En matemáticas , se dice que un orden parcial o un orden total < en un conjunto es denso si, para todos y en los cuales , hay un en tal que . Es decir, para dos elementos cualesquiera, uno menor que el otro, hay otro elemento entre ellos. Para pedidos totales, esto se puede simplificar a "para dos elementos distintos, hay otro elemento entre ellos", ya que todos los elementos de un pedido total son comparables .
Los números racionales como conjunto linealmente ordenado son un conjunto densamente ordenado en este sentido, al igual que los números algebraicos , los números reales , los racionales diádicos y las fracciones decimales . De hecho, cada extensión anular ordenada de Arquímedes de los números enteros es un conjunto densamente ordenado.
Para el elemento , debido a la propiedad de Arquímedes, si existe un entero más grande con , y si , y existe un entero más grande con . Como resultado, . Para dos elementos cualesquiera con , y . Por tanto es denso.
Por otro lado, el orden lineal de los números enteros no es denso.
Georg Cantor demostró que cada dos conjuntos contables totalmente ordenados, densos y no vacíos, sin límites superior o inferior, son de orden isomorfo . [1] Esto hace que la teoría de órdenes lineales densos sin límites sea un ejemplo de una teoría ω-categórica donde ω es el ordinal límite más pequeño . Por ejemplo, existe un isomorfismo de orden entre los números racionales y otros conjuntos contables densamente ordenados, incluidos los racionales diádicos y los números algebraicos . Las pruebas de estos resultados utilizan el método de ida y vuelta . [2]
La función del signo de interrogación de Minkowski se puede utilizar para determinar los isomorfismos de orden entre los números algebraicos cuadráticos y los números racionales , y entre los racionales y los racionales diádicos .
Cualquier relación binaria R se dice que es densa si, para todos los x e y relacionados con R , existe una z tal que x , z y también z e y están relacionados con R. Formalmente:
Las condiciones suficientes para que una relación binaria R en un conjunto X sea densa son:
Ninguno de ellos es necesario . Por ejemplo, existe una relación R que no es reflexiva sino densa. Una relación densa y no vacía no puede ser antitransitiva .
Un orden parcial estricto < es un orden denso si y sólo si < es una relación densa. Una relación densa que además es transitiva se dice que es idempotente .