Derivados de estabilidad

Una derivada de estabilidad. Este es un ejemplo de notación abreviada común para derivadas de estabilidad. La "M" indica que es una medida de los cambios en el momento del lanzamiento . Indica que los cambios son en respuesta a cambios en el ángulo de ataque . Esta derivada de estabilidad se pronuncia "see-em-alpha". Es una medida de la fuerza con la que un avión quiere volar "con el morro primero", lo cual es claramente muy importante. ${\displaystyle \alpha }$

Las derivadas de estabilidad , y también las derivadas de control , son medidas de cómo cambian fuerzas y momentos particulares en una aeronave a medida que cambian otros parámetros relacionados con la estabilidad (parámetros como velocidad del aire , altitud, ángulo de ataque , etc.). Para una condición de vuelo de "ajuste" definida, se producen cambios y oscilaciones en estos parámetros. Para analizar estos cambios y oscilaciones se utilizan ecuaciones de movimiento . Las derivadas de estabilidad y control se utilizan para linealizar (simplificar) estas ecuaciones de movimiento de modo que la estabilidad del vehículo pueda analizarse más fácilmente.

Los derivados de estabilidad y control cambian a medida que cambian las condiciones de vuelo. El conjunto de derivados de estabilidad y control a medida que cambian en una variedad de condiciones de vuelo se denomina modelo aerodinámico . Los modelos aero se utilizan en simuladores de vuelo de ingeniería para analizar la estabilidad y en simuladores de vuelo en tiempo real para entrenamiento y entretenimiento.

Derivada de estabilidad versus derivada de control

Las derivadas de estabilidad y las derivadas de control están relacionadas porque ambas son medidas de fuerzas y momentos en un vehículo a medida que cambian otros parámetros. A menudo, las palabras se utilizan juntas y se abrevian en el término "derivados de S&C". Se diferencian en que las derivadas de estabilidad miden los efectos de los cambios en las condiciones de vuelo mientras que las derivadas de control miden los efectos de los cambios en las posiciones de la superficie de control:

Derivada de estabilidad

Mide cuánto cambio se produce en una fuerza o momento que actúa sobre el vehículo cuando hay un pequeño cambio en un parámetro de condición de vuelo, como el ángulo de ataque , la velocidad del aire, la altitud, etc. (Dichos parámetros se denominan "estados").

Derivada de control

Mide cuánto cambio ocurre en una fuerza o momento que actúa sobre el vehículo cuando hay un pequeño cambio en la deflexión de una superficie de control como los alerones, el elevador y el timón.

Usos

Linealización (simplificación) del análisis de estabilidad.

Los derivados de estabilidad y control cambian a medida que cambian las condiciones de vuelo. Es decir, las fuerzas y momentos sobre el vehículo rara vez son funciones simples (lineales) de sus estados. Debido a esto, la dinámica de los vehículos de vuelo atmosféricos puede resultar difícil de analizar. Los siguientes son dos métodos utilizados para abordar esta complejidad.

Pequeñas oscilaciones sobre condiciones de vuelo que de otro modo serían estables

Una forma de simplificar el análisis es considerar sólo pequeñas oscilaciones sobre condiciones de vuelo que de otro modo serían estables. El conjunto de condiciones de vuelo (como altitud, velocidad del aire, ángulo de ataque) se denominan condiciones de "compensación" cuando son estables y no cambian. Cuando las condiciones de vuelo son estables, las derivadas de estabilidad y control son constantes y pueden analizarse matemáticamente más fácilmente. El análisis de un único conjunto de condiciones de vuelo se aplica luego a una variedad de condiciones de vuelo diferentes.

Aplicación en simuladores para análisis de estabilidad.

En un simulador de vuelo, es posible "buscar" nuevos valores de estabilidad y derivadas de control a medida que cambian las condiciones. Y así, las "aproximaciones lineales" no son tan buenas y la estabilidad se puede evaluar en maniobras que abarcan un mayor rango de condiciones de vuelo. Los simuladores de vuelo utilizados para análisis como este se denominan "simuladores de ingeniería". El conjunto de valores de las derivadas de estabilidad y control (a medida que cambian en diversas condiciones de vuelo) se denomina modelo aerodinámico .

Uso en simuladores de vuelo.

Además de los simuladores de ingeniería, los modelos aeronáuticos se utilizan a menudo en simuladores de vuelo en tiempo real para uso doméstico y entrenamiento de vuelo profesional.

Nombres para los ejes de los vehículos.

Los vehículos aéreos utilizan un sistema de coordenadas de ejes para ayudar a nombrar parámetros importantes utilizados en el análisis de la estabilidad. Todos los ejes pasan por el centro de gravedad (llamado "CG"):

• El eje "X" o "x" corre de atrás hacia adelante a lo largo del cuerpo, llamado Roll Axis .
• El eje "Y" o "y" corre de izquierda a derecha a lo largo del ala, llamado eje de cabeceo .
• "Z" o "z" va de arriba a abajo, llamado Eje de Yaw .

Se utilizan dos alineaciones ligeramente diferentes de estos ejes según la situación: "ejes fijos en el cuerpo" y "ejes de estabilidad".

Ejes fijos al cuerpo

Los ejes fijos en la carrocería, o "ejes de la carrocería", se definen y fijan con respecto a la carrocería del vehículo: ^[1]

• El eje X de la carrocería está alineado a lo largo de la carrocería del vehículo y suele ser positivo hacia la dirección normal de movimiento.
• El eje Y de la carrocería forma un ángulo recto con el eje x de la carrocería y está orientado a lo largo de las alas del vehículo. Si no hay alas (como ocurre con un misil), se define una dirección "horizontal" de una manera que sea útil. Por lo general, se considera que el eje Y de la carrocería es positivo hacia el lado derecho del vehículo.
• El eje Z del cuerpo es perpendicular al plano ala-cuerpo (XY) y normalmente apunta hacia abajo.

Ejes de estabilidad

Los aviones (normalmente no los misiles) operan con un ángulo de ataque de "compensación" nominalmente constante . El ángulo de la nariz (el eje X) no se alinea con la dirección del aire que viene. La diferencia en estas direcciones es el ángulo de ataque . Entonces, para muchos propósitos, los parámetros se definen en términos de un sistema de ejes ligeramente modificado llamado "ejes de estabilidad". El sistema de eje de estabilidad se utiliza para alinear el eje X con la dirección del flujo entrante. Esencialmente, el sistema del eje del cuerpo gira alrededor del eje Y del cuerpo mediante el ángulo de ataque de compensación y luego se "vuelve a fijar" al cuerpo de la aeronave: ^[1]

• El eje de estabilidad X está alineado en la dirección del aire que se aproxima en vuelo constante . (Se proyecta en el plano formado por los ejes X y Z del cuerpo si hay deslizamiento lateral ).
• El eje de estabilidad Y es el mismo que el eje Y fijo en el cuerpo.
• El eje de estabilidad Z es perpendicular al plano formado por el eje de estabilidad X y el eje Y del cuerpo .

Nombres de fuerzas, momentos y velocidades.

Fuerzas y velocidades a lo largo de cada uno de los ejes.

Las fuerzas que actúan sobre el vehículo a lo largo de los ejes de la carrocería se denominan "fuerzas en los ejes de la carrocería":

• X, o F _X , se utiliza para indicar fuerzas sobre el vehículo a lo largo del eje X.
• Y, o F _Y , se utiliza para indicar fuerzas sobre el vehículo a lo largo del eje Y.
• Z, o F _Z , se utiliza para indicar fuerzas sobre el vehículo a lo largo del eje Z.
• u (minúscula) se utiliza para la velocidad del flujo que se aproxima a lo largo del eje X del cuerpo
• v (minúscula) se utiliza para la velocidad del flujo que se aproxima a lo largo del eje Y del cuerpo
• w (minúscula) se utiliza para la velocidad del flujo que se aproxima a lo largo del eje del cuerpo Z

Es útil pensar en estas velocidades como proyecciones del vector viento relativo sobre los tres ejes del cuerpo, en lugar de en términos del movimiento de traslación del vehículo con respecto al fluido. A medida que el cuerpo gira con respecto a la dirección del viento relativo , estos componentes cambian, incluso cuando no hay un cambio neto en la velocidad .

Momentos y velocidades angulares alrededor de cada uno de los ejes.

• L se utiliza para indicar el " momento de rodadura ", que se encuentra alrededor del eje X. Si está alrededor del eje X del cuerpo o del eje X de estabilidad depende del contexto (como un subíndice).
• M se utiliza para indicar el nombre del " momento de cabeceo ", que se encuentra alrededor del eje Y.
• N se utiliza para indicar el nombre del " momento de guiñada ", que se encuentra alrededor del eje Z. Si es alrededor del eje Z del cuerpo o del eje Z de estabilidad depende del contexto (como un subíndice).
• "P" o "p" se utiliza para la velocidad angular alrededor del eje X ("Velocidad de balanceo alrededor del eje de balanceo"). Si está alrededor del eje X del cuerpo o del eje X de estabilidad depende del contexto (como un subíndice).
• "Q" o "q" se utiliza para la velocidad angular alrededor del eje Y ("Velocidad de cabeceo alrededor del eje de cabeceo").
• "R" o "r" se utiliza para la velocidad angular alrededor del eje Z ("velocidad de guiñada alrededor del eje de guiñada"). Si es alrededor del eje Z del cuerpo o del eje Z de estabilidad depende del contexto (como un subíndice).

Ecuaciones de movimiento

El uso de derivadas de estabilidad se demuestra más convenientemente con configuraciones de misiles o cohetes, porque estos exhiben mayor simetría que los aviones y las ecuaciones de movimiento son correspondientemente más simples. Si se supone que el vehículo tiene control de balanceo, los movimientos de cabeceo y guiñada pueden tratarse de forma aislada. Es una práctica común considerar el plano de guiñada, por lo que sólo es necesario considerar el movimiento 2D. Además, se supone que el empuje es igual a la resistencia y la ecuación longitudinal del movimiento puede ignorarse.

.

El cuerpo está orientado formando un ángulo (psi) con respecto a los ejes de inercia. El cuerpo está orientado formando un ángulo (beta) con respecto al vector velocidad, de modo que las componentes de la velocidad en los ejes del cuerpo son: ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle u=U\cos \beta }$

${\displaystyle v=U\sin \beta }$

¿ Dónde está la velocidad? ${\displaystyle U}$

Las fuerzas aerodinámicas se generan con respecto a los ejes del cuerpo, lo que no es un marco inercial. Para calcular el movimiento, las fuerzas deben referirse a ejes de inercia. Esto requiere que los componentes corporales de la velocidad se resuelvan a través del ángulo de rumbo en ejes inerciales. ${\displaystyle (\beta )}$

Resolviendo en ejes fijos (inerciales):

${\displaystyle u_{f}=U\cos(\beta )\cos(\psi )-U\sin(\beta )\sin(\psi )=U\cos(\beta +\psi )}$

${\displaystyle v_{f}=U\sin(\beta )\cos(\psi )+U\cos(\beta )\sin(\psi )=U\sin(\beta +\psi )}$

La aceleración con respecto a los ejes inerciales se encuentra diferenciando estas componentes de la velocidad con respecto al tiempo:

${\displaystyle {\frac {du_{f}}{dt}}={\frac {dU}{dt}}\cos(\beta +\psi )-U{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\sin(\beta +\psi )}$

${\displaystyle {\frac {dv_{f}}{dt}}={\frac {dU}{dt}}\sin(\beta +\psi )+U{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\cos(\beta +\psi )}$

Según la Segunda Ley de Newton , esto es igual a la fuerza que actúa dividida por la masa . Ahora bien, las fuerzas surgen de la distribución de presión sobre el cuerpo y, por lo tanto, se generan en los ejes del cuerpo y no en los ejes inerciales, por lo que las fuerzas del cuerpo deben resolverse en ejes inerciales, ya que la Segunda Ley de Newton no se aplica en su forma más simple a una aceleración. marco de referencia.

Resolviendo las fuerzas del cuerpo:

${\displaystyle X_{f}=X\cos(\psi )-Y\sin(\psi )}$

${\displaystyle Y_{f}=Y\cos(\psi )+X\sin(\psi )}$

Segunda Ley de Newton, suponiendo masa constante:

${\displaystyle X_{f}=m{\frac {du_{f}}{dt}}}$

${\displaystyle Y_{f}=m{\frac {dv_{f}}{dt}}}$

donde m es la masa. Al equiparar los valores inerciales de la aceleración y la fuerza, y resolverlos nuevamente en los ejes del cuerpo, se obtienen las ecuaciones de movimiento:

${\displaystyle X=m{\frac {dU}{dt}}\cos(\beta )-mU{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\sin(\beta )}$

${\displaystyle Y=m{\frac {dU}{dt}}\sin(\beta )+mU{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\cos(\beta )}$

El deslizamiento lateral, , es una cantidad pequeña, por lo que las ecuaciones de perturbación pequeñas del movimiento se convierten en: ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle X=m{\frac {dU}{dt}}}$

${\displaystyle Y=mU{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}}$

La primera se asemeja a la expresión habitual de la Segunda Ley de Newton, mientras que la segunda es esencialmente la aceleración centrífuga . La ecuación de movimiento que gobierna la rotación del cuerpo se deriva de la derivada del momento angular en el tiempo :

${\displaystyle N=C{\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}}$

donde C es el momento de inercia con respecto al eje de orientación. Suponiendo una velocidad constante, sólo hay dos variables de estado; y , que se escribirá de forma más compacta como la tasa de guiñada r. Hay una fuerza y ​​un momento, que para una determinada condición de vuelo serán funciones de , r y sus derivadas en el tiempo. Para configuraciones típicas de misiles, las fuerzas y los momentos dependen, a corto plazo, de y r. Las fuerzas se pueden expresar en la forma: ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {\frac {d\psi }{dt}}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle Y=Y_{0}+{\frac {\partial Y}{\partial \beta }}\beta +{\frac {\partial Y}{\partial r}}r}$

donde es la fuerza correspondiente a la condición de equilibrio (generalmente llamada trim ) cuya estabilidad se está investigando. Es una práctica común emplear una taquigrafía: ${\displaystyle Y_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial \beta }}=Y_{\beta }}$

La derivada parcial y todos los términos similares que caracterizan los incrementos de fuerzas y momentos debidos a incrementos en las variables de estado se denominan derivadas de estabilidad. Normalmente, es insignificante para configuraciones de misiles, por lo que las ecuaciones de movimiento se reducen a: ${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial \beta }}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial r}}}$

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}={\frac {Y_{\beta }}{mU}}\beta -r}$

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}={\frac {N_{\beta }}{C}}\beta +{\frac {N_{r}}{C}}r}$

Contribuciones de los derivados de estabilidad

Cada derivada de estabilidad está determinada por la posición, tamaño, forma y orientación de los componentes del misil. En los aviones, la estabilidad direccional determina características tales como el diédrico de los aviones principales, el tamaño de la aleta y el área del plano de cola , pero el gran número de importantes derivados de la estabilidad implicados impide una discusión detallada en este artículo. El misil se caracteriza por sólo tres derivados de estabilidad y, por lo tanto, proporciona una introducción útil a la dinámica más compleja del avión.

Este diagrama muestra la elevación perpendicular al eje longitudinal del cuerpo. En la mayoría de los usos técnicos, la elevación es perpendicular al flujo que se aproxima. Es decir, perpendicular al eje de estabilidad longitudinal .

Consideremos primero que un cuerpo en un ángulo de ataque genera una fuerza de sustentación en dirección opuesta al movimiento del cuerpo. Por este motivo siempre es negativo. ${\displaystyle Y_{\beta }}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle Y_{\beta }}$

Este diagrama muestra la elevación perpendicular al eje longitudinal del cuerpo. En la mayoría de los usos técnicos, la elevación es perpendicular al flujo que se aproxima. Es decir, perpendicular al eje de estabilidad longitudinal .

En ángulos de ataque bajos, la sustentación es generada principalmente por las alas, las aletas y la región del morro del cuerpo. La sustentación total actúa a una distancia por delante del centro de gravedad (tiene un valor negativo en la figura), este, en el lenguaje de los misiles, es el centro de presión. Si la sustentación actúa por delante del centro de gravedad, el momento de guiñada será negativo y tenderá a aumentar el ángulo de ataque, aumentando aún más tanto la sustentación como el momento. De ello se deduce que el centro de presión debe estar detrás del centro de gravedad para lograr estabilidad estática. es el margen estático y debe ser negativo para la estabilidad estática longitudinal . Alternativamente, el ángulo de ataque positivo debe generar un momento de guiñada positivo en un misil estáticamente estable, es decir, debe ser positivo. Es una práctica común diseñar misiles maniobrables con un margen estático cercano a cero (es decir, estabilidad estática neutral). ${\displaystyle x_{cp}}$ ${\displaystyle x_{cp}}$ ${\displaystyle N_{\beta }}$

La necesidad de algo positivo explica por qué las flechas y los dardos tienen alas y los cohetes no guiados tienen aletas. ${\displaystyle N_{\beta }}$

.

El efecto de la velocidad angular es principalmente disminuir la elevación del morro y aumentar la elevación de la cola, los cuales actúan en cierto sentido para oponerse a la rotación. por lo tanto siempre es negativo. Hay una contribución del ala, pero dado que los misiles tienden a tener márgenes estáticos pequeños (normalmente menos que un calibre ), esto suele ser pequeño. Además, la contribución de las aletas es mayor que la de la nariz, por lo que hay una fuerza neta , pero ésta suele ser insignificante en comparación y generalmente se ignora. ${\displaystyle N_{r}}$ ${\displaystyle Y_{r}}$ ${\displaystyle Y_{\beta }}$

Respuesta

La manipulación de las ecuaciones de movimiento produce una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden en el ángulo de ataque : ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}-\left({\frac {Y_{\beta }}{mU}}+{\frac {N_{r}}{C}}\right){\frac {d\beta }{dt}}+\left({\frac {N_{\beta }}{C}}+{\frac {Y_{\beta }}{mU}}{\frac {N_{r}}{C}}\right)\beta =0}$

El comportamiento cualitativo de esta ecuación se considera en el artículo sobre estabilidad direccional . Como y son ambos negativos, la amortiguación es positiva. La rigidez no sólo depende del término de estabilidad estática , sino que también contiene un término que efectivamente determina el ángulo de ataque debido a la rotación del cuerpo. La distancia del centro de sustentación, incluido este término, por delante del centro de gravedad se denomina margen de maniobra. Debe ser negativo para la estabilidad. ${\displaystyle Y_{\beta }}$ ${\displaystyle N_{r}}$ ${\displaystyle N_{\beta }}$

Esta oscilación amortiguada en el ángulo de ataque y la velocidad de guiñada, después de una perturbación, se denomina modo de "veleta", por la tendencia de una veleta a apuntar hacia el viento.

Comentarios

Se eligieron como variables de estado el ángulo de ataque y la velocidad de guiñada r, y se omitió la perturbación de velocidad u, junto con las derivadas asociadas, por ejemplo . Esto puede parecer arbitrario. Sin embargo, dado que la escala de tiempo de la variación de velocidad es mucho mayor que la de la variación del ángulo de ataque, sus efectos son insignificantes en lo que respecta a la estabilidad direccional del vehículo. De manera similar, también se ignoró el efecto del balanceo sobre el movimiento de guiñada, porque los misiles generalmente tienen configuraciones de relación de aspecto baja y la inercia de balanceo es mucho menor que la inercia de guiñada, en consecuencia se espera que el bucle de balanceo sea mucho más rápido que la respuesta de guiñada, y es ignorado. Estas simplificaciones del problema basadas en conocimientos a priori representan el enfoque de un ingeniero. Los matemáticos prefieren mantener el problema lo más general posible y simplificarlo sólo al final del análisis, en todo caso. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle Y_{u}}$

La dinámica de los aviones es más compleja que la dinámica de los misiles, principalmente porque las simplificaciones, como la separación de los modos rápido y lento, y la similitud entre los movimientos de cabeceo y guiñada, no son obvias a partir de las ecuaciones de movimiento y, en consecuencia, se aplazan hasta una etapa tardía del proceso. el analisis. Los aviones de transporte subsónico tienen configuraciones de relación de aspecto alta, por lo que la guiñada y el balanceo no pueden considerarse como desacoplados. Sin embargo, esto es simplemente una cuestión de grado; Las ideas básicas necesarias para comprender la dinámica de los aviones se tratan en este análisis más sencillo del movimiento de los misiles.

Derivados de control

La deflexión de las superficies de control modifica la distribución de presión sobre el vehículo, y esto se aborda incluyendo perturbaciones en las fuerzas y momentos debido a la deflexión del control. La desviación de la aleta normalmente se denomina (zeta). Incluyendo estos términos, las ecuaciones de movimiento quedan: ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}={\frac {Y_{\beta }}{mU}}\beta -r+{\frac {Y_{\zeta }}{mU}}\zeta }$

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}={\frac {N_{\beta }}{C}}\beta +{\frac {N_{r}}{C}}r+{\frac {N_{\zeta }}{C}}\zeta }$

La inclusión de las derivadas de control permite estudiar la respuesta del vehículo y utilizar las ecuaciones de movimiento para diseñar el piloto automático.

Ejemplos

• C _{L ${\displaystyle \beta }$} , llamado efecto diédrico , es una derivada de la estabilidad que mide los cambios en el momento de rodadura a medida que cambia el ángulo de deslizamiento lateral . La "L" indica el momento de rodadura y el ángulo de deslizamiento lateral. ${\displaystyle \beta }$

Ver también

• Estabilidad estática longitudinal
• punto neutro
• Centro aerodinámico
• Dinámica de vuelo
• Estabilidad direccional

Referencias

1. Roskam, enero (1979). "4". Dinámica de vuelo de aviones y controles de vuelo automáticos . vol. 1. Ottawa, Kansas: Corporación de Ingeniería y Aviación de Roskam. pag. 113.Número de tarjeta del catálogo de la Biblioteca del Congreso: 78-31382

• Babister AW: respuesta y estabilidad dinámica de aeronaves . Otra cosa 1980, ISBN 0-08-024768-7 
• Friedland B: Diseño de sistemas de control . Compañía de libros McGraw-Hill 1987. ISBN 0-07-100420-3 
• Roskam Jan: dinámica de vuelo de aviones y controles de vuelo automáticos . Roskam Aviation and Engineering Corporation 1979. Segunda impresión 1982. Número de tarjeta de catálogo de la Biblioteca del Congreso: 78-31382.