Producto profundidad-pendiente

El producto profundidad-pendiente se utiliza para calcular la tensión de corte en el lecho de un canal abierto que contiene fluido que experimenta un flujo constante y uniforme . Se utiliza ampliamente en ingeniería fluvial , restauración de cursos de agua , sedimentología y geomorfología fluvial . Es el producto de la profundidad del agua y la pendiente media del lecho , junto con la aceleración debida a la gravedad y la densidad del fluido.

Formulación

El uso del producto profundidad-pendiente —en el cálculo de la tensión cortante del lecho— se refiere específicamente a dos supuestos que son ampliamente aplicables a los cauces naturales de los ríos : que el ángulo del cauce con respecto a la horizontal es lo suficientemente pequeño como para que pueda aproximarse como la pendiente mediante la fórmula del ángulo pequeño , y que el cauce es mucho más ancho que profundo, y los efectos de las paredes laterales pueden ignorarse. Aunque es un enfoque simplista para encontrar la tensión cortante en lo que a menudo puede ser un sistema fluvial localmente inestable , cuando se promedian en distancias de kilómetros, estas variaciones locales se promedian y el producto profundidad-pendiente se convierte en una herramienta útil para comprender la tensión cortante en cauces abiertos como los ríos.

Profundidad y radio hidráulico

La primera suposición es que el canal es mucho más ancho que profundo y las ecuaciones se pueden resolver como si el canal fuera infinitamente ancho. Esto significa que se pueden ignorar los efectos de las paredes laterales y que se puede suponer que el radio hidráulico , , es igual a la profundidad del canal, . ${\displaystyle R_{h}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle R_{h}={\frac {A}{P}}}$

donde es el área de la sección transversal del flujo y es el perímetro mojado . Para un canal semicircular, el radio hidráulico sería simplemente el radio verdadero . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$

Para un canal aproximadamente rectangular (para simplificar las matemáticas de la explicación del supuesto),

${\displaystyle A=bh}$,

¿Dónde está el ancho (ancho) del canal, y ${\displaystyle b}$

${\displaystyle P=b+2h}$.

Para b>>h,

${\displaystyle P\rightarrow b}$,

y por lo tanto

${\displaystyle R_{h}\rightarrow {\frac {bh}{b}}=h}$.

Formalmente, esta suposición se puede considerar válida cuando el ancho es mayor que aproximadamente 20 veces la altura; la cantidad exacta de error acumulado se puede encontrar comparando la altura con el radio hidráulico. Para canales con una relación ancho-profundidad menor, se puede encontrar una mejor solución utilizando el radio hidráulico en lugar de la simplificación anterior.

Presión

La tensión total sobre el lecho de un canal abierto de ancho infinito está dada por la presión hidrostática que actúa sobre el lecho. Para un fluido de densidad , una aceleración debida a la gravedad y una profundidad de flujo , la presión ejercida sobre el lecho es simplemente el peso de un elemento de fluido, , multiplicado por la profundidad del flujo, . A partir de esto, obtenemos la expresión para la presión total, , que actúa sobre el lecho. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \rho g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle P_{b}}$

${\displaystyle P_{b}=\rho gh\,}$

Esfuerzo cortante

Para convertir la presión en esfuerzo cortante, es necesario determinar el componente de la presión que genera esfuerzo cortante sobre el lecho. Para un canal que se encuentra en un ángulo con respecto a la horizontal, el componente cortante del esfuerzo que actúa sobre el lecho , que es el componente que actúa tangencialmente al lecho, es igual a la presión total multiplicada por el seno del ángulo . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle /\left(\tau _{b}\right)}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \tau _{b}=\rho gh\sin {\left(\alpha \right)}\,}$

En los ríos naturales, el ángulo suele ser muy pequeño. Por ello, la fórmula del ángulo pequeño establece que: ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \sin {\left(\alpha \right)}\approx \tan {\left(\alpha \right)}}$

La tangente del ángulo es, por definición, igual a la pendiente del canal, . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \tan {\left(\alpha \right)}\equiv S}$

A partir de esto, podemos llegar a la forma final de la relación entre el esfuerzo cortante del lecho y el producto profundidad-pendiente:

${\displaystyle \tau _{b}=\rho ghS\,}$

Escalada

Suponiendo un único fluido homogéneo y bien mezclado y una única aceleración debida a la gravedad (ambas son buenas suposiciones en ríos naturales, y la segunda es una buena suposición para procesos en la Tierra o cualquier cuerpo planetario con una influencia dominante en el campo gravitacional local), las únicas dos variables que determinan la tensión cortante límite son la profundidad y la pendiente. Este es el significado del nombre de la fórmula.

${\displaystyle \tau _{b}\propto hS}$

Para corrientes naturales, en el sistema mks o SI (unidades de pascales para esfuerzo cortante), una relación típica útil para recordar es que:

${\displaystyle \tau _{b}=10000\left[{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{2}\ \mathrm {s} ^{2}}}\right]hS}$

para agua con una densidad de 1000 kg/m ³ y aproximando la aceleración debida a la gravedad como 10 m/s ² (el error en esta suposición es típicamente mucho menor que el error de las mediciones).

Usos

La tensión cortante del lecho se puede utilizar para encontrar:

• El perfil de velocidad vertical dentro del flujo de fluido
• La capacidad del fluido para transportar sedimentos.
• La velocidad de dispersión por cizallamiento de contaminantes y trazadores.

Véase también

• Sedimento
• Mecánica de fluidos

Referencias

• Leopold, Wolman y Miller (1964), Procesos fluviales en geomorfología, Dover Publications, Mineola, NY, EE. UU., 535 págs.