teorema de la vieira

Una vieira nada abriendo lentamente sus dos mitades y luego cerrándolas rápidamente. Este es un método de natación exitoso porque la fuerza de inercia del agua circundante domina sobre la fuerza viscosa. En un entorno con un número de Reynolds bajo, una vieira solo oscilaría en su lugar.

En física, el teorema de la vieira establece que un nadador que realiza un movimiento recíproco no puede lograr un desplazamiento neto en un entorno fluido newtoniano con un número de Reynolds bajo , es decir, un fluido que es altamente viscoso . Un nadador así deforma su cuerpo hasta darle una forma particular mediante una secuencia de movimientos y luego vuelve a la forma original realizando la secuencia a la inversa. Con un número de Reynolds bajo, el tiempo o la inercia no entran en juego, y el movimiento de natación está puramente determinado por la secuencia de formas que asume el nadador.

Edward Mills Purcell estableció este teorema en su artículo de 1977 Life at Low Reynolds Number, explicando los principios físicos de la locomoción acuática . ^[1] El teorema lleva el nombre del movimiento de una vieira que abre y cierra una bisagra simple durante un período. Tal movimiento no es suficiente para crear migración con números de Reynolds bajos. La vieira es un ejemplo de un cuerpo con un grado de libertad para moverse. Los cuerpos con un solo grado de libertad se deforman de manera recíproca y posteriormente, los cuerpos con un solo grado de libertad no logran la locomoción en un ambiente altamente viscoso.

Fondo

Animación de un micronadador de 3 esferas de Najafi-Golestan. ^[2] Tiene un grado de libertad donde el brazo izquierdo se extiende y se retrae. En entornos con un número de Reynolds bajo, esto no produce un desplazamiento neto de todo el cuerpo cuando el brazo completa un ciclo de extensión y retracción.

El teorema de la vieira es una consecuencia de las fuerzas posteriores aplicadas al organismo mientras nada desde el fluido circundante. Para un fluido newtoniano incompresible con densidad y viscosidad dinámica , el flujo satisface las ecuaciones de Navier-Stokes : ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \rho \left({\dfrac {\partial }{\partial \mathrm {t} }}+\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-\nabla p+\eta \nabla ^{2}\mathbf {u} ,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0,}$

donde denota la velocidad del fluido. Sin embargo, en el límite bajo del número de Reynolds, los términos inerciales de las ecuaciones de Navier-Stokes en el lado izquierdo tienden a cero. Esto se hace más evidente al adimensionalizar las ecuaciones de Navier-Stokes . Al definir una velocidad y una longitud características, y , podemos convertir nuestras variables en una forma adimensional: ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle u_{0}}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \mathbf {\tilde {u}} ={\dfrac {\mathbf {u} }{u_{0}}};\quad \mathbf {\tilde {r}} ={\dfrac {\mathbf {r} }{L}};\quad {\tilde {t}}={\dfrac {t}{(L/u_{0})}};\quad {\tilde {p}}={\dfrac {p}{(\eta u_{0}/L)}}.}$

donde la presión adimensional está apropiadamente escalada para flujo con efectos viscosos significativos. Al introducir estas cantidades en las ecuaciones de Navier-Stokes se obtiene:

${\displaystyle {\dfrac {\rho u_{0}^{2}}{L}}\left({\dfrac {\partial }{\partial {\tilde {t}}}}+\mathbf {\tilde {u}} \cdot {\tilde {\nabla }}\right)\mathbf {\tilde {u}} =-{\dfrac {\eta u_{0}}{L^{2}}}\left({\tilde {\nabla }}{\tilde {p}}+{\tilde {\nabla }}^{2}\mathbf {\tilde {u}} \right),\quad {\tilde {\nabla }}\cdot \mathbf {\tilde {u}} =0.}$

Y reordenando los términos llegamos a una forma adimensional:

${\displaystyle {\text{Re}}\left({\dfrac {\partial }{\partial {\tilde {t}}}}+\mathbf {\tilde {u}} \cdot {\tilde {\nabla }}\right)\mathbf {\tilde {u}} =-{\tilde {\nabla }}{\tilde {p}}+{\tilde {\nabla }}^{2}\mathbf {\tilde {u}} ,\quad {\tilde {\nabla }}\cdot \mathbf {\tilde {u}} =0,}$

¿Dónde está el número de Reynolds? En el límite bajo del número de Reynolds (como ), el LHS tiende a cero y llegamos a una forma adimensional de las ecuaciones de Stokes. Redimensionalizar produce: ${\displaystyle {\text{Re}}=\rho u_{0}L/\eta }$ ${\displaystyle \mathrm {Re} \rightarrow 0}$

${\displaystyle 0=-\nabla p+\eta \nabla ^{2}\mathbf {u} ,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0.}$

Declaración

Las consecuencias de no tener términos inerciales con un número de Reynolds bajo son:

• Una consecuencia significa que el nadador prácticamente no experimenta fuerza o torsión neta.

• Una segunda consecuencia nos dice que la velocidad es linealmente proporcional a la fuerza (lo mismo puede decirse de la velocidad angular y el par).

• Las ecuaciones de Stokes se vuelven lineales e independientes del tiempo.

En particular, para un nadador que se mueve en el régimen de número de Reynolds bajo, su movimiento satisface:

• Independiente del tiempo: el mismo movimiento puede acelerarse o desacelerarse y aun así satisfaría las ecuaciones de Stokes. Más geométricamente, esto significa que el movimiento de un nadador en el régimen de bajo número de Reynolds está determinado puramente por la forma de su trayectoria en el espacio de configuración.
• Reversibilidad cinemática: el mismo movimiento puede invertirse. Cualquier inversión instantánea de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo no cambiará la naturaleza del flujo de fluido a su alrededor, simplemente la dirección del flujo. Estas fuerzas son responsables de producir movimiento. Cuando un cuerpo tiene sólo un grado de libertad, la inversión de fuerzas hará que el cuerpo se deforme de forma recíproca. Por ejemplo, una vieira que abre su bisagra simplemente la cerrará para intentar lograr la propulsión. Dado que la inversión de fuerzas no cambia la naturaleza del flujo, el cuerpo se moverá en la dirección inversa exactamente de la misma manera, sin producir ningún desplazamiento neto. Así llegamos a las consecuencias del teorema de la vieira. ^[3]

Prueba por escala

Esto se acerca más en espíritu al boceto de prueba proporcionado por Purcell. ^[1] El resultado clave es demostrar que un nadador en un fluido de Stokes no depende del tiempo. Es decir, uno no puede detectar si una película del movimiento de un nadador se desacelera, acelera o invierte. Los demás resultados son, pues, simples corolarios.

El tensor de tensión del fluido es . ${\displaystyle \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+\mu (\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i})}$

Sea una constante real distinta de cero. Supongamos que tenemos un movimiento de natación, entonces podemos hacer el siguiente escalamiento: ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle p\mapsto rp;\quad u\mapsto ru;\quad \sigma \mapsto r\sigma }$$

${\displaystyle r}$

Dado que el movimiento se realiza en el régimen de número de Reynolds bajo, las fuerzas de inercia son insignificantes y la fuerza total instantánea y el torque sobre el nadador deben equilibrarse a cero. Dado que la fuerza y ​​el torque totales instantáneos sobre el nadador se calculan integrando el tensor de tensión sobre su superficie, la fuerza y ​​el torque totales instantáneos también aumentan, y siguen siendo cero. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle r}$

Por lo tanto, al escalar tanto el movimiento del nadador como el movimiento del fluido circundante por el mismo factor, aún obtenemos un movimiento que respeta la ecuación de Stokes.

Prueba por cálculo vectorial

La demostración del teorema de la vieira se puede representar de forma matemáticamente elegante. Para ello, primero debemos comprender las consecuencias matemáticas de la linealidad de las ecuaciones de Stokes. En resumen, la linealidad de las ecuaciones de Stokes nos permite usar el teorema recíproco para relacionar la velocidad de natación del nadador con el campo de velocidades del fluido alrededor de su superficie (conocido como marcha de natación), que cambia según el movimiento periódico que exhibe. . Esta relación nos permite concluir que la locomoción es independiente de la velocidad de nado. Posteriormente, esto lleva al descubrimiento de que la inversión del movimiento periódico es idéntica al movimiento hacia adelante debido a la simetría, lo que nos permite concluir que no puede haber un desplazamiento neto. ^[3]

Independencia de tasas

El teorema recíproco describe la relación entre dos flujos de Stokes en la misma geometría donde los efectos inerciales son insignificantes en comparación con los efectos viscosos. Considere una región llena de fluido limitada por una superficie con una unidad normal . Supongamos que tenemos soluciones a las ecuaciones de Stokes en el dominio que posee la forma de los campos de velocidad y . Los campos de velocidad albergan campos de tensión correspondientes y respectivamente. Entonces se cumple la siguiente igualdad: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} '}$ ${\displaystyle \mathbf {\sigma } }$ ${\displaystyle \mathbf {\sigma } '}$

${\displaystyle \iint _{S}\mathbf {u} \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}'\cdot {\hat {\mathbf {n} }})~\mathrm {d} S=\iint _{S}\mathbf {u} '\cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {n} }})~\mathrm {d} S.}$

El teorema recíproco nos permite obtener información sobre un determinado flujo utilizando información de otro flujo. Esto es preferible a resolver las ecuaciones de Stokes, lo cual es difícil debido a que no se conoce una condición de contorno. Esto es particularmente útil si uno quiere entender el flujo de un problema complicado estudiando el flujo de un problema más simple en la misma geometría.

Se puede utilizar el teorema recíproco para relacionar la velocidad de natación, , de un nadador sujeto a una fuerza con su marcha de natación : ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{S}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {U} =-\iint _{S}\mathbf {u} _{S}\cdot ({\boldsymbol {\hat {\sigma }}}\cdot \mathbf {n} )~\mathrm {d} S.}$

Ahora que hemos establecido que la relación entre la velocidad instantánea de natación en la dirección de la fuerza que actúa sobre el cuerpo y su marcha de natación sigue la forma general

${\displaystyle \mathbf {U} =\iint {\dot {\mathbf {r} }}_{S}\cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} _{S})~\mathrm {d} S,}$

donde y denotamos las posiciones de los puntos en la superficie del nadador, podemos establecer que la locomoción es independiente de la velocidad. Considere un nadador que se deforma periódicamente mediante una secuencia de movimientos entre los tiempos y El desplazamiento neto del nadador es ${\displaystyle \mathbf {u} _{S}\equiv {\dot {\mathbf {r} _{S}}}=\mathrm {d} \mathbf {r} _{S}/\mathrm {d} t}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{S}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}.}$

${\displaystyle \Delta X=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {U} ~\mathrm {d} t.}$

Consideremos ahora al nadador deformándose de la misma manera pero a un ritmo diferente. Describimos esto con el mapeo.

${\displaystyle t'=f(t),\quad \mathbf {r} _{S}(t)=\mathbf {r'} _{S}(t'),\quad {\dot {\mathbf {r} }}_{S}(t)={\dfrac {\mathrm {d} \mathbf {r'} _{S}(t')}{\mathrm {d} t}}={\dfrac {\mathrm {d} \mathbf {r'} _{S}(t')}{\mathrm {d} t'}}\cdot {\dfrac {\mathrm {d} t'}{\mathrm {d} t}}={\dot {\mathbf {r} }}_{S}'(t'){\dot {f}}(t).}$

Usando este mapeo, vemos que

${\displaystyle \Delta X'=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {U} '(t')~\mathrm {d} t'=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {U} '(f(t)){\dot {f}}~\mathrm {d} t=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint {\dot {\mathbf {r} }}_{S}'{\dot {f}}\cdot \mathbf {g} (\mathbf {r'} _{S})~\mathrm {d} S\mathrm {d} t=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint {\dot {\mathbf {r} _{S}}}\cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} _{S})~\mathrm {d} S\mathrm {d} t}$

${\displaystyle =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {U} (t)~\mathrm {d} t\rightarrow \Delta X'=\Delta X.}$

Este resultado significa que la distancia neta recorrida por el nadador no depende de la velocidad a la que se deforma, sino sólo de la secuencia geométrica de la forma. Este es el primer resultado clave.

Simetría del movimiento hacia adelante y hacia atrás.

Si un nadador se mueve de forma periódica e invariante en el tiempo, sabemos que el desplazamiento promedio durante un período debe ser cero. Para ilustrar la prueba, consideremos un nadador que se deforma durante un período que comienza y termina en momentos y . Eso significa que su forma al principio y al final son la misma, es decir, a continuación, consideramos el movimiento obtenido por simetría de inversión de tiempo del primer movimiento que ocurre durante el período que comienza y termina en momentos y usando un mapeo similar al de la sección anterior. definimos y definimos la forma en el movimiento inverso para que sea la misma que la forma en el movimiento hacia adelante. Ahora encontramos la relación entre los desplazamientos netos en estos dos casos: ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{S}(t_{0})=\mathbf {r} _{S}(t_{1}).}$ ${\displaystyle t_{2}}$ ${\displaystyle t_{3}.}$ ${\displaystyle t_{2}=f(t_{1})}$ ${\displaystyle t_{3}=f(t_{0})}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{S}(t)=\mathbf {r'} _{S}(t').}$

${\displaystyle \Delta X'=\int _{t_{2}}^{t_{3}}\mathbf {U} '(t')~\mathrm {d} t'=\int _{t_{1}}^{t_{0}}\mathbf {U} (t)~\mathrm {d} t=-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {U} (t)~\mathrm {d} t=-\Delta X.}$

Este es el segundo resultado clave. Combinando con nuestro primer resultado clave de la sección anterior, vemos que un nadador que invierte su movimiento invirtiendo su secuencia de cambios de forma conduce a la distancia recorrida opuesta. Además, dado que el nadador exhibe una deformación corporal recíproca, la secuencia de movimiento es la misma entre y y y. Por lo tanto, la distancia recorrida debe ser la misma independientemente de la dirección del tiempo, lo que significa que el movimiento recíproco no se puede utilizar para el movimiento neto en aguas bajas. Entornos del número de Reynolds. ${\displaystyle \Delta X'=\Delta X=-\Delta X\rightarrow \Delta X=0.}$ ${\displaystyle t_{2}}$ ${\displaystyle t_{3}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}.}$

Excepciones

El teorema de la vieira se cumple si suponemos que un nadador experimenta un movimiento recíproco en un fluido newtoniano inactivo infinito en ausencia de inercia y fuerzas corporales externas. Sin embargo, hay casos en los que se violan los supuestos del teorema de la vieira. ^[4] En un caso, los nadadores exitosos en ambientes viscosos deben mostrar una cinemática corporal no recíproca. En otro caso, si un nadador está en un fluido no newtoniano , también se puede lograr la locomoción.

Tipos de movimiento no recíproco

En su artículo original, Purcell propuso un ejemplo simple de deformación corporal no recíproca, ahora comúnmente conocido como el nadador de Purcell. Este simple nadador posee dos grados de libertad de movimiento: un cuerpo con dos bisagras compuesto por tres eslabones rígidos que giran desfasados ​​entre sí. Sin embargo, cualquier cuerpo con más de un grado de libertad de movimiento también puede lograr la locomoción.

En general, los organismos microscópicos como las bacterias han desarrollado diferentes mecanismos para realizar movimientos no recíprocos:

• Uso de un flagelo , que gira, empujando el medio hacia atrás (y la célula hacia adelante) de la misma manera que la hélice de un barco mueve un barco. Así es como se mueven algunas bacterias; el flagelo está unido en un extremo a un motor giratorio complejo sostenido rígidamente en la superficie de la célula bacteriana. ^{[5] [6]}
• Uso de un brazo flexible: esto se puede hacer de muchas maneras diferentes. Por ejemplo, los espermatozoides de los mamíferos tienen un flagelo que, en forma de látigo, se retuerce al final de la célula, empujándola hacia adelante. ^[7] Los cilios son estructuras bastante similares a los flagelos de los mamíferos; pueden hacer avanzar una célula como el paramecio mediante un movimiento complejo no muy diferente al de la brazada de pecho .

Geométricamente, el flagelo giratorio es un nadador unidimensional y funciona porque su movimiento gira alrededor de un espacio de configuración en forma de círculo, y un círculo no es un movimiento alternativo. El brazo flexible es un nadador multidimensional y funciona porque su movimiento gira alrededor de un círculo en un espacio de configuración de forma cuadrada. Observe que el primer tipo de movimiento tiene homotopía no trivial , pero el segundo tipo tiene homotopía trivial.

Fluidos no newtonianos

La suposición de un fluido newtoniano es esencial ya que las ecuaciones de Stokes no permanecerán lineales ni independientes del tiempo en un entorno que posee propiedades mecánicas y reológicas complejas. También es de conocimiento común que muchos microorganismos vivos viven en fluidos complejos no newtonianos, que son comunes en entornos biológicamente relevantes. Por ejemplo, las células reptantes a menudo migran en fluidos poliméricos elásticos. Los fluidos no newtonianos tienen varias propiedades que pueden manipularse para producir locomoción a pequeña escala. ^[4]

En primer lugar, una de esas propiedades explotables son las diferencias normales de tensión. Estas diferencias surgirán del estiramiento del fluido por el flujo del nadador. Otra propiedad explotable es la relajación del estrés. La evolución temporal de tales tensiones contiene un término de memoria, aunque el grado en que se puede utilizar está en gran parte inexplorado. Por último, los fluidos no newtonianos poseen viscosidades que dependen de la velocidad de corte. En otras palabras, un nadador experimentaría un entorno de número de Reynolds diferente al alterar su velocidad de movimiento. Muchos fluidos biológicamente relevantes presentan adelgazamiento por cizallamiento, lo que significa que la viscosidad disminuye con la velocidad de cizallamiento. En tal entorno, la velocidad a la que un nadador exhibe movimiento recíproco sería significativa ya que ya no sería invariante en el tiempo. Esto contrasta marcadamente con lo que establecimos, donde la velocidad a la que se mueve un nadador es irrelevante para establecer la locomoción. Por tanto, se puede diseñar un nadador recíproco en un fluido no newtoniano. Qiu et al . (2014) pudieron diseñar una micro vieira en un fluido no newtoniano. ^[8]

Ver también

• Motilidad bacteriana
• micronadador
• locomoción protista

Referencias

1. Purcell, EM (1977), "Vida con un número de Reynolds bajo", American Journal of Physics , 45 (1): 3–11, Bibcode :1977AmJPh..45....3P, doi :10.1119/1.10903, hdl : 2433/226838
2. Najafi, Ali; Golestanian, Ramin (16 de junio de 2004). "Nadador simple con número de Reynolds bajo: tres esferas unidas". Revisión física E. 69 (6): 062901. arXiv : cond-mat/0402070 . doi : 10.1103/PhysRevE.69.062901.
3. Lauga, Eric; Powers, Thomas R. (2009), "La hidrodinámica de los microorganismos nadadores", Informes sobre el progreso en física , 72 (9): 096601, arXiv : 0812.2887 , Bibcode : 2009RPPh...72i6601L, doi : 10.1088/0034-4885/ 72/9/096601, S2CID  3932471
4. Lauga, Eric (2011), "La vida alrededor del teorema de la vieira", Materia blanda , 7 (7): 3060–3065, arXiv : 1011.3051 , Bibcode :2011SMat....7.3060L, doi :10.1039/C0SM00953A, S2CID  96762619
5. Berg HC y Anderson RA (1973). "Las bacterias nadan rotando sus filamentos flagelares". Naturaleza . 245 (5425): 380–382. Código Bib :1973Natur.245..380B. doi :10.1038/245380a0. PMID  4593496. S2CID  4173914.
6. Silverman M y Simon M (1974). "Rotación flagelar y mecanismo de motilidad bacteriana". Naturaleza . 249 (100): 73–74. Código Bib :1974Natur.249...73S. doi :10.1038/249073a0. PMID  4598030. S2CID  10370084.
7. Brokaw CJ (1991). "Deslizamiento de microtúbulos en flagelos de espermatozoides nadadores: mediciones directas e indirectas en espermatozoides de erizo de mar y tunicados". Biol celular J. 114 (6): 1201-1215. doi :10.1083/jcb.114.6.1201. PMC 2289132 . PMID  1894694. 
8. Qiu, Tian; Lee, Tung-Chun; Marcos, Andrés G.; Morozov, Konstantin I.; Münster, Rafael; Mierka, Otto; Turek, Stefan; Leshansky, Alexander M.; Fischer, Peer (2014), "Natación por movimiento recíproco con un número de Reynolds bajo", Nature Communications , 5 : 5119, Bibcode : 2014NatCo...5.5119Q, doi : 10.1038/ncomms6119 , PMC 4241991 , PMID  25369018 

enlaces externos

• EM Purcell. Vida con un número de Reynolds bajo, American Journal of Physics vol 45, p. 3-11 (1977)
• Reversibilidad cinemática y teorema de la vieira
• Vídeo de un robot nadador incapaz de impulsarse en un fluido viscoso debido al teorema de Scallop