En matemáticas , un conjunto IP es un conjunto de números naturales que contiene todas las sumas finitas de algún conjunto infinito .
Las sumas finitas de un conjunto D de números naturales son todos aquellos números que pueden obtenerse sumando los elementos de algún subconjunto finito no vacío de D . El conjunto de todas las sumas finitas sobre D se denota a menudo como FS( D ). De forma ligeramente más general, para una secuencia de números naturales ( n i ), se puede considerar el conjunto de sumas finitas FS(( n i )), que consiste en las sumas de todas las subsecuencias de longitud finita de ( n i ).
Un conjunto A de números naturales es un conjunto IP si existe un conjunto infinito D tal que FS( D ) es un subconjunto de A . De manera equivalente, se puede requerir que A contenga todas las sumas finitas FS(( n i )) de una secuencia ( n i ).
Algunos autores dan una definición ligeramente diferente de los conjuntos IP: requieren que FS( D ) sea igual a A en lugar de ser simplemente un subconjunto.
El término conjunto IP fue acuñado por Hillel Furstenberg y Benjamin Weiss [1] [2] para abreviar " paralelepípedo de dimensión infinita " . Casualmente, la abreviatura IP también puede ampliarse a " idempotente " [ 3] (un conjunto es un IP si y solo si es miembro de un ultrafiltro idempotente ).
Si es un conjunto IP y , entonces al menos uno es un conjunto IP. Esto se conoce como teorema de Hindman o teorema de sumas finitas . [4] [5] En otros términos, el teorema de Hindman establece que la clase de conjuntos IP es partición regular .
Dado que el conjunto de números naturales es en sí mismo un conjunto IP y las particiones también pueden verse como coloraciones, se puede reformular un caso especial del teorema de Hindman en términos más familiares: supongamos que los números naturales están "coloreados" con n colores diferentes; cada número natural tiene un solo color. Entonces existe un color c y un conjunto infinito D de números naturales, todos coloreados con c , de modo que cada suma finita sobre D también tiene color c .
El teorema de Hindman debe su nombre al matemático Neil Hindman , quien lo demostró en 1974. [4] El teorema de Milliken-Taylor es una generalización común del teorema de Hindman y del teorema de Ramsey .
La definición de ser IP se ha ampliado desde subconjuntos del semigrupo especial de números naturales con adición a subconjuntos de semigrupos y semigrupos parciales en general. Una variante del teorema de Hindman es válida para semigrupos arbitrarios. [6] [7]
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