radical anidado

Expresión matemática con radical interno.

En álgebra , un radical anidado es una expresión radical (una que contiene un signo de raíz cuadrada, un signo de raíz cúbica, etc.) que contiene (anida) otra expresión radical. Ejemplos incluyen

$${\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}\ }},}$$

que surge al discutir el pentágono regular , y otros más complicados como

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[{3}]{4}}\ }}.}$$

Desapilado

Algunos radicales anidados se pueden reescribir en una forma que no esté anidada. Por ejemplo,

$${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}\,,}$$

${\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {5-2{\sqrt {6}}}}={\sqrt {3}},\quad }$^[1]

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}}{\sqrt[{3}]{9}}}\,.}$$

Otro ejemplo sencillo,

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\sqrt {2}}}={\sqrt[{6}]{2}}}$$

Reescribir un radical anidado de esta manera se denomina desanestación . Esto no siempre es posible y, aun cuando sea posible, suele resultar difícil.

Dos raíces cuadradas anidadas

En el caso de dos raíces cuadradas anidadas, el siguiente teorema resuelve completamente el problema del desanesamiento. ^[2]

Si a y c son números racionales y c no es el cuadrado de un número racional, existen dos números racionales x e y tales que

$${\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {c}}}}={\sqrt {x}}\pm {\sqrt {y}}}$$

d ${\displaystyle a^{2}-c~}$

Si el radical anidado es real, xey son los dos números

$${\displaystyle {\frac {a+d}{2}}~}$$

${\displaystyle ~{\frac {a-d}{2}}~,~}$ ${\displaystyle ~d={\sqrt {a^{2}-c}}~}$

En particular, si a y c son números enteros, entonces 2 x y 2 y son números enteros.

Este resultado incluye desapilamientos de la forma

$${\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {c}}}}=z\pm {\sqrt {y}}~,}$$

z ${\displaystyle z=\pm {\sqrt {z^{2}}},}$

Una fórmula de desapilado más general podría tener la forma

$${\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {c}}}}=\alpha +\beta {\sqrt {x}}+\gamma {\sqrt {y}}+\delta {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}~.}$$

la teoría de Galoisx = cde xyx ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {c}}),}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}},}$ ${\displaystyle {\sqrt {y}},}$ ${\displaystyle \gamma =\delta =0.}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta =0,}$ ${\displaystyle \delta =0.}$ ${\displaystyle \alpha =0,}$ ${\displaystyle \alpha =\delta =0.}$

Prueba : elevando al cuadrado, la ecuación

$${\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {c}}}}={\sqrt {x}}\pm {\sqrt {y}}}$$

$${\displaystyle a+{\sqrt {c}}=x+y\pm 2{\sqrt {xy}},}$$

| x | ≥ | y | ,

(Las raíces cuadradas no son negativas según la definición de la notación). Como la desigualdad siempre puede satisfacerse posiblemente intercambiando x e y , resolver la primera ecuación en x e y es equivalente a resolver

$${\displaystyle a+{\sqrt {c}}=x+y\pm 2{\sqrt {xy}}.}$$

Esta igualdad implica que pertenece al campo cuadrático. En este campo cada elemento puede escribirse de forma única con y siendo números racionales. Esto implica que no es racional (de lo contrario, el lado derecho de la ecuación sería racional; pero el lado izquierdo es irracional). Como xey deben ser racionales , el cuadrado de debe ser racional. Esto implica que en la expresión de as Así ${\displaystyle {\sqrt {xy}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {c}}).}$ ${\displaystyle \alpha +\beta {\sqrt {c}},}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \pm 2{\sqrt {xy}}}$ ${\displaystyle \pm 2{\sqrt {xy}}}$ ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle \pm 2{\sqrt {xy}}}$ ${\displaystyle \alpha +\beta {\sqrt {c}}.}$

$${\displaystyle a+{\sqrt {c}}=x+y+\beta {\sqrt {c}}}$$

1 ${\displaystyle \beta .}$ ${\displaystyle {\sqrt {c}}}$

$${\displaystyle a=x+y\quad {\text{and}}\quad \pm 2{\sqrt {xy}}={\sqrt {c}}.}$$

de Vietaxeyecuación cuadrática

$${\displaystyle z^{2}-az+{\frac {c}{4}}=0~;}$$

≠ 0caxy ${\displaystyle ~\Delta =a^{2}-c=d^{2}>0~}$

$${\displaystyle {\frac {a+{\sqrt {a^{2}-c}}}{2}}~}$$

xy ${\displaystyle ~{\frac {a-{\sqrt {a^{2}-c}}}{2}}~.}$ ${\displaystyle d={\sqrt {a^{2}-c}}~}$

Para elegir explícitamente los distintos signos, se deben considerar sólo raíces cuadradas reales positivas y, por tanto, suponer c > 0 . La ecuación muestra que | un | > √ c . Por tanto, si el radical anidado es real y si es posible desanesar, entonces a > 0 . Entonces la solución es ${\displaystyle a^{2}=c+d^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {a+{\sqrt {c}}}}&={\sqrt {\frac {a+d}{2}}}+{\sqrt {\frac {a-d}{2}}},\\[6pt]{\sqrt {a-{\sqrt {c}}}}&={\sqrt {\frac {a+d}{2}}}-{\sqrt {\frac {a-d}{2}}}.\end{aligned}}}$$

Algunas identidades de Ramanujan

Srinivasa Ramanujan demostró una serie de identidades curiosas que involucran a radicales anidados. Entre ellos se encuentran los siguientes: ^[3]

$${\displaystyle {\sqrt[{4}]{\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{3-2{\sqrt[{4}]{5}}}}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}+1}{{\sqrt[{4}]{5}}-1}}={\tfrac {1}{2}}\left(3+{\sqrt[{4}]{5}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt[{4}]{125}}\right),}$$

$${\displaystyle {\sqrt {{\sqrt[{3}]{28}}-{\sqrt[{3}]{27}}}}={\tfrac {1}{3}}\left({\sqrt[{3}]{98}}-{\sqrt[{3}]{28}}-1\right),}$$

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{5}]{\frac {32}{5}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {27}{5}}}}}={\sqrt[{5}]{\frac {1}{25}}}+{\sqrt[{5}]{\frac {3}{25}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {9}{25}}},}$$

y

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\ {\sqrt[{3}]{2}}\ -1}}={\sqrt[{3}]{\frac {1}{9}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{9}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {4}{9}}}.\quad }$^[4]

algoritmo de landau

En 1989 , Susan Landau introdujo el primer algoritmo para decidir qué radicales anidados se pueden desanesar. ^[5] Los algoritmos anteriores funcionaron en algunos casos pero no en otros. El algoritmo de Landau involucra raíces complejas de unidad y se ejecuta en tiempo exponencial con respecto a la profundidad del radical anidado. ^[6]

En trigonometria

En trigonometría , los senos y cosenos de muchos ángulos se pueden expresar en términos de radicales anidados. Por ejemplo,

$${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }={\frac {1}{16}}\left[2(1-{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}+1)\right]}$$

y

$${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{24}}=\sin 7.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\frac {1+{\sqrt {3}}}{\sqrt {2}}}}}.}$$

En la solución de la ecuación cúbica.

Los radicales anidados aparecen en la solución algebraica de la ecuación cúbica . Cualquier ecuación cúbica se puede escribir en forma simplificada sin un término cuadrático, como

$${\displaystyle x^{3}+px+q=0,}$$

cuya solución general para una de las raíces es

$${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}.}$$

En el caso en que el cúbico tenga una sola raíz real, la raíz real viene dada por esta expresión siendo reales los radicandos de las raíces cúbicas y siendo las raíces cúbicas las raíces cúbicas reales. En el caso de tres raíces reales, la expresión de la raíz cuadrada es un número imaginario; aquí cualquier raíz real se expresa definiendo la primera raíz cúbica como cualquier raíz cúbica compleja específica del radicando complejo, y definiendo la segunda raíz cúbica como el conjugado complejo de la primera. En general, los radicales anidados en esta solución no se pueden simplificar a menos que la ecuación cúbica tenga al menos una solución racional . De hecho, si la cúbica tiene tres soluciones irracionales pero reales, tenemos el casus irreducibilis , en el que las tres soluciones reales se escriben en términos de raíces cúbicas de números complejos. Por otro lado, considere la ecuación

$${\displaystyle x^{3}-7x+6=0,}$$

que tiene las soluciones racionales 1, 2 y −3. La fórmula de solución general dada anteriormente proporciona las soluciones.

$${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{-3+{\frac {10{\sqrt {3}}i}{9}}}}+{\sqrt[{3}]{-3-{\frac {10{\sqrt {3}}i}{9}}}}.}$$

Para cualquier elección dada de raíz cúbica y su conjugado, ésta contiene radicales anidados que involucran números complejos, pero es reducible (aunque no de manera obvia) a una de las soluciones 1, 2 o –3.

Radicales infinitamente anidados

Raíces cuadradas

Bajo ciertas condiciones, raíces cuadradas infinitamente anidadas como

$${\displaystyle x={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}}}$$

representan números racionales. Este número racional se puede encontrar al darse cuenta de que x también aparece bajo el signo radical, lo que da la ecuación

$${\displaystyle x={\sqrt {2+x}}.}$$

Si resolvemos esta ecuación, encontramos que x = 2 (la segunda solución x = −1 no se aplica, según la convención de que se refiere a la raíz cuadrada positiva). Este enfoque también se puede utilizar para demostrar que, en general, si n > 0 , entonces

$${\displaystyle {\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n+\cdots }}}}}}}}={\tfrac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {1+4n}}\right)}$$

y es la raíz positiva de la ecuación x ² − x − n = 0 . Para n = 1 , esta raíz es la proporción áurea φ , aproximadamente igual a 1,618. El mismo procedimiento también funciona para obtener, si n > 0 ,

$${\displaystyle {\sqrt {n-{\sqrt {n-{\sqrt {n-{\sqrt {n-\cdots }}}}}}}}={\tfrac {1}{2}}\left(-1+{\sqrt {1+4n}}\right),}$$

x ² + x − n = 0

Raíces cuadradas anidadas de 2

Las raíces cuadradas anidadas de 2 son un caso especial de la amplia clase de radicales infinitamente anidados. Hay muchos resultados conocidos que los unen a senos y cosenos . Por ejemplo, se ha demostrado que las raíces cuadradas anidadas de 2 como ^[7]

$${\displaystyle R(b_{k},\ldots ,b_{1})={\frac {b_{k}}{2}}{\sqrt {2+b_{k-1}{\sqrt {2+b_{k-2}{\sqrt {2+\cdots +b_{2}{\sqrt {2+x}}}}}}}}}$$

donde con en [−2,2] y para , son tales que para ${\displaystyle x=2\sin(\pi b_{1}/4)}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{i}\in \{-1,0,1\}}$ ${\displaystyle i\neq 1}$ ${\displaystyle R(b_{k},\ldots ,b_{1})=\cos \theta }$

$${\displaystyle \theta =\left({\frac {1}{2}}-{\frac {b_{k}}{4}}-{\frac {b_{k}b_{k-1}}{8}}-{\frac {b_{k}b_{k-1}b_{k-2}}{16}}-\cdots -{\frac {b_{k}b_{k-1}\cdots b_{1}}{2^{k+1}}}\right)\pi .}$$

Este resultado permite deducir para cualquiera el valor de los siguientes radicales infinitamente anidados que consisten en k raíces anidadas como ${\displaystyle x\in [-2,2]}$

$${\displaystyle R_{k}(x)={\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2+x}}}}}}.}$$

Si , entonces ^[8] ${\displaystyle x\geq 2}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{k}(x)&={\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2+x}}}}}}\\&=\left({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-4}}}{2}}\right)^{1/2^{k}}+\left({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-4}}}{2}}\right)^{-1/2^{k}}\end{aligned}}}$$

Estos resultados se pueden utilizar para obtener algunas representaciones de raíces cuadradas anidadas de . Consideremos el término definido anteriormente. Entonces ^[7] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle R\left(b_{k},\ldots ,b_{1}\right)}$

$${\displaystyle \pi =\lim _{k\rightarrow \infty }\left[{\frac {2^{k+1}}{2-b_{1}}}R(\underbrace {1,-1,1,1,\ldots ,1,1,b_{1}} _{k{\text{ terms }}})\right]}$$

dónde . ${\displaystyle b_{1}\neq 2}$

Los infinitos radicales de Ramanujan

Ramanujan planteó el siguiente problema al Journal of Indian Mathematical Society :

$${\displaystyle ?={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}.}$$

Esto se puede resolver observando una formulación más general:

$${\displaystyle ?={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {\mathrm {\cdots } }}}}}}.}$$

Establecer esto en F ( x ) y elevar al cuadrado ambos lados nos da

$${\displaystyle F(x)^{2}=ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {\mathrm {\cdots } }}}},}$$

que se puede simplificar a

$${\displaystyle F(x)^{2}=ax+(n+a)^{2}+xF(x+n).}$$

Entonces se puede demostrar que, suponiendo que es analítico , ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle F(x)={x+n+a}.}$$

Entonces, estableciendo a = 0 , n = 1 y  x = 2 , tenemos

$${\displaystyle 3={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}.}$$

cuaderno perdido

$${\displaystyle {\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-\cdots }}}}}}}}}}}}}}={\frac {2+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15-6{\sqrt {5}}}}}{2}}.}$$

${\displaystyle (+,+,-,+).}$

Expresión de Viète para π

La fórmula de Viète para π , la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, es

$${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots .}$$

raíces cúbicas

En ciertos casos, raíces cúbicas infinitamente anidadas como

$${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{6+{\sqrt[{3}]{6+{\sqrt[{3}]{6+{\sqrt[{3}]{6+\cdots }}}}}}}}}$$

$${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{6+x}}.}$$

Si resolvemos esta ecuación, encontramos que  x = 2 . De manera más general, encontramos que

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{n+{\sqrt[{3}]{n+{\sqrt[{3}]{n+{\sqrt[{3}]{n+\cdots }}}}}}}}}$$

x ³ − x − n = 0n > 0n = 1relación plástica ρ

El mismo procedimiento también sirve para conseguir

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{n-{\sqrt[{3}]{n-{\sqrt[{3}]{n-{\sqrt[{3}]{n-\cdots }}}}}}}}}$$

como raíz real de la ecuación x ³ + x − n = 0 para todo n > 1 .

Teorema de convergencia de Herschfeld

Un radical infinitamente anidado (donde todos son no negativos ) converge si y sólo si existe algo tal que para todos , ^[9] o en otras palabras ${\displaystyle {\sqrt {a_{1}+{\sqrt {a_{2}+\dotsb }}}}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M\geq a_{n}^{2^{-n}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sup a_{n}^{2^{-n}}<+\infty .}$

Prueba de "si"

observamos que

$${\displaystyle {\sqrt {a_{1}+{\sqrt {a_{2}+\dotsb }}}}\leq {\sqrt {M^{2^{1}}+{\sqrt {M^{2^{2}}+\cdots }}}}=M{\sqrt {1+{\sqrt {1+\dotsb }}}}<2M.}$$

teorema de convergencia monótona ${\displaystyle \left({\sqrt {a_{1}+{\sqrt {a_{2}+\dotsc {\sqrt {a_{n}}}}}}}\right)}$

Prueba de "sólo si"

Si la secuencia converge, entonces está acotada. ${\displaystyle \left({\sqrt {a_{1}+{\sqrt {a_{2}+\cdots {\sqrt {a_{n}}}}}}}\right)}$

Sin embargo, por tanto, también está acotado. ${\displaystyle a_{n}^{2^{-n}}\leq {\sqrt {a_{1}+{\sqrt {a_{2}+\cdots {\sqrt {a_{n}}}}}}}}$ ${\displaystyle \left(a_{n}^{2^{-n}}\right)}$

Ver también

• exponenciación
• Suma de radicales

Referencias

1. Scheinerman, Edward R. (2000), "Cuando lo suficientemente cerca es lo suficientemente cerca", American Mathematical Monthly , 107 (6): 489–499, doi :10.2307/2589344, JSTOR  2589344, MR  1766736
2. Euler, Leonhard (2012). Elementos de álgebra . Medios de ciencia y negocios de Springer. Capítulo VIII.
3. Landau, Susan (16 de julio de 1993). "Una nota sobre 'Zippel Denesting'". CiteSeerX 10.1.1.35.5512 . Consultado el 23 de agosto de 2023 . 
4. Berndt, Bruce; Chan, Heng; Zhang, Liang-Cheng (1998). "Radicales y unidades en la obra de Ramanujan" (PDF) . Acta Aritmética . 87 (2): 145-158. doi : 10.4064/aa-87-2-145-158 .
5. Landau, Susan (1992). "Simplificación de radicales anidados". 30º Simposio Anual sobre Fundamentos de la Informática . vol. 21. SIAM . págs. 85-110. CiteSeerX 10.1.1.34.2003 . doi :10.1109/SFCS.1989.63496. ISBN  978-0-8186-1982-3. S2CID  29982884.
6. Gkioulekas, Eleftherios (18 de agosto de 2017). "Sobre el desanidado de raíces cuadradas anidadas". Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología . 48 (6): 942–953. Código Bib : 2017IJMES..48..942G. doi :10.1080/0020739X.2017.1290831. ISSN  0020-739X. S2CID  9737528.
7. Servi, LD (abril de 2003). "Raíces cuadradas anidadas de 2". El Mensual Matemático Estadounidense . 110 (4): 326–330. doi :10.1080/00029890.2003.11919968. ISSN  0002-9890. S2CID  38100940.
8. Nyblom, MA (noviembre de 2005). "Más raíces cuadradas anidadas de 2". El Mensual Matemático Estadounidense . 112 (9): 822–825. doi :10.1080/00029890.2005.11920256. ISSN  0002-9890. S2CID  11206345.
9. Herschfeld, Aaron (1935). "Sobre los radicales infinitos". El Mensual Matemático Estadounidense . 42 (7): 419–429. doi :10.2307/2301294. ISSN  0002-9890. JSTOR  2301294.

Otras lecturas

• Landau, Susan (1994). "Cómo enredarse con un radical anidado". Inteligencia Matemática . 16 (2): 49–55. doi :10.1007/bf03024284. S2CID  119991567.
• Disminución de la profundidad de anidamiento de expresiones que involucran raíces cuadradas
• Simplificando raíces cuadradas de raíces cuadradas
• Weisstein, Eric W. "Raíz cuadrada". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Radical anidado". MundoMatemático .