Adimensionalización y escalamiento de las ecuaciones de Navier-Stokes.

En mecánica de fluidos , la adimensionalización de las ecuaciones de Navier-Stokes es la conversión de la ecuación de Navier-Stokes a una forma adimensional . Esta técnica puede facilitar el análisis del problema en cuestión y reducir la cantidad de parámetros libres . Los tamaños pequeños o grandes de ciertos parámetros adimensionales indican la importancia de ciertos términos en las ecuaciones para el flujo estudiado. Esto puede brindar posibilidades de descuidar términos en (ciertas áreas del) flujo considerado. Además, las ecuaciones de Navier-Stokes no dimensionalizadas pueden ser beneficiosas si uno se enfrenta a situaciones físicas similares, es decir, problemas en los que los únicos cambios son los de las dimensiones básicas del sistema.

El escalamiento de la ecuación de Navier-Stokes se refiere al proceso de seleccionar las escalas espaciales adecuadas (para un determinado tipo de flujo) que se utilizarán en la adimensionalización de la ecuación. Dado que las ecuaciones resultantes deben ser adimensionales, se debe encontrar una combinación adecuada de parámetros y constantes de las ecuaciones y características (dominio) del flujo. Como resultado de esta combinación, se reduce el número de parámetros a analizar y los resultados se pueden obtener en términos de las variables escaladas .

Necesidad de no dimensionalización y escalado.

Además de reducir la cantidad de parámetros, la ecuación no dimensional ayuda a obtener una mayor comprensión del tamaño relativo de varios términos presentes en la ecuación. ^{[1] [2]} Tras la selección adecuada de escalas para el proceso de no dimensionalización, esto conduce a la identificación de términos pequeños en la ecuación. Despreciar los términos más pequeños frente a los más grandes permite simplificar la situación. Para el caso de flujo sin transferencia de calor , la ecuación de Navier-Stokes no dimensionalizada depende solo del número de Reynolds y, por lo tanto, todas las realizaciones físicas del experimento relacionado tendrán el mismo valor de variables no dimensionales para el mismo número de Reynolds. ^[3]

El escalado ayuda a proporcionar una mejor comprensión de la situación física, con la variación en las dimensiones de los parámetros involucrados en la ecuación. Esto permite que se realicen experimentos en prototipos de menor escala, siempre que cualquier efecto físico que no esté incluido en la ecuación no dimensional no sea importante.

Ecuación de Navier-Stokes no dimensionalizada

La ecuación de momento incompresible de Navier-Stokes se escribe como:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\mathbf {g} .}$ ^{[4] [5]}

donde ρ es la densidad , p es la presión , ν es la viscosidad cinemática , u es la velocidad del flujo y g es el campo de aceleración del cuerpo.

La ecuación anterior se puede adimensionalizar mediante la selección de escalas apropiadas de la siguiente manera:

Sustituyendo las escalas la ecuación adimensionalizada obtenida es:

donde es el número de Froude y es el número de Reynolds ( ). ${\displaystyle Fr}$ ${\displaystyle Re}$ ${\displaystyle Re=UL/\nu }$

Fluye con gran viscosidad.

Para flujos donde las fuerzas viscosas son dominantes, es decir, flujos lentos con gran viscosidad, se utiliza una escala de presión viscosa μ U / L . En ausencia de una superficie libre, la ecuación obtenida es

Régimen de Stokes

Se puede realizar el escalamiento de la ecuación ( 1 ) en un flujo donde el término de inercia es menor que el término viscoso, es decir, cuando Re → 0, entonces se pueden despreciar los términos de inercia, dejando la ecuación de un movimiento progresivo .

${\displaystyle Re{\frac {\partial \mathbf {u^{*}} }{\partial t^{*}}}=-\nabla ^{*}p^{*}+\nabla ^{*2}\mathbf {u^{*}} .}$

Estos flujos tienden a tener la influencia de una interacción viscosa a grandes distancias de un objeto. ^{[ cita necesaria ]} Con un número de Reynolds bajo, la misma ecuación se reduce a una ecuación de difusión , denominada ecuación de Stokes

${\displaystyle -\nabla ^{*}p^{*}+\nabla ^{*2}\mathbf {u^{*}} =\mathbf {0} .}$

régimen de euler

De manera similar, si Re → ∞, es decir, cuando dominan las fuerzas de inercia, se puede despreciar la contribución viscosa. La ecuación de Euler adimensionalizada para un flujo no viscoso es

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u^{*}} }{\partial t}}+(\mathbf {u^{*}} \cdot \nabla ^{*})\mathbf {u^{*}} \ =-\nabla ^{*}p^{*}.}$^[6]

Cuando la densidad varía debido tanto a la concentración como a la temperatura.

La variación de densidad debida tanto a la concentración como a la temperatura es un campo de estudio importante en la convección doble difusiva . Si se tienen en cuenta los cambios de densidad debidos tanto a la temperatura como a la salinidad, entonces se añaden algunos términos más al componente Z del momento de la siguiente manera: ^{[7] [8]}

${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial t}}+U{\frac {\partial W}{\partial X}}+W{\frac {\partial W}{\partial Z}}\ =-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p_{d}}{\partial Z}}+v\left({\frac {\partial ^{2}W}{\partial X^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}W}{\partial Z^{2}}}\right)\ -g\left(\beta _{s}\nabla {S}-\beta _{T}\nabla {T}\right)}$

Donde S es la salinidad del fluido, β _T es el coeficiente de expansión térmica a presión constante y β _S es el coeficiente de expansión salina a presión y temperatura constantes.

No dimensionar usando la escala:

${\displaystyle S^{*}={\frac {S-S_{B}}{S_{T}-S_{B}}}}$y ${\displaystyle T^{*}={\frac {T-T_{B}}{T_{T}-T_{B}}}}$

obtenemos

${\displaystyle {\frac {\partial W^{*}}{\partial t^{*}}}+U^{*}{\frac {\partial W^{*}}{\partial X^{*}}}+W^{*}{\frac {\partial W^{*}}{\partial Z^{*}}}\ =-{\frac {\partial p_{d}}{\partial Z^{*}}}+Pr\left({\frac {\partial ^{2}W^{*}}{\partial X^{*2}}}+{\frac {\partial ^{2}W^{*}}{\partial Z^{*2}}}\right)\ -{Ra_{s}Pr_{s}S}+{Ra_{T}Pr_{T}T}}$

donde S _T , T _T denotan la salinidad y la temperatura en la capa superior, S _B , T _B denotan la salinidad y la temperatura en la capa inferior, Ra es el número de Rayleigh y Pr es el número de Prandtl . El signo de Ra _S y Ra _T cambiará dependiendo de si estabiliza o desestabiliza el sistema.

Referencias

Notas a pie de página

1. Versteeg HK, Introducción a la dinámica de fluidos computacional: el método del volumen finito, 2007, prentice hall, 9780131274983
2. Patankar Suhas V., Transferencia de calor numérica y flujo de fluidos, 1980, Taylor & Francis, 9780891165224
3. Salvi Rodolfo, Teoría de ecuaciones y métodos numéricos de Navier Stokes, 2002, M. Dekker, 9780824706722
4. Fox, Robert W.; Alan T. McDonald; Philip J. Pritchard (2006). Introducción a la mecánica de fluidos (6ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. pag. 213–215. ISBN 9780471735588.
5. Tritton, DJ (1988). Dinámica de fluidos físicos (2ª ed.). Oxford [Inglaterra]: Clarendon Press. págs. 55–58. ISBN 0198544898.
6. Blanco, Frank M. (2003). Mecánica de fluidos (5ª ed.). Boston: McGraw-Hill. págs. 188-189. ISBN 9780072402179.
7. Sobre la relación entre el ancho de los dedos, la velocidad y los flujos en la convección termohalina, 2009, KR Sreenivas, OP Singh y J. Srinivasan, Phys. Fluidos (Instituto Americano de Física) 21 (2), págs. 026601.
8. Aproximación del sistema hidrostático Navier-Stokes para flujos estratificados por densidad mediante un modelo multicapa. Interpretación cinética y validación numérica, E. Audusse, M.-O. Bristeau, M. Pelanti, J. Sainte-Marie, Université Paris 13, Institut Galilée, 99 Avenue Jean-Baptiste Clément, 93430 Villetaneuse, Francia. INRIA Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex, Francia. Laboratorio Saint-Venant, 6 quai Watier, 78400 Chatou, Francia.

Otro

• "Navier-Stokes no dimensionalizante". CFD en línea . Consultado el 11 de octubre de 2012 .
• T.Cebeci J.RShao, F. Kafyeke E. Laurendeau, Dinámica de fluidos computacional para ingenieros, Springer, 2005
• C. Pozrikidis, Teoría de la DINÁMICA DE FLUIDOS, Computación y Simulación Numérica, KLUWER ACADEMIC PUBLISHERS, 2001

• Y. Cengel y J. Cimbala, MECÁNICA DE FLUIDOS: Fundamentos y aplicaciones, cuarta edición, McGraw-Hill Education, 2018 (consulte p521, sección 10.2. Ecuaciones de movimiento no dimensionalizadas).

Otras lecturas

• Doering, CR ; Gibbon, JD (1995). Análisis aplicado de las ecuaciones de Navier-Stokes . Textos de Cambridge en Matemáticas Aplicadas. vol. 12. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521445689.
• Tritton, DJ (1988). "Capítulo 7 - Similitud dinámica". Dinámica de fluidos físicos (2ª ed.). Oxford [Inglaterra]: Clarendon Press. ISBN 0198544898.
• Mattheij, RMM; Rienstra, suroeste; diez Thije Boonkkamp, ​​JHM (2005). "§7.4 - Escalado y reducción de las ecuaciones de Navier-Stokes". Ecuaciones diferenciales parciales: modelado, análisis, computación . SIAM. págs. 148-155. ISBN 9780898715941.
• Graebel, William (2007). "§6.2 - Las ecuaciones de la capa límite". Mecánica de fluidos avanzada . Prensa académica. págs. 171-174. ISBN 9780123708854.
• Leal, L. Gary (2007). Fenómenos de transporte avanzado: mecánica de fluidos y procesos de transporte convectivo . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521849104.
  Este libro contiene varios ejemplos de diferentes adimensionalizaciones y escalamientos de las ecuaciones de Navier-Stokes, consulte la pág. 430.
• Krantz, William B. (2007). Análisis de escala en el modelado de procesos de reacción y transporte: un enfoque sistemático para la construcción de modelos y el arte de la aproximación . John Wiley e hijos. ISBN 9780471772613.
• Zeytounian, Radyadour Kh. (2002). Modelado asintótico de fenómenos de flujo de fluidos . Mecánica de fluidos y sus aplicaciones. vol. 64. Editores académicos de Kluwer. ISBN 978-1-4020-0432-2.