ley del muro

Relación de la velocidad del flujo con la distancia a la pared.

ley de la pared, velocidad horizontal cerca de la pared con modelo de longitud de mezcla

En dinámica de fluidos , la ley de la pared (también conocida como ley logarítmica de la pared ) establece que la velocidad promedio de un flujo turbulento en un determinado punto es proporcional al logaritmo de la distancia desde ese punto hasta la "pared", o el límite de la región fluida . Esta ley del muro fue publicada por primera vez en 1930 por el matemático , ingeniero aeroespacial y físico húngaro-estadounidense Theodore von Kármán . ^[1] Sólo es técnicamente aplicable a partes del flujo que están cerca de la pared (<20% de la altura del flujo), aunque es una buena aproximación para todo el perfil de velocidad de las corrientes naturales. ^[2]

Formulación logarítmica general

La ley logarítmica de la pared es una solución autosimilar para la velocidad media paralela a la pared y es válida para flujos con números de Reynolds altos , en una región de superposición con esfuerzo cortante aproximadamente constante y lo suficientemente lejos de la pared para flujos viscosos (directos). los efectos serán insignificantes: ^[3]

${\displaystyle u^{+}={\frac {1}{\kappa }}\ln \,y^{+}+C^{+},}$  con y  ${\displaystyle y^{+}={\frac {y\,u_{\tau }}{\nu }},}$   ${\displaystyle u_{\tau }={\sqrt {\frac {\tau _{w}}{\rho }}}}$    ${\displaystyle u^{+}={\frac {u}{u_{\tau }}}}$

dónde

A partir de experimentos, se encuentra que la constante de von Kármán es y para una pared lisa. ^[3] ${\displaystyle \kappa \approx 0.41}$ ${\displaystyle C^{+}\approx 5.0}$

Con dimensiones, la ley logarítmica del muro se puede escribir como: ^[4]

${\displaystyle {u}={\frac {u_{\tau }}{\kappa }}\ln \,{\frac {y}{y_{0}}}\ }$

donde y ₀ es la distancia desde el límite en el que la velocidad idealizada dada por la ley de la pared llega a cero. Esto es necesariamente distinto de cero porque el perfil de velocidad turbulenta definido por la ley de la pared no se aplica a la subcapa laminar . La distancia desde la pared a la que llega a cero se determina comparando el espesor de la subcapa laminar con la rugosidad de la superficie sobre la que fluye. Para una subcapa laminar cercana a la pared de espesor y una escala de longitud de rugosidad característica , ^[2] ${\displaystyle \delta _{\nu }}$ ${\displaystyle k_{s}}$

Intuitivamente, esto significa que si los elementos de rugosidad están ocultos dentro de la subcapa laminar, tienen un efecto muy diferente sobre la ley turbulenta del perfil de velocidad de la pared que si sobresalen de la parte principal del flujo.

Esto también suele formularse más formalmente en términos de un número de Reynolds límite, donde ${\displaystyle Re_{w}}$

${\displaystyle Re_{w}={\frac {u_{\tau }k_{s}}{\nu }}.\ }$

El flujo es hidráulicamente suave para , hidráulicamente rugoso para , y de transición para valores intermedios. ^[2] ${\displaystyle Re_{w}<3}$ ${\displaystyle Re_{w}>100}$

Los valores de están dados por: ^{[2] [5]} ${\displaystyle y_{0}}$

Los valores intermedios generalmente vienen dados por el diagrama de Nikuradse derivado empíricamente, ^[2] aunque también se han propuesto métodos analíticos para resolver este rango. ^[6]

Para canales con un límite granular, como sistemas fluviales naturales,

${\displaystyle k_{s}\approx 3.5D_{84},\ }$

donde es el diámetro promedio del percentil 84 más grande de los granos del material del lecho. ^[7] ${\displaystyle D_{84}}$

Soluciones de ley de potencia

Los trabajos de Barenblatt y otros han demostrado que, además de la ley logarítmica de la pared (el límite para infinitos números de Reynolds), existen soluciones de ley potencial, que dependen del número de Reynolds. ^{[8] [9]} En 1996, Cipra presentó evidencia experimental en apoyo de estas descripciones de leyes de potencia. ^[10] Esta evidencia en sí no ha sido plenamente aceptada por otros expertos. ^[11] En 2001, Oberlack afirmó haber derivado tanto la ley logarítmica del muro como las leyes de potencia, directamente de las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds , explotando las simetrías en un enfoque de grupo de Lie . ^{[3] [12]} Sin embargo, en 2014, Frewer et al. ^[13] refutó estos resultados.

Para escalares

Para los escalares (sobre todo la temperatura), se ha teorizado la ley logarítmica autosemejante de la pared (formulada por primera vez por BA Kader ^[14] ) y se ha observado en estudios experimentales y computacionales. ^{[15] [16] [17] [18]} En muchos casos, generalmente se necesitan extensiones a la ley original de la formulación de la pared (generalmente a través de transformaciones integrales) para tener en cuenta la compresibilidad, las propiedades variables y los efectos del fluido real.

Cerca de la pared

Debajo de la región donde se aplica la ley de la pared, hay otras estimaciones de la velocidad de fricción. ^[19]

subcapa viscosa

En la región conocida como subcapa viscosa, debajo de 5 unidades de pared, la variación de to es aproximadamente 1:1, de modo que: ${\displaystyle u^{+}}$ ${\displaystyle y^{+}}$

Para  ${\displaystyle y^{+}<5}$

${\displaystyle u^{+}=y^{+}}$

dónde,

Esta aproximación se puede utilizar en más de 5 unidades de pared, pero el error es superior al 25%. ${\displaystyle y^{+}=12}$

capa de búfer

En la capa intermedia, entre 5 unidades de pared y 30 unidades de pared, no se cumple ninguna ley, de modo que:

Para  ${\displaystyle 5<y^{+}<30}$

${\displaystyle u^{+}\neq y^{+}}$

${\displaystyle u^{+}\neq {\frac {1}{\kappa }}\ln \,y^{+}+C^{+}}$

y la mayor variación de cualquiera de las leyes ocurre aproximadamente donde las dos ecuaciones se cruzan, en . Es decir, antes de 11 unidades de pared la aproximación lineal es más precisa y después de 11 unidades de pared se debe utilizar la aproximación logarítmica, aunque ninguna de las dos es relativamente precisa con 11 unidades de pared. ${\displaystyle y^{+}=11}$

El perfil de velocidad media en sentido de la corriente se mejora con una formulación de viscosidad turbulenta basada en una función de energía cinética turbulenta cerca de la pared y la ecuación de longitud de mezcla de Van Driest. Las comparaciones con los datos del DNS de flujos de canales turbulentos completamente desarrollados mostraron una buena concordancia. ^[20] ${\displaystyle u^{+}}$ ${\displaystyle y^{+}<20}$ ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ ${\displaystyle 109<Re_{\tau }<2003}$

Notas

1. von Kármán, Th. (1930), "Mechanische Ähnlichkeit und Turbulenz", Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Fachgruppe 1 (Mathematik) , 5 : 58–76(también como: “Mechanical Similitude and Turbulence”, Tech. Mem. NACA, no. 611, 1931).
2. Mohrig, David (2004). "Conservación de la masa y el momento" (PDF) . 12.110: Geología sedimentaria, otoño de 2004 . MIT OCW . Consultado el 27 de marzo de 2009 .
3. Schlichting y Gersten (2000) págs.
4. Schlichting y Gersten (2000) pág. 530.
5. Whipple, Kelin (2004). «Rugosidad hidráulica» (PDF) . 12.163: Procesos superficiales y evolución del paisaje . MIT OCW . Consultado el 27 de marzo de 2009 .
6. Le Roux, JP (2004), "Una ley integrada de la pared para el flujo hidrodinámico de transición sobre lechos planos", Geología sedimentaria , 163 (3–4): 311–321, Bibcode :2004SedG..163..311L, doi :10.1016/j.sedgeo.2003.07.005
7. Haws, Benjamín. "Rugosidad equivalente de la arena de Nikuradse (ks)" . Consultado el 27 de marzo de 2009 .^{[ enlace muerto ]}
8. Lynn Yarris. "Un defecto de la ley". Laboratorio de Berkeley: aspectos destacados 97–98 . Laboratorio Nacional Lawrence Berkeley, Departamento de Energía de EE. UU.
9. Barenblatt, GI (1993), "Leyes de escala para flujos cortantes turbulentos completamente desarrollados. Parte 1. Análisis e hipótesis básicos", Journal of Fluid Mechanics , 248 : 513–520, Bibcode : 1993JFM...248..513B, doi :10.1017/S0022112093000874, S2CID  123639410
   Barenblatt, GI; Prostokishin, VM (1993), "Leyes de escala para flujos de corte turbulentos completamente desarrollados. Parte 2. Procesamiento de datos experimentales", Journal of Fluid Mechanics , 248 : 521–529, Bibcode : 1993JFM...248..521B, doi : 10.1017/S0022112093000886, S2CID  121328837
   Barenblatt, GI; Goldenfeld, N. (1995), "¿Existe una turbulencia completamente desarrollada? Independencia del número de Reynolds versus covarianza asintótica", Física de fluidos , 7 (12): 3078–3084, arXiv : cond-mat/9507132 , Bibcode :1995PhFl... .7.3078B, doi :10.1063/1.868685, S2CID  15138376
   Barenblatt, GI; Chorin, AJ (1998), "Leyes de escala y límites de viscosidad evanescente para flujos de corte delimitados por paredes y para estructuras locales en turbulencias desarrolladas", Communications on Pure and Applied Mathematics , 50 (4): 381–398, doi :10.1002/ (SICI)1097-0312(199704)50:4<381::AID-CPA5>3.0.CO;2-6
10. Cipra, Barry Arthur (mayo de 1996), "Una nueva teoría de la turbulencia causa revuelo entre los expertos", Science , 272 (5264): 951, Bibcode :1996Sci...272..951C, doi :10.1126/science.272.5264 .951, S2CID  117371905
11. Zagarola, MV; Perry, AE; Smits, AJ (1997), "Leyes logarítmicas o leyes de potencia: la escala en la región de superposición", Física de fluidos , 9 (7): 2094–2100, Bibcode :1997PhFl....9.2094Z, CiteSeerX 10.1.1.503. 989 , doi : 10.1063/1.869328 
12. Oberlack, Martin (2001), "Un enfoque unificado para simetrías en flujos cortantes turbulentos planos paralelos", Journal of Fluid Mechanics , 427 (1): 299–328, Bibcode :2001JFM...427..299O, doi :10.1017 /S0022112000002408, S2CID  122979735
13. Frewer, Michael; Khujadze, George; Foysi, Holger (2014), ¿Es la ley logarítmica un resultado del primer principio del análisis de invariancia del grupo de Lie? , págs. 1–32, arXiv : 1412.3069 , Bibcode : 2014arXiv1412.3069F
14. Kader, Licenciado en Letras (1 de septiembre de 1981). "Perfiles de temperatura y concentración en capas límite totalmente turbulentas". Revista internacional de transferencia de masa y calor . 24 (9): 1541-1544. doi :10.1016/0017-9310(81)90220-9. ISSN  0017-9310.
15. Simónich, JC; Bradshaw, P. (1 de noviembre de 1978). "Efecto de la turbulencia de flujo libre sobre la transferencia de calor a través de una capa límite turbulenta". Revista de transferencia de calor . 100 (4): 671–677. doi : 10.1115/1.3450875. ISSN  0022-1481.
16. Patel, Ashish; Boersma, Bendiks J.; Pecnik, René (21 de agosto de 2017). "Estadísticas escalares en flujos de canales turbulentos de propiedad variable". Fluidos de revisión física . 2 (8): 084604. Código bibliográfico : 2017PhRvF...2h4604P. doi : 10.1103/PhysRevFluids.2.084604.
17. Toki, Takahiko; Teramoto, Susumu; Okamoto, Koji (1 de enero de 2020). "Perfiles de velocidad y temperatura en flujo de canal turbulento a presión supercrítica". Revista de Propulsión y Potencia . 36 (1): 3–13. doi :10.2514/1.B37381. S2CID  209963353.
18. Guo, J.; Yang, XIA; Ihme, M. (marzo de 2022). "Estructura de la capa límite térmica en flujos de canales turbulentos en condiciones transcríticas". Revista de mecánica de fluidos . 934 . Código Bib : 2022JFM...934A..45G. doi : 10.1017/jfm.2021.1157 . ISSN  0022-1120.
19. Flujos turbulentos (2000) págs. 273-274. Pope, Stephen (2000), Turbulent Flows (primera edición revisada), Cambridge University Press, ISBN 0-521-59125-2
20. Absi, Rafik (2009), "Una formulación simple de viscosidad turbulenta para capas límite turbulentas cerca de paredes lisas", Comptes Rendus Mécanique , 337 (3): 158–165, arXiv : 1106.0985 , Bibcode : 2009CRMec.337..158A, doi :10.1016/j.crme.2009.03.010, S2CID  40907005

Referencias

• Chanson, H. (2009), Hidrodinámica aplicada: introducción a los flujos de fluidos ideales y reales, CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Países Bajos, 478 páginas, ISBN 978-0-415-49271-3
• Schlichting, Hermann; Gersten, K. (2000), Teoría de la capa límite (octava edición revisada), Springer, ISBN 3-540-66270-7

Otras lecturas

• Buschmann, Matías H.; Gad-el-Hak, Mohamed (2009), "Evidencia de comportamiento no logarítmico del flujo turbulento en canales y tuberías", AIAA Journal , 47 (3): 535, Bibcode :2009AIAAJ..47..535B, doi :10.2514/1.37032

enlaces externos

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