La descomposición ortogonal adecuada es un método numérico que permite reducir la complejidad de simulaciones intensivas por computadora, como la dinámica de fluidos computacional y el análisis estructural (como simulaciones de accidentes ). Normalmente en dinámica de fluidos y análisis de turbulencias , se utiliza para reemplazar las ecuaciones de Navier-Stokes por modelos más simples de resolver. [1]
Pertenece a una clase de algoritmos llamados reducción del orden del modelo (o, en resumen, reducción del modelo ). Básicamente, lo que hace es entrenar un modelo basado en datos de simulación. En esta medida, se puede asociar con el campo del aprendizaje automático .
El principal uso de POD es descomponer un campo físico (como presión, temperatura en dinámica de fluidos o tensión y deformación en análisis estructural), en función de las diferentes variables que influyen en su comportamiento físico. Como su nombre indica, está operando una descomposición ortogonal junto con los componentes principales del campo. Como tal, se asimila al análisis de componentes principales de Pearson en el campo de la estadística, o la descomposición en valores singulares en álgebra lineal porque se refiere a valores propios y vectores propios de un campo físico. En esos dominios, se asocia con la investigación de Karhunen [2] y Loève, [3] y su teorema de Karhunen-Loève .
La primera idea detrás de la descomposición ortogonal adecuada (POD), tal como se formuló originalmente en el dominio de la dinámica de fluidos para analizar turbulencias, es descomponer un campo vectorial aleatorio u(x, t) en un conjunto de funciones espaciales deterministas Φ k ( x ) modulado por coeficientes de tiempo aleatorios a k ( t ) de modo que:
El primer paso es muestrear el campo vectorial durante un período de tiempo en lo que llamamos instantáneas (como se muestra en la imagen de las instantáneas del POD). Este método de instantánea [4] promedia las muestras en la dimensión espacial n y las correlaciona entre sí a lo largo de las muestras de tiempo p :
El siguiente paso es calcular la matriz de covarianza C
Luego calculamos los valores propios y los vectores propios de C y los ordenamos desde el valor propio más grande al más pequeño.
Obtenemos n valores propios λ1,...,λn y un conjunto de n vectores propios dispuestos como columnas en una matriz Φ de n × n:
