Teorema de la vieira

Una vieira nada abriendo lentamente sus dos mitades y luego cerrándolas rápidamente. Este es un método de natación exitoso porque la fuerza inercial del agua circundante domina sobre la fuerza viscosa. En un entorno con un número de Reynolds bajo, una vieira solo oscilaría en el mismo lugar.

En física, el teorema de la vieira establece que un nadador que realiza un movimiento recíproco no puede lograr un desplazamiento neto en un entorno fluido newtoniano de bajo número de Reynolds , es decir, un fluido que es altamente viscoso . Dicho nadador deforma su cuerpo en una forma particular a través de una secuencia de movimientos y luego vuelve a la forma original repitiendo la secuencia en sentido inverso. En un número de Reynolds bajo, el tiempo o la inercia no entran en juego, y el movimiento de natación está determinado puramente por la secuencia de formas que asume el nadador.

Edward Mills Purcell formuló este teorema en su artículo de 1977 Life at Low Reynolds Number, en el que explica los principios físicos de la locomoción acuática . ^[1] El teorema recibe su nombre del movimiento de una vieira que abre y cierra una bisagra simple durante un período. Dicho movimiento no es suficiente para crear migración con números de Reynolds bajos. La vieira es un ejemplo de un cuerpo con un grado de libertad para utilizarlo en el movimiento. Los cuerpos con un solo grado de libertad se deforman de manera recíproca y, por lo tanto, los cuerpos con un grado de libertad no logran la locomoción en un entorno altamente viscoso.

Fondo

Animación de un micronadador de 3 esferas de Najafi-Golestan. ^[2] Tiene un grado de libertad en el que el brazo izquierdo se extiende y se retrae. En entornos con números de Reynolds bajos, esto no produce ningún desplazamiento neto de todo el cuerpo a medida que el brazo completa un ciclo de extensión y retracción.

El teorema de la vieira es una consecuencia de las fuerzas posteriores que se aplican al organismo mientras nada desde el fluido circundante. Para un fluido newtoniano incompresible con densidad y viscosidad dinámica , el flujo satisface las ecuaciones de Navier-Stokes : ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \rho \left({\dfrac {\partial }{\partial \mathrm {t} }}+\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-\nabla p+\eta \nabla ^{2}\mathbf {u} ,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0,}$

donde denota la velocidad del fluido. Sin embargo, en el límite bajo del número de Reynolds, los términos inerciales de las ecuaciones de Navier-Stokes en el lado izquierdo tienden a cero. Esto se hace más evidente al adimensionalizar las ecuaciones de Navier-Stokes . Al definir una velocidad y una longitud características, y , podemos convertir nuestras variables en forma adimensional: ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle u_{0}}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \mathbf {\tilde {u}} ={\dfrac {\mathbf {u} }{u_{0}}};\quad \mathbf {\tilde {r}} ={\dfrac {\mathbf {r} }{L}};\quad {\tilde {t}}={\dfrac {t}{(L/u_{0})}};\quad {\tilde {p}}={\dfrac {p}{(\eta u_{0}/L)}}.}$

donde la presión adimensional se escala adecuadamente para el flujo con efectos viscosos significativos. Introduciendo estas cantidades en las ecuaciones de Navier-Stokes obtenemos:

${\displaystyle {\dfrac {\rho u_{0}^{2}}{L}}\left({\dfrac {\partial }{\partial {\tilde {t}}}}+\mathbf {\tilde {u}} \cdot {\tilde {\nabla }}\right)\mathbf {\tilde {u}} =-{\dfrac {\eta u_{0}}{L^{2}}}\left({\tilde {\nabla }}{\tilde {p}}+{\tilde {\nabla }}^{2}\mathbf {\tilde {u}} \right),\quad {\tilde {\nabla }}\cdot \mathbf {\tilde {u}} =0.}$

Y reordenando los términos llegamos a una forma adimensional:

${\displaystyle {\text{Re}}\left({\dfrac {\partial }{\partial {\tilde {t}}}}+\mathbf {\tilde {u}} \cdot {\tilde {\nabla }}\right)\mathbf {\tilde {u}} =-{\tilde {\nabla }}{\tilde {p}}+{\tilde {\nabla }}^{2}\mathbf {\tilde {u}} ,\quad {\tilde {\nabla }}\cdot \mathbf {\tilde {u}} =0,}$

donde es el número de Reynolds. En el límite inferior del número de Reynolds (como ), el LHS tiende a cero y llegamos a una forma adimensional de las ecuaciones de Stokes. La redimensionalización produce: ${\displaystyle {\text{Re}}=\rho u_{0}L/\eta }$ ${\displaystyle \mathrm {Re} \rightarrow 0}$

${\displaystyle 0=-\nabla p+\eta \nabla ^{2}\mathbf {u} ,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0.}$

Declaración

Las consecuencias de no tener términos inerciales en un número de Reynolds bajo son:

• Una consecuencia es que el nadador prácticamente no experimenta fuerza neta ni torsión.

• Una segunda consecuencia nos dice que la velocidad es linealmente proporcional a la fuerza (lo mismo puede decirse de la velocidad angular y el torque).

• Las ecuaciones de Stokes se vuelven lineales e independientes del tiempo.

En particular, para un nadador que se mueve en el régimen de número de Reynolds bajo, su movimiento satisface:

• Independiente del tiempo: el mismo movimiento puede acelerarse o desacelerarse y aún así cumpliría las ecuaciones de Stokes. En términos más geométricos, esto significa que el movimiento de un nadador en el régimen de bajo número de Reynolds está determinado exclusivamente por la forma de su trayectoria en el espacio de configuración.
• Reversibilidad cinemática: El mismo movimiento puede invertirse. Cualquier inversión instantánea de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo no cambiará la naturaleza del flujo de fluido a su alrededor, sino simplemente la dirección del flujo. Estas fuerzas son las responsables de producir el movimiento. Cuando un cuerpo tiene solo un grado de libertad, la inversión de las fuerzas hará que el cuerpo se deforme de manera recíproca. Por ejemplo, una vieira que abre su bisagra simplemente la cerrará para intentar lograr propulsión. Dado que la inversión de las fuerzas no cambia la naturaleza del flujo, el cuerpo se moverá en la dirección inversa de la misma manera exacta, lo que no produce desplazamiento neto. Así es como llegamos a las consecuencias del teorema de la vieira. ^[3]

Prueba por escalamiento

Este es un ejemplo más cercano en espíritu al esquema de prueba dado por Purcell. ^[1] El resultado clave es demostrar que un nadador en un fluido de Stokes no depende del tiempo. Es decir, no se puede detectar si una película del movimiento de un nadador se ralentiza, se acelera o se invierte. Los demás resultados son, por tanto, corolarios simples.

El tensor de tensión del fluido es . ${\displaystyle \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+\mu (\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i})}$

Sea una constante real distinta de cero. Supongamos que tenemos un movimiento de natación, entonces podemos hacer el siguiente escalamiento: y obtener otra solución para la ecuación de Stokes. Es decir, si escalamos la presión hidrostática, la velocidad del flujo y el tensor de tensión todos por , aún obtenemos una solución para la ecuación de Stokes. ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle p\mapsto rp;\quad u\mapsto ru;\quad \sigma \mapsto r\sigma }$$ ${\displaystyle r}$

Dado que el movimiento se produce en el régimen de bajo número de Reynolds, las fuerzas de inercia son despreciables y la fuerza y ​​el par totales instantáneos sobre el nadador deben equilibrarse en cero. Dado que la fuerza y ​​el par totales instantáneos sobre el nadador se calculan integrando el tensor de tensión sobre su superficie, la fuerza y ​​el par totales instantáneos también aumentan, y siguen siendo cero. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle r}$

Por lo tanto, al escalar tanto el movimiento del nadador como el movimiento del fluido circundante por el mismo factor, todavía obtenemos un movimiento que respeta la ecuación de Stokes.

Demostración mediante cálculo vectorial

La demostración del teorema de la vieira se puede representar de una manera matemáticamente elegante. Para ello, primero debemos comprender las consecuencias matemáticas de la linealidad de las ecuaciones de Stokes. En resumen, la linealidad de las ecuaciones de Stokes nos permite utilizar el teorema recíproco para relacionar la velocidad de nado del nadador con el campo de velocidad del fluido alrededor de su superficie (conocido como marcha de nado), que cambia de acuerdo con el movimiento periódico que exhibe. Esta relación nos permite concluir que la locomoción es independiente de la velocidad de nado. Posteriormente, esto conduce al descubrimiento de que la inversión del movimiento periódico es idéntica al movimiento hacia adelante debido a la simetría, lo que nos permite concluir que no puede haber desplazamiento neto. ^[3]

Independencia de la tasa

El teorema recíproco describe la relación entre dos flujos de Stokes en la misma geometría donde los efectos inerciales son insignificantes en comparación con los efectos viscosos. Considere una región llena de fluido delimitada por una superficie con una unidad normal . Supongamos que tenemos soluciones para las ecuaciones de Stokes en el dominio que poseen la forma de los campos de velocidad y . Los campos de velocidad albergan campos de tensión correspondientes y respectivamente. Entonces se cumple la siguiente igualdad: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} '}$ ${\displaystyle \mathbf {\sigma } }$ ${\displaystyle \mathbf {\sigma } '}$

${\displaystyle \iint _{S}\mathbf {u} \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}'\cdot {\hat {\mathbf {n} }})~\mathrm {d} S=\iint _{S}\mathbf {u} '\cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {n} }})~\mathrm {d} S.}$

El teorema recíproco nos permite obtener información sobre un flujo determinado utilizando información de otro flujo. Esto es preferible a resolver ecuaciones de Stokes, lo cual es difícil debido a que no se conoce una condición de contorno. Esto es particularmente útil si uno quiere comprender el flujo de un problema complicado estudiando el flujo de un problema más simple en la misma geometría.

Se puede utilizar el teorema recíproco para relacionar la velocidad de natación, , de un nadador sujeto a una fuerza con su forma de nadar : ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{S}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {U} =-\iint _{S}\mathbf {u} _{S}\cdot ({\boldsymbol {\hat {\sigma }}}\cdot \mathbf {n} )~\mathrm {d} S.}$

Ahora que hemos establecido que la relación entre la velocidad instantánea de natación en la dirección de la fuerza que actúa sobre el cuerpo y su marcha de natación sigue la forma general

${\displaystyle \mathbf {U} =\iint {\dot {\mathbf {r} }}_{S}\cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} _{S})~\mathrm {d} S,}$

donde y denotan las posiciones de los puntos en la superficie del nadador, podemos establecer que la locomoción es independiente de la velocidad. Consideremos un nadador que se deforma de manera periódica a través de una secuencia de movimientos entre los tiempos y El desplazamiento neto del nadador es ${\displaystyle \mathbf {u} _{S}\equiv {\dot {\mathbf {r} _{S}}}=\mathrm {d} \mathbf {r} _{S}/\mathrm {d} t}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{S}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}.}$

${\displaystyle \Delta X=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {U} ~\mathrm {d} t.}$

Ahora consideremos que el nadador se deforma de la misma manera pero a una velocidad diferente. Lo describimos con la función

${\displaystyle t'=f(t),\quad \mathbf {r} _{S}(t)=\mathbf {r'} _{S}(t'),\quad {\dot {\mathbf {r} }}_{S}(t)={\dfrac {\mathrm {d} \mathbf {r'} _{S}(t')}{\mathrm {d} t}}={\dfrac {\mathrm {d} \mathbf {r'} _{S}(t')}{\mathrm {d} t'}}\cdot {\dfrac {\mathrm {d} t'}{\mathrm {d} t}}={\dot {\mathbf {r} }}_{S}'(t'){\dot {f}}(t).}$

Usando este mapeo, vemos que

${\displaystyle \Delta X'=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {U} '(t')~\mathrm {d} t'=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {U} '(f(t)){\dot {f}}~\mathrm {d} t=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint {\dot {\mathbf {r} }}_{S}'{\dot {f}}\cdot \mathbf {g} (\mathbf {r'} _{S})~\mathrm {d} S\mathrm {d} t=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint {\dot {\mathbf {r} _{S}}}\cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} _{S})~\mathrm {d} S\mathrm {d} t}$

${\displaystyle =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {U} (t)~\mathrm {d} t\rightarrow \Delta X'=\Delta X.}$

Este resultado significa que la distancia neta recorrida por el nadador no depende de la velocidad a la que se deforma, sino únicamente de la secuencia geométrica de la forma. Este es el primer resultado clave.

Simetría del movimiento hacia adelante y hacia atrás.

Si un nadador se mueve de forma periódica e invariante en el tiempo, sabemos que el desplazamiento medio durante un periodo debe ser cero. Para ilustrar la prueba, consideremos un nadador que se deforma durante un periodo que empieza y termina en los tiempos y . Eso significa que su forma al principio y al final son la misma, es decir A continuación, consideramos el movimiento obtenido por simetría de inversión temporal del primer movimiento que ocurre durante el periodo que empieza y termina en los tiempos y utilizando una aplicación similar a la de la sección anterior, definimos y y definimos la forma en el movimiento inverso como la misma que la forma en el movimiento hacia delante. Ahora encontramos la relación entre los desplazamientos netos en estos dos casos: ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{S}(t_{0})=\mathbf {r} _{S}(t_{1}).}$ ${\displaystyle t_{2}}$ ${\displaystyle t_{3}.}$ ${\displaystyle t_{2}=f(t_{1})}$ ${\displaystyle t_{3}=f(t_{0})}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{S}(t)=\mathbf {r'} _{S}(t').}$

${\displaystyle \Delta X'=\int _{t_{2}}^{t_{3}}\mathbf {U} '(t')~\mathrm {d} t'=\int _{t_{1}}^{t_{0}}\mathbf {U} (t)~\mathrm {d} t=-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {U} (t)~\mathrm {d} t=-\Delta X.}$

Este es el segundo resultado clave. Combinando con nuestro primer resultado clave de la sección anterior, vemos que Vemos que un nadador que invierte su movimiento invirtiendo su secuencia de cambios de forma conduce a la distancia opuesta recorrida. Además, dado que el nadador exhibe una deformación corporal recíproca, la secuencia de movimiento es la misma entre y y y Por lo tanto, la distancia recorrida debe ser la misma independientemente de la dirección del tiempo, lo que significa que el movimiento recíproco no se puede utilizar para el movimiento neto en entornos de bajo número de Reynolds. ${\displaystyle \Delta X'=\Delta X=-\Delta X\rightarrow \Delta X=0.}$ ${\displaystyle t_{2}}$ ${\displaystyle t_{3}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t_{1}.}$

Excepciones

El teorema de la vieira se cumple si suponemos que un nadador experimenta un movimiento recíproco en un fluido newtoniano infinito en reposo en ausencia de inercia y fuerzas corporales externas. Sin embargo, hay casos en los que se violan los supuestos del teorema de la vieira. ^[4] En un caso, los nadadores exitosos en entornos viscosos deben mostrar una cinemática corporal no recíproca. En otro caso, si un nadador está en un fluido no newtoniano , también se puede lograr la locomoción.

Tipos de movimiento no recíproco

En su artículo original, Purcell propuso un ejemplo simple de deformación corporal no recíproca, ahora conocido comúnmente como el nadador de Purcell. Este simple nadador posee dos grados de libertad de movimiento: un cuerpo con dos bisagras compuesto por tres eslabones rígidos que giran desfasados ​​entre sí. Sin embargo, cualquier cuerpo con más de un grado de libertad de movimiento también puede lograr la locomoción.

En general, los organismos microscópicos como las bacterias han desarrollado diferentes mecanismos para realizar movimientos no recíprocos:

• Uso de un flagelo , que gira y empuja el medio hacia atrás (y la célula hacia adelante), de forma muy similar a como la hélice de un barco mueve un barco. Así es como se mueven algunas bacterias; el flagelo está unido en un extremo a un motor giratorio complejo que se mantiene rígido en la superficie de la célula bacteriana. ^{[5] [6]}
• Uso de un brazo flexible: esto se puede hacer de muchas maneras diferentes. Por ejemplo, los espermatozoides de los mamíferos tienen un flagelo que, como un látigo, se retuerce en el extremo de la célula, empujándola hacia adelante. ^[7] Los cilios son estructuras bastante similares a los flagelos de los mamíferos; pueden hacer avanzar una célula como un paramecio mediante un movimiento complejo no muy diferente al de una brazada .

Geométricamente, el flagelo giratorio es un nadador unidimensional y funciona porque su movimiento gira alrededor de un espacio de configuración en forma de círculo, y un círculo no es un movimiento recíproco. El brazo flexible es un nadador multidimensional y funciona porque su movimiento gira alrededor de un círculo en un espacio de configuración en forma de cuadrado. Observe que el primer tipo de movimiento tiene homotopía no trivial , pero el segundo tipo tiene homotopía trivial.

Fluidos no newtonianos

La hipótesis de un fluido newtoniano es esencial, ya que las ecuaciones de Stokes no permanecerán lineales e independientes del tiempo en un entorno que posee propiedades mecánicas y reológicas complejas. También es de conocimiento común que muchos microorganismos vivos viven en fluidos no newtonianos complejos, que son comunes en entornos biológicamente relevantes. Por ejemplo, las células que se arrastran a menudo migran en fluidos poliméricos elásticos. Los fluidos no newtonianos tienen varias propiedades que se pueden manipular para producir locomoción a pequeña escala. ^[4]

En primer lugar, una de esas propiedades explotables son las diferencias de tensión normales. Estas diferencias surgirán del estiramiento del fluido por el flujo del nadador. Otra propiedad explotable es la relajación de la tensión. Tal evolución temporal de tales tensiones contiene un término de memoria, aunque el grado en que esto puede ser utilizado es en gran parte inexplorado. Por último, los fluidos no newtonianos poseen viscosidades que dependen de la velocidad de corte. En otras palabras, un nadador experimentaría un entorno de número de Reynolds diferente al alterar su velocidad de movimiento. Muchos fluidos biológicamente relevantes exhiben pseudoplástico, lo que significa que la viscosidad disminuye con la velocidad de corte. En un entorno de este tipo, la velocidad a la que un nadador exhibe movimiento recíproco sería significativa ya que ya no sería invariante en el tiempo. Esto está en marcado contraste con lo que establecimos donde la velocidad a la que un nadador se mueve es irrelevante para establecer la locomoción. Por lo tanto, un nadador recíproco puede diseñarse en un fluido no newtoniano. Qiu et al . (2014) pudieron diseñar una micro vieira en un fluido no newtoniano. ^[8]

Véase también

• Motilidad bacteriana
• Micro nadador
• Locomoción protista

Referencias

1. Purcell, EM (1977), "Vida con un número de Reynolds bajo", American Journal of Physics , 45 (1): 3–11, Bibcode :1977AmJPh..45....3P, doi :10.1119/1.10903, hdl : 2433/226838
2. Najafi, Ali; Golestanian, Ramin (16 de junio de 2004). "Nadador simple con bajo número de Reynolds: tres esferas vinculadas". Physical Review E . 69 (6): 062901. arXiv : cond-mat/0402070 . doi :10.1103/PhysRevE.69.062901.
3. Lauga, Eric; Powers, Thomas R. (2009), "La hidrodinámica de los microorganismos nadadores", Reports on Progress in Physics , 72 (9): 096601, arXiv : 0812.2887 , Bibcode :2009RPPh...72i6601L, doi :10.1088/0034-4885/72/9/096601, S2CID  3932471
4. Lauga, Eric (2011), "La vida en torno al teorema de la vieira", Soft Matter , 7 (7): 3060–3065, arXiv : 1011.3051 , Bibcode :2011SMat....7.3060L, doi :10.1039/C0SM00953A, S2CID  96762619
5. Berg HC y Anderson RA (1973). "Las bacterias nadan rotando sus filamentos flagelares". Nature . 245 (5425): 380–382. Bibcode :1973Natur.245..380B. doi :10.1038/245380a0. PMID  4593496. S2CID  4173914.
6. Silverman M y Simon M (1974). "Rotación flagelar y mecanismo de motilidad bacteriana". Nature . 249 (100): 73–74. Bibcode :1974Natur.249...73S. doi :10.1038/249073a0. PMID  4598030. S2CID  10370084.
7. Brokaw CJ (1991). "Deslizamiento de microtúbulos en flagelos de espermatozoides nadadores: mediciones directas e indirectas en espermatozoides de erizos de mar y tunicados". J Cell Biol . 114 (6): 1201–1215. doi :10.1083/jcb.114.6.1201. PMC 2289132 . PMID  1894694. 
8. Qiu, Tian; Lee, Tung-Chun; Mark, Andrew G.; Morozov, Konstantin I.; Münster, Raphael; Mierka, Otto; Turek, Stefan; Leshansky, Alexander M.; Fischer, Peer (2014), "Natación por movimiento recíproco con un número de Reynolds bajo", Nature Communications , 5 : 5119, Bibcode :2014NatCo...5.5119Q, doi : 10.1038/ncomms6119 , PMC 4241991 , PMID  25369018 

Enlaces externos

• EM Purcell. La vida con un número de Reynolds bajo, American Journal of Physics, vol. 45, pág. 3-11 (1977)
• Reversibilidad cinemática y teorema de la vieira
• Vídeo de un robot nadador incapaz de propulsarse en un fluido viscoso debido al teorema de la vieira