ISBN​ 9788131707913.
12. Véase, por ejemplo, Enciclopedia de física y tecnología láser.
13. Pankove, págs. 87–89
14. Jackson, sección 7.5C

Referencias

• Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica (3ª ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
• Griffiths, David J. (1998). Introducción a la Electrodinámica (3ª ed.) . Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• JI Pankové (1971). Procesos ópticos en semiconductores . Nueva York: Dover Publications Inc.