Descomposición de Schmidt

Proceso en álgebra lineal

En álgebra lineal , la descomposición de Schmidt (llamada así por su creador Erhard Schmidt ) se refiere a una forma particular de expresar un vector en el producto tensorial de dos espacios de productos internos . Tiene numerosas aplicaciones en la teoría de la información cuántica , por ejemplo, en la caracterización del entrelazamiento y en la purificación de estados , y en la plasticidad .

Teorema

Sean y espacios de Hilbert de dimensiones n y m respectivamente. Supóngase que . Para cualquier vector en el producto tensorial , existen conjuntos ortonormales y tales que , donde los escalares son reales, no negativos y únicos hasta la reordenación. ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle n\geq m}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$ ${\displaystyle \{u_{1},\ldots ,u_{m}\}\subset H_{1}}$ ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{m}\}\subset H_{2}}$ ${\textstyle w=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Prueba

La descomposición de Schmidt es esencialmente una reformulación de la descomposición en valores singulares en un contexto diferente. Fijemos bases ortonormales y . Podemos identificar un tensor elemental con la matriz , donde es la transpuesta de . Un elemento general del producto tensorial ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}\subset H_{1}}$ ${\displaystyle \{f_{1},\ldots ,f_{m}\}\subset H_{2}}$ ${\displaystyle e_{i}\otimes f_{j}}$ ${\displaystyle e_{i}f_{j}^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle f_{j}^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle f_{j}}$

${\displaystyle w=\sum _{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}\beta _{ij}e_{i}\otimes f_{j}}$

puede entonces verse como la matriz n × m

${\displaystyle \;M_{w}=(\beta _{ij}).}$

Por la descomposición en valores singulares , existen una matriz unitaria U n × n , una matriz unitaria V m × m y una matriz diagonal semidefinida positiva m × m Σ tal que

${\displaystyle M_{w}=U{\begin{bmatrix}\Sigma \\0\end{bmatrix}}V^{*}.}$

Escribe donde está n × m y tenemos ${\displaystyle U={\begin{bmatrix}U_{1}&U_{2}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle U_{1}}$

${\displaystyle \;M_{w}=U_{1}\Sigma V^{*}.}$

Sean los m vectores columna de , los vectores columna de , y los elementos diagonales de Σ. La expresión anterior es entonces ${\displaystyle \{u_{1},\ldots ,u_{m}\}}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{m}\}}$ ${\displaystyle {\overline {V}}}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m}}$

${\displaystyle M_{w}=\sum _{k=1}^{m}\alpha _{k}u_{k}v_{k}^{\mathsf {T}},}$

Entonces

${\displaystyle w=\sum _{k=1}^{m}\alpha _{k}u_{k}\otimes v_{k},}$

lo que prueba la afirmación.

Algunas observaciones

Algunas propiedades de la descomposición de Schmidt son de interés físico.

Espectro de estados reducidos

Consideremos un vector del producto tensorial ${\displaystyle w}$

${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$

en forma de descomposición de Schmidt

${\displaystyle w=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i}.}$

Forme la matriz de rango 1 . Entonces, la traza parcial de , con respecto al sistema A o B , es una matriz diagonal cuyos elementos diagonales no nulos son . En otras palabras, la descomposición de Schmidt muestra que los estados reducidos de en cualquiera de los subsistemas tienen el mismo espectro. ${\displaystyle \rho =ww^{*}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle |\alpha _{i}|^{2}}$ ${\displaystyle \rho }$

Rango de Schmidt y entrelazamiento

Los valores estrictamente positivos en la descomposición de Schmidt de son sus coeficientes de Schmidt o números de Schmidt . El número total de coeficientes de Schmidt de , contados con multiplicidad, se denomina rango de Schmidt . ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w}$

Si se puede expresar como un producto ${\displaystyle w}$

${\displaystyle u\otimes v}$

Entonces se llama estado separable . De lo contrario, se dice que es un estado entrelazado . A partir de la descomposición de Schmidt, podemos ver que está entrelazado si y solo si tiene un rango de Schmidt estrictamente mayor que 1. Por lo tanto, dos subsistemas que dividen un estado puro están entrelazados si y solo si sus estados reducidos son estados mixtos. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w}$

Entropía de von Neumann

Una consecuencia de los comentarios anteriores es que, para los estados puros, la entropía de von Neumann de los estados reducidos es una medida bien definida del entrelazamiento . Para la entropía de von Neumann de ambos estados reducidos de es , y es cero si y solo si es un estado producto (no entrelazado). ${\displaystyle \rho }$ ${\textstyle -\sum _{i}|\alpha _{i}|^{2}\log \left(|\alpha _{i}|^{2}\right)}$ ${\displaystyle \rho }$

Vector de rangos de Schmidt

El rango de Schmidt se define para sistemas bipartitos, es decir, estados cuánticos.

${\displaystyle |\psi \rangle \in H_{A}\otimes H_{B}}$

El concepto de rango de Schmidt puede extenderse a sistemas cuánticos compuestos por más de dos subsistemas. ^[1]

Consideremos el sistema cuántico tripartito:

${\displaystyle |\psi \rangle \in H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{C}}$

Hay tres formas de reducir esto a un sistema bipartito realizando el seguimiento parcial con respecto a o ${\displaystyle H_{A},H_{B}}$ ${\displaystyle H_{C}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\hat {\rho }}_{A}=Tr_{A}(|\psi \rangle \langle \psi |)\\{\hat {\rho }}_{B}=Tr_{B}(|\psi \rangle \langle \psi |)\\{\hat {\rho }}_{C}=Tr_{C}(|\psi \rangle \langle \psi |)\end{cases}}}$

Cada uno de los sistemas obtenidos es un sistema bipartito y, por lo tanto, se puede caracterizar por un número (su rango de Schmidt), respectivamente y . Estos números capturan la "cantidad de entrelazamiento" en el sistema bipartito cuando se descartan respectivamente A, B o C. Por estas razones, el sistema tripartito se puede describir mediante un vector, es decir, el vector de rango de Schmidt ${\displaystyle r_{A},r_{B}}$ ${\displaystyle r_{C}}$

${\displaystyle {\vec {r}}=(r_{A},r_{B},r_{C})}$

Sistemas multipartidistas

El concepto de vector de rango Schmidt también puede extenderse a sistemas compuestos por más de tres subsistemas mediante el uso de tensores .

Ejemplo[2]

Tomemos el estado cuántico tripartito ${\displaystyle |\psi _{4,2,2}\rangle ={\frac {1}{2}}{\big (}|0,0,0\rangle +|1,0,1\rangle +|2,1,0\rangle +|3,1,1\rangle {\big )}}$

Este tipo de sistema es posible gracias a la codificación del valor de un qudit en el momento angular orbital (OAM) de un fotón en lugar de su espín , ya que este último solo puede tomar dos valores.

El vector de rango Schmidt para este estado cuántico es . ${\displaystyle (4,2,2)}$

Véase también

• Descomposición en valores singulares
• Purificación del estado cuántico

Referencias

1. Huber, Marcus; de Vicente, Julio I. (14 de enero de 2013). "Estructura del entrelazamiento multidimensional en sistemas multipartitos". Physical Review Letters . 110 (3): 030501. arXiv : 1210.6876 . Bibcode :2013PhRvL.110c0501H. doi :10.1103/PhysRevLett.110.030501. ISSN  0031-9007. PMID  23373906. S2CID  44848143.
2. Krenn, Mario; Malik, Mehul; Fickler, Robert; Lapkiewicz, Radek; Zeilinger, Anton (4 de marzo de 2016). "Búsqueda automatizada de nuevos experimentos cuánticos". Physical Review Letters . 116 (9): 090405. arXiv : 1509.02749 . Código Bibliográfico :2016PhRvL.116i0405K. doi :10.1103/PhysRevLett.116.090405. ISSN  0031-9007. PMID  26991161. S2CID  20182586.

Lectura adicional

• Pathak, Anirban (2013). Elementos de computación cuántica y comunicación cuántica. Londres: Taylor & Francis. pp. 92–98. ISBN 978-1-4665-1791-2.