Modelado de turbulencia

Uso de modelos matemáticos para simular flujo turbulento

Una simulación de un modelo físico de avión en túnel de viento.

En dinámica de fluidos , el modelado de turbulencia es la construcción y el uso de un modelo matemático para predecir los efectos de la turbulencia . Los flujos turbulentos son comunes en la mayoría de los escenarios de la vida real. A pesar de décadas de investigación, no existe una teoría analítica para predecir la evolución de estos flujos turbulentos. Las ecuaciones que gobiernan los flujos turbulentos solo se pueden resolver directamente para casos simples de flujo. Para la mayoría de los flujos turbulentos de la vida real, las simulaciones CFD utilizan modelos turbulentos para predecir la evolución de la turbulencia. Estos modelos de turbulencia son ecuaciones constitutivas simplificadas que predicen la evolución estadística de los flujos turbulentos. ^[1]

Problema de cierre

Las ecuaciones de Navier-Stokes gobiernan la velocidad y la presión de un flujo de fluido. En un flujo turbulento, cada una de estas cantidades se puede descomponer en una parte media y una parte fluctuante. Al promediar las ecuaciones se obtienen las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds (RANS) , que gobiernan el flujo medio. Sin embargo, la no linealidad de las ecuaciones de Navier-Stokes significa que las fluctuaciones de velocidad aún aparecen en las ecuaciones RANS, en el término no lineal de la aceleración convectiva. Este término se conoce como la tensión de Reynolds , . ^[2] Su efecto sobre el flujo medio es como el de un término de tensión, como la de la presión o la viscosidad. ${\displaystyle -\rho {\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}}$ ${\displaystyle R_{ij}}$

Para obtener ecuaciones que contengan únicamente la velocidad y la presión medias, necesitamos cerrar las ecuaciones RANS modelando el término de tensión de Reynolds como una función del flujo medio, eliminando cualquier referencia a la parte fluctuante de la velocidad. Este es el problema de cierre . ${\displaystyle R_{ij}}$

Viscosidad de remolino

Joseph Valentin Boussinesq fue el primero en abordar el problema del cierre, ^[3] introduciendo el concepto de viscosidad de remolino . En 1877 Boussinesq propuso relacionar las tensiones de turbulencia con el flujo medio para cerrar el sistema de ecuaciones. Aquí se aplica la hipótesis de Boussinesq para modelar el término de tensión de Reynolds. Nótese que se ha introducido una nueva constante de proporcionalidad , la viscosidad de remolino de turbulencia (cinemática) . Los modelos de este tipo se conocen como modelos de viscosidad de remolino (EVM). ${\displaystyle \nu _{t}>0}$

$${\displaystyle -{\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}=\nu _{t}\left({\frac {\partial {\overline {v_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {v_{j}}}}{\partial x_{i}}}\right)-{\frac {2}{3}}k\delta _{ij}}$$que se puede escribir en forma abreviada como donde $${\displaystyle -{\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}=2\nu _{t}S_{ij}-{\tfrac {2}{3}}k\delta _{ij}}$$

• ${\displaystyle S_{ij}}$es la tasa media del tensor de deformación
• ${\displaystyle \nu _{t}}$es la viscosidad del remolino de turbulencia (cinemática)
• ${\displaystyle k={\tfrac {1}{2}}{\overline {v_{i}'v_{i}'}}}$¿Es la energía cinética de la turbulencia?
• y es el delta de Kronecker . ${\displaystyle \delta _{ij}}$

En este modelo, las tensiones de turbulencia adicionales se dan aumentando la viscosidad molecular con una viscosidad de remolino. ^[4] Esta puede ser una viscosidad de remolino constante simple (que funciona bien para algunos flujos de corte libre como chorros axisimétricos, chorros 2-D y capas de mezcla).

La hipótesis de Boussinesq –aunque no fue explícitamente enunciada por Boussinesq en ese momento– consiste efectivamente en la suposición de que el tensor de tensión de Reynolds está alineado con el tensor de deformación del flujo medio (es decir: que las tensiones de corte debidas a la turbulencia actúan en la misma dirección que las tensiones de corte producidas por el flujo promedio). Desde entonces se ha descubierto que es significativamente menos precisa de lo que la mayoría de los profesionales supondrían. ^[5] Aun así, los modelos de turbulencia que emplean la hipótesis de Boussinesq han demostrado un valor práctico significativo. En casos con capas de corte bien definidas, esto probablemente se deba al predominio de los componentes de corte en la dirección de la corriente, de modo que los errores relativos considerables en los componentes normales al flujo siguen siendo insignificantes en términos absolutos . Más allá de esto, la mayoría de los modelos de turbulencia de viscosidad de remolino contienen coeficientes que están calibrados contra mediciones y, por lo tanto, producen resultados generales razonablemente precisos para campos de flujo de tipo similar al utilizado para la calibración.

El concepto de longitud de mezcla de Prandtl

Más tarde, Ludwig Prandtl introdujo el concepto adicional de longitud de mezcla, ^[6] junto con la idea de una capa límite . Para flujos turbulentos limitados por la pared, la viscosidad de remolino debe variar con la distancia desde la pared, de ahí la adición del concepto de "longitud de mezcla". En el modelo de flujo limitado por la pared más simple, la viscosidad de remolino se da por la ecuación: donde $${\displaystyle \nu _{t}=\left|{\frac {\partial u}{\partial y}}\right|l_{m}^{2}}$$

• ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}}$es la derivada parcial de la velocidad de la corriente (u) con respecto a la dirección normal a la pared (y)
• ${\displaystyle l_{m}}$es la longitud de mezcla.

Este modelo simple es la base de la " ley de la pared ", que es un modelo sorprendentemente preciso para campos de flujo delimitados por paredes, unidos (no separados) con pequeños gradientes de presión .

Con el tiempo han evolucionado modelos de turbulencia más generales , y la mayoría de los modelos de turbulencia modernos están dados por ecuaciones de campo similares a las ecuaciones de Navier-Stokes .

Modelo de Smagorinsky para la viscosidad de remolino a escala subcuadrícula

Joseph Smagorinsky fue el primero en proponer una fórmula para la viscosidad de remolino en modelos de simulación de grandes remolinos , ^[7] basada en las derivadas locales del campo de velocidad y el tamaño de la cuadrícula local:

${\displaystyle \nu _{t}=\Delta x\Delta y{\sqrt {\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)^{2}}}}$

En el contexto de la simulación de grandes remolinos, el modelado de la turbulencia se refiere a la necesidad de parametrizar la tensión a escala subcuadrícula en términos de características del campo de velocidad filtrado. Este campo se denomina modelado a escala subcuadrícula.

Spalart–Allmaras,a–ε ya–modelos ω

La hipótesis de Boussinesq se emplea en los modelos Spalart–Allmaras (S–A), k –ε ( k –epsilon) y k –ω ( k –omega) y ofrece un cálculo de costo relativamente bajo para la viscosidad de turbulencia . El modelo S–A utiliza solo una ecuación adicional para modelar el transporte de la viscosidad de turbulencia, mientras que los modelos k –ε y k –ω utilizan dos. ${\displaystyle \nu _{t}}$

Modelos comunes

A continuación se presenta una breve descripción general de los modelos comúnmente empleados en aplicaciones de ingeniería modernas.

• Spalart–Allmaras (S-A)
  El modelo de Spalart-Allmaras ^[8] es un modelo de una ecuación que resuelve una ecuación de transporte modelada para la viscosidad cinemática de turbulencia de remolino. El modelo de Spalart-Allmaras fue diseñado específicamente para aplicaciones aeroespaciales que involucran flujos limitados por paredes y ha demostrado dar buenos resultados para capas límite sujetas a gradientes de presión adversos. También está ganando popularidad en aplicaciones de turbomáquinas. ^{[ cita requerida ]}
• k –ε ( k –épsilon)
  El modelo de turbulencia K-epsilon (k-ε) ^[9] es el modelo más común utilizado en dinámica de fluidos computacional (CFD) para simular las características medias del flujo en condiciones de flujo turbulento. Es un modelo de dos ecuaciones que proporciona una descripción general de la turbulencia mediante dos ecuaciones de transporte (EDP). El impulso original para el modelo K-epsilon fue mejorar el modelo de longitud de mezcla, así como encontrar una alternativa a la prescripción algebraica de escalas de longitud turbulenta en flujos de complejidad moderada a alta.
• k -ω ( k -omega)
  En dinámica de fluidos computacional, el modelo de turbulencia k–omega (k–ω) ^[10] es un modelo de turbulencia de dos ecuaciones común que se utiliza como cierre para las ecuaciones de Navier–Stokes promediadas por Reynolds (ecuaciones RANS). El modelo intenta predecir la turbulencia mediante dos ecuaciones diferenciales parciales para dos variables, k y ω, siendo la primera variable la energía cinética de turbulencia (k) mientras que la segunda (ω) es la tasa específica de disipación (de la energía cinética de turbulencia k en energía térmica interna).
• SST (Transporte de esfuerzo cortante de Menter)
  El modelo de turbulencia SST (Menter's shear stress transport) ^[11] es un modelo de turbulencia de viscosidad de remolino de dos ecuaciones ampliamente utilizado y robusto en dinámica de fluidos computacional. El modelo combina el modelo de turbulencia k-omega y el modelo de turbulencia k-epsilon de manera que el k-omega se utiliza en la región interna de la capa límite y cambia al k-epsilon en el flujo de cizallamiento libre.
• Modelo de ecuación de tensión de Reynolds

  El modelo de ecuación de tensión de Reynolds (MSR), también conocido como modelo de cierre de segundo momento, ^[12] es el enfoque de modelado de turbulencia clásico más completo. Los modelos populares basados ​​en viscosidad de remolino como el modelo k – ε ( k – épsilon) y los modelos k – ω ( k – omega) tienen deficiencias significativas en flujos de ingeniería complejos. Esto surge debido al uso de la hipótesis de viscosidad de remolino en su formulación. Por ejemplo, en flujos con altos grados de anisotropía, curvatura significativa de la línea de corriente, separación de flujo, zonas de flujo recirculante o flujos influenciados por efectos rotacionales, el rendimiento de dichos modelos es insatisfactorio. ^[13] En tales flujos, los modelos de ecuación de tensión de Reynolds ofrecen una precisión mucho mejor. ^[14]

  Los cierres basados ​​en la viscosidad de remolino no pueden explicar el retorno a la isotropía de la turbulencia, ^[15] observado en flujos turbulentos en descomposición. Los modelos basados ​​en la viscosidad de remolino no pueden replicar el comportamiento de los flujos turbulentos en el límite de distorsión rápida, ^[16] donde el flujo turbulento se comporta esencialmente como un medio elástico. ^[17]

Referencias

Notas

1. Pope, Stephen (2000). Flujos turbulentos .
2. Andersson, Bengt; et al. (2012). Dinámica de fluidos computacional para ingenieros . Cambridge: Cambridge University Press. pág. 83. ISBN 978-1-107-01895-2.
3. Boussinesq, José (1903). Boussinesq, J. (1903). Thōrie analytique de la chaleur mise en harmonie avec la thermodynamique et avec la thōrie mc̄anique de la lumi_re: Refroidissement et c̄hauffement par rayonnement, conductibilit ̄des tiges, lames et masses cristallines, courants de convection, thōrie mc̄anique de la lumi_re . Gauthier-Villars.
4. John J. Bertin; Jacques Periaux; Josef Ballmann (1992), Avances en hipersónica: modelado de flujos hipersónicos, Springer, ISBN 9780817636630
5. François G. Schmitt (2007), "Acerca de la hipótesis de la viscosidad turbulenta de Boussinesq: observaciones históricas y una evaluación directa de su validez", Comptes Rendus Mécanique , 335 (9–10): 617–627, doi :10.1016/j.crme.2007.08.004, hdl : 20.500.12210/73178 , S2CID  32637068
6. Prandtl, Ludwig (1925). "Bericht úber Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz". Z. Angew. Matemáticas. Mec . 5 (2): 136. Código bibliográfico : 1925ZaMM....5..136P. doi :10.1002/zamm.19250050212.
7. Smagorinsky, Joseph (1963). "Smagorinsky, Joseph. "Experimentos de circulación general con las ecuaciones primitivas: I. El experimento básico". Monthly Weather Review . 91 (3): 99–164. Bibcode :1963MWRv...91...99S. doi : 10.1175/1520-0493(1963)091<0099:GCEWTP>2.3.CO;2 .
8. Spalart, Philippe R.; Allmaras, Steven R. (1992). "Un modelo de turbulencia de una ecuación para flujos aerodinámicos". 30.ª Reunión y exposición de ciencias aeroespaciales, AIAA . doi :10.2514/6.1992-439.
9. Hanjalic, K.; Launder, B. (1972). "Un modelo de tensión de Reynolds de la turbulencia y su aplicación a flujos de cizallamiento delgados". Journal of Fluid Mechanics . 52 (4): 609–638. Bibcode :1972JFM....52..609H. doi :10.1017/S002211207200268X. S2CID  122631170.
10. Wilcox, DC (2008). "Formulación del modelo de turbulencia k-omega revisitado". AIAA Journal . 46 (11): 2823–2838. Bibcode :2008AIAAJ..46.2823W. doi :10.2514/1.36541.
11. Menter, FR (1994). "Modelos de turbulencia de viscosidad de remolino de dos ecuaciones para aplicaciones de ingeniería" (PDF) . AIAA Journal . 32 (8): 1598–1605. Bibcode :1994AIAAJ..32.1598M. doi :10.2514/3.12149. S2CID  120712103.^{[ enlace muerto ]}
12. Hanjalić, Hanjalić; Launder, Brian (2011). Modelado de la turbulencia en la ingeniería y el medio ambiente: rutas de segundo momento hacia el cierre .
13. Mishra, Aashwin; Girimaji, Sharath (2013). "Transferencia de energía entre componentes en turbulencia homogénea incompresible: física multipunto y adaptabilidad a cierres de un punto". Journal of Fluid Mechanics . 731 : 639–681. Bibcode :2013JFM...731..639M. doi :10.1017/jfm.2013.343. S2CID  122537381.
14. Pope, Stephen. "Flujos turbulentos". Cambridge University Press, 2000.
15. Lumley, John; Newman, Gary (1977). "El retorno a la isotropía de la turbulencia homogénea". Journal of Fluid Mechanics . 82 : 161–178. Bibcode :1977JFM....82..161L. doi :10.1017/s0022112077000585. S2CID  39228898.
16. Mishra, Aashwin; Girimaji, Sharath (2013). "Transferencia de energía entre componentes en turbulencia homogénea incompresible: física multipunto y adaptabilidad a cierres de un punto". Journal of Fluid Mechanics . 731 : 639–681. Bibcode :2013JFM...731..639M. doi :10.1017/jfm.2013.343. S2CID  122537381.
17. Sagaut, Pierre; Cambon, Claude (2008). Dinámica de Turbulencias Homogéneas .

Otro

• Absi, R. (2019) "Perfiles de velocidad y viscosidad de vórtices en flujos de canales turbulentos completamente desarrollados" Fluid Dyn (2019) 54: 137. https://doi.org/10.1134/S0015462819010014
• Absi, R. (2021) "Reinvestigación del perfil de viscosidad de remolino en forma parabólica para flujos de superficie libre" Hydrology 2021, 8(3), 126. https://doi.org/10.3390/hydrology8030126
• Townsend, AA (1980) "La estructura del flujo turbulento por cizallamiento", 2.ª edición (Cambridge Monographs on Mechanics), ISBN 0521298199 
• Bradshaw, P. (1971) "Una introducción a la turbulencia y su medición" (Pergamon Press), ISBN 0080166210 
• Wilcox, CD (1998), "Modelado de turbulencia para CFD" 2.ª edición, (DCW Industries, La Cañada), ISBN 0963605100