Teorema de Schrödinger-HJW

Concepto en la teoría de la información cuántica

En la teoría de la información cuántica y la óptica cuántica , el teorema de Schrödinger-HJW es un resultado sobre la realización de un estado mixto de un sistema cuántico como un conjunto de estados cuánticos puros y la relación entre las purificaciones correspondientes de los operadores de densidad . El teorema lleva el nombre de los físicos y matemáticos Erwin Schrödinger , ^[1] Lane P. Hughston , Richard Jozsa y William Wootters . ^[2] El resultado también fue encontrado independientemente (aunque parcialmente) por Nicolas Gisin , ^[3] y por Nicolas Hadjisavvas basándose en el trabajo de Ed Jaynes , ^{[4] [5]} mientras que una parte significativa de él también fue descubierta independientemente por N. David Mermin . ^[6] Gracias a su complicada historia, también se lo conoce por varios otros nombres como el teorema GHJW , ^[7] el teorema HJW y el teorema de purificación .

Purificación de un estado cuántico mixto

Sea un espacio de Hilbert complejo de dimensión finita , y considérese un estado cuántico genérico (posiblemente mixto ) definido en y que admita una descomposición de la forma para una colección de estados y coeficientes (no necesariamente ortogonales entre sí) tales que . Nótese que cualquier estado cuántico puede escribirse de esa manera para algunos y . ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$ $${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$$ ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle p_{i}\geq 0}$ ${\textstyle \sum _{i}p_{i}=1}$ ${\displaystyle \{|\phi _{i}\rangle \}_{i}}$ ${\displaystyle \{p_{i}\}_{i}}$

Cualquiera de estos puede purificarse , es decir, representarse como la traza parcial de un estado puro definido en un espacio de Hilbert más grande. Más precisamente, siempre es posible encontrar un espacio de Hilbert (de dimensión finita) y un estado puro tales que . Además, los estados que satisfacen esto son todos y solo aquellos de la forma para alguna base ortonormal . El estado se denomina entonces "purificación de ". Dado que el espacio auxiliar y la base se pueden elegir arbitrariamente, la purificación de un estado mixto no es única; de hecho, hay infinitas purificaciones de un estado mixto dado. ^[9] Debido a que todos ellos admiten una descomposición en la forma dada anteriormente, dado cualquier par de purificaciones , siempre hay alguna operación unitaria tal que ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle |\Psi _{SA}\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}\otimes {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle \rho =\operatorname {Tr} _{A}{\big (}|\Psi _{SA}\rangle \langle \Psi _{SA}|{\big )}}$ ${\displaystyle |\Psi _{SA}\rangle }$ $${\displaystyle |\Psi _{SA}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|\phi _{i}\rangle \otimes |a_{i}\rangle }$$ ${\displaystyle \{|a_{i}\rangle \}_{i}\subset {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle |\Psi _{SA}\rangle }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle ,|\Psi '\rangle \in {\mathcal {H}}_{S}\otimes {\mathcal {H}}_{A}}$ ${\displaystyle U:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A}}$ $${\displaystyle |\Psi '\rangle =(I\otimes U)|\Psi \rangle .}$$

Teorema

Consideremos un estado cuántico mixto con dos realizaciones diferentes como conjunto de estados puros como y . Aquí no se supone que ambos y sean mutuamente ortogonales. Habrá dos purificaciones correspondientes del estado mixto que se leen de la siguiente manera: ${\displaystyle \rho }$ ${\textstyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$ ${\textstyle \rho =\sum _{j}q_{j}|\varphi _{j}\rangle \langle \varphi _{j}|}$ ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle |\varphi _{j}\rangle }$ ${\displaystyle \rho }$

Purificación 1: ; ${\displaystyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|\phi _{i}\rangle \otimes |a_{i}\rangle }$

Purificación 2: . ${\displaystyle |\Psi _{SA}^{2}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle \otimes |b_{j}\rangle }$

Los conjuntos y son dos colecciones de bases ortonormales de los respectivos espacios auxiliares. Estas dos purificaciones solo difieren en una transformación unitaria que actúa sobre el espacio auxiliar, es decir, existe una matriz unitaria tal que . ^[10] Por lo tanto, , lo que significa que podemos realizar los diferentes conjuntos de un estado mixto simplemente haciendo diferentes mediciones en el sistema purificador. ${\displaystyle \{|a_{i}\rangle \}}$ ${\displaystyle \{|b_{j}\rangle \}}$ ${\displaystyle U_{A}}$ ${\displaystyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =(I\otimes U_{A})|\Psi _{SA}^{2}\rangle }$ ${\textstyle |\Psi _{SA}^{1}\rangle =\sum _{j}{\sqrt {q_{j}}}|\varphi _{j}\rangle \otimes U_{A}|b_{j}\rangle }$

Referencias

1. Schrödinger, Erwin (1936). "Relaciones de probabilidad entre sistemas separados". Actas de la Cambridge Philosophical Society . 32 (3): 446–452. Bibcode :1936PCPS...32..446S. doi :10.1017/S0305004100019137.
2. Hughston, Lane P.; Jozsa, Richard; Wootters, William K. (noviembre de 1993). "Una clasificación completa de conjuntos cuánticos que tienen una matriz de densidad dada". Physics Letters A . 183 (1): 14–18. Bibcode :1993PhLA..183...14H. doi :10.1016/0375-9601(93)90880-9. ISSN  0375-9601.
3. Gisin, N. (1989). “Dinámica cuántica estocástica y relatividad”, Helvetica Physica Acta 62, 363–371.
4. Hadjisavvas, Nicolas (1981). "Propiedades de mezclas en estados no ortogonales". Cartas en física matemática . 5 (4): 327–332. Bibcode :1981LMaPh...5..327H. doi :10.1007/BF00401481.
5. Jaynes, ET (1957). "Teoría de la información y mecánica estadística. II". Physical Review . 108 (2): 171–190. Código Bibliográfico :1957PhRv..108..171J. doi :10.1103/PhysRev.108.171.
6. Fuchs, Christopher A. (2011). Alcanzar la madurez con información cuántica: notas sobre una idea pauliana . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-19926-1.OCLC 535491156  .
7. Mermin, N. David (1999). "¿Qué saben estas correlaciones sobre la realidad? La no localidad y lo absurdo". Fundamentos de la física . 29 (4): 571–587. arXiv : quant-ph/9807055 . Código Bibliográfico :1998quant.ph..7055M. doi :10.1023/A:1018864225930.
8. Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L., "La descomposición y purificaciones de Schmidt", Computación cuántica e información cuántica , Cambridge: Cambridge University Press, págs. 110-111.
9. Watrous, John (2018). La teoría de la información cuántica. Cambridge: Cambridge University Press. doi :10.1017/9781316848142. ISBN 978-1-107-18056-7.
10. Kirkpatrick, KA (febrero de 2006). "El teorema de Schrödinger-HJW". Fundamentos de la física Letters . 19 (1): 95–102. arXiv : quant-ph/0305068 . Código Bibliográfico :2006FoPhL..19...95K. doi :10.1007/s10702-006-1852-1. ISSN  0894-9875.