Péndulo balístico

Péndulo utilizado para medir el impulso de una bala.

Un péndulo balístico verde

Animación de un péndulo balístico.

Un péndulo balístico es un dispositivo para medir el momento de una bala , a partir del cual es posible calcular la velocidad y la energía cinética . Los péndulos balísticos han quedado obsoletos en gran medida gracias a los cronógrafos modernos , que permiten medir directamente la velocidad del proyectil.

Aunque el péndulo balístico se considera obsoleto, permaneció en uso durante un período de tiempo significativo y supuso grandes avances en la ciencia de la balística . El péndulo balístico todavía se encuentra hoy en las aulas de física , debido a su simplicidad y utilidad para demostrar las propiedades del momento y la energía. A diferencia de otros métodos para medir la velocidad de una bala, los cálculos básicos de un péndulo balístico no requieren ninguna medición del tiempo, sino que se basan únicamente en medidas de masa y distancia. ^[1]

Además de sus usos principales de medir la velocidad de un proyectil o el retroceso de un arma, el péndulo balístico se puede utilizar para medir cualquier transferencia de impulso. Por ejemplo, el físico CV Boys utilizó un péndulo balístico para medir la elasticidad de las pelotas de golf , ^[2] y el físico Peter Guthrie Tait para medir el efecto que tenía el giro en la distancia recorrida por una pelota de golf. ^{[3] [4]}

Historia

Péndulo balístico (1911)

El péndulo balístico fue inventado en 1742 por el matemático inglés Benjamin Robins (1707-1751) y publicado en su libro New Principles of Gunnery , que revolucionó la ciencia de la balística, ya que proporcionó la primera forma de medir con precisión la velocidad de una bala. ^{[2] [5]}

Robins utilizó el péndulo balístico para medir la velocidad del proyectil de dos maneras. La primera fue sujetar el arma al péndulo y medir el retroceso . Dado que el impulso del arma es igual al impulso de la eyección, y dado que el proyectil era (en esos experimentos) la gran mayoría de la masa de la eyección, la velocidad de la bala podría ser aproximada. El segundo método, y más preciso, consistía en medir directamente el impulso de la bala disparándola contra el péndulo. Robins experimentó con balas de mosquete de alrededor de una onza de masa (28 g), mientras que otros contemporáneos utilizaron sus métodos con disparos de cañón de una a tres libras (0,5 a 1,4 kg). ^[6]

El trabajo original de Robins utilizaba un pesado péndulo de hierro , revestido de madera, para atrapar la bala. Las reproducciones modernas, utilizadas como demostraciones en las clases de física, generalmente utilizan un peso pesado suspendido por un brazo muy fino y liviano, e ignoran la masa del brazo del péndulo. El pesado péndulo de hierro de Robins no lo permitía, y el enfoque matemático de Robins era un poco más complejo. Usó el período de oscilación y la masa del péndulo (ambos medidos con la bala incluida) para calcular la inercia rotacional del péndulo, que luego se usó en los cálculos. Robins también usó un trozo de cinta , sujeta sin apretar con una abrazadera, para medir el recorrido del péndulo. El péndulo sacaría una longitud de cinta igual a la cuerda de su recorrido. ^[7]

El primer sistema para suplantar los péndulos balísticos con medidas directas de la velocidad del proyectil se inventó en 1808, durante las Guerras Napoleónicas , y utilizó un eje de velocidad conocida que giraba rápidamente con dos discos de papel; la bala se disparaba a través de los discos, paralela al eje, y la diferencia angular en los puntos de impacto proporcionaba el tiempo transcurrido sobre la distancia entre los discos. En 1848 apareció una medida de relojería electromecánica directa, con un reloj accionado por resorte arrancado y detenido por electroimanes, cuya corriente era interrumpida por la bala que pasaba a través de dos mallas de alambres finos, proporcionando nuevamente el tiempo para recorrer la distancia dada. ^[2]

Derivaciones matemáticas

La mayoría de los libros de texto de física proporcionan un método simplificado para calcular la velocidad de la bala que utiliza la masa de la bala y el péndulo y la altura del recorrido del péndulo para calcular la cantidad de energía y momento en el sistema de péndulo y bala. Los cálculos de Robins fueron mucho más complicados y utilizaron una medida del período de oscilación para determinar la inercia rotacional del sistema.

derivación simple

Comenzamos con el movimiento del sistema bala-péndulo desde el instante en que la bala golpea el péndulo.

Dada la aceleración debida a la gravedad y la altura final del péndulo, es posible calcular la velocidad inicial del sistema bala-péndulo utilizando la conservación de la energía mecánica (energía cinética + energía potencial). Denotemos esta velocidad inicial por . Supongamos que las masas de la bala y del péndulo son y respectivamente. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle m_{b}}$ ${\displaystyle m_{p}}$

La energía cinética inicial del sistema. ${\displaystyle K_{initial}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(m_{b}+m_{p})\cdot v_{1}^{2}}$

Tomando la altura inicial del péndulo como referencia de energía potencial , la energía potencial final cuando el sistema bala-péndulo se detiene está dada por ${\displaystyle (U_{initial}=0)}$ ${\displaystyle (K_{final}=0)}$ ${\displaystyle U_{final}=(m_{b}+m_{p})\cdot g\cdot h}$

Entonces, por conservación de la energía mecánica, tenemos: ^[8]

${\displaystyle K_{initial}=U_{final}\,}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(m_{b}+m_{p})\cdot v_{1}^{2}=(m_{b}+m_{p})\cdot g\cdot h}$

Resuelva la velocidad para obtener: ${\displaystyle v_{1}={\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$

Ahora podemos usar la conservación del momento del sistema bala-péndulo para obtener la velocidad de la bala, antes de que golpee el péndulo. Igualando el impulso de la bala antes de impactar el péndulo con el del sistema bala-péndulo tan pronto como la bala golpea el péndulo (y usando desde arriba), obtenemos: ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle v_{1}={\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$

${\displaystyle m_{\textrm {b}}\cdot v_{0}=(m_{\textrm {b}}+m_{\textrm {p}})\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$

Resolviendo para : ${\displaystyle v_{0}}$

${\displaystyle v_{0}={\frac {(m_{\textrm {b}}+m_{\textrm {p}})\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}{m_{\textrm {b}}}}=\left(1+{\frac {m_{\textrm {p}}}{m_{\textrm {b}}}}\right)\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$

• Maletín de prueba con pistola de aire comprimido y carabina de aire comprimido.
• Crosman 1377, cal. .177, peso del perdigón 0,5 gramos, peso del bloque 45 gramos
• 
  Crosman 1377, energía 10,6 julios (10 especificados), velocidad inicial 206 metros por segundo
• Ekol último, cal. .25, peso del balín 1,15 gramos, peso del bloque 80 gramos
• 
  Ekol Ultimate: energía 26,6 julios (30 especificados), velocidad inicial 215 metros por segundo

La fórmula de Robin

El libro original de Robins omitía algunas suposiciones en la fórmula; por ejemplo, no incluía una corrección para tener en cuenta un impacto de bala que no coincidía con el centro de masa del péndulo. Al año siguiente se publicó una fórmula actualizada, con esta omisión corregida, en Philosophical Transactions of the Royal Society . El matemático suizo Leonhard Euler , sin darse cuenta de esta corrección, corrigió de forma independiente esta omisión en su traducción alemana comentada del libro. ^[6] La fórmula corregida, que apareció en una edición del libro de 1786, fue:

${\displaystyle v=614.58gc\cdot {\frac {p+b}{birn}}}$

dónde:

• ${\displaystyle v}$es la velocidad de la pelota en unidades por segundo
• ${\displaystyle b}$es la masa de la pelota
• ${\displaystyle p}$es la masa del péndulo
• ${\displaystyle g}$es la distancia desde el pivote al centro de gravedad
• ${\displaystyle i}$es la distancia desde el pivote hasta el punto de impacto de la pelota
• ${\displaystyle c}$es la cuerda, medida por la cinta descrita en el aparato de Robins
• ${\displaystyle r}$es el radio, o distancia desde el pivote la unión de la cinta
• ${\displaystyle n}$es el número de oscilaciones que hace el péndulo en un minuto

Los petirrojos usaban pies para longitud y onzas para masa, aunque se pueden sustituir por otras unidades, como pulgadas o libras, siempre que se mantenga la coherencia. ^[7]

la fórmula de poisson

El matemático francés Siméon Denis Poisson derivó una fórmula basada en la inercia rotacional similar a la de Robins y la publicó en The Mécanique Physique , para medir la velocidad de la bala utilizando el retroceso del arma:

${\displaystyle mvcf=Mbk'{\sqrt {gh}}}$

dónde:

• ${\displaystyle m}$es la masa de la bala
• ${\displaystyle v}$es la velocidad de la bala
• ${\displaystyle c}$es la distancia desde el pivote hasta la cinta
• ${\displaystyle f}$es la distancia desde el eje del orificio hasta el punto de pivote
• ${\displaystyle M}$es la masa combinada del arma y el péndulo
• ${\displaystyle b}$es la cuerda medida por la cinta
• ${\displaystyle k'}$es el radio desde el pivote hasta el centro de masa del arma y el péndulo (medido por oscilación, según Robins)
• ${\displaystyle g}$es la aceleración gravitacional
• ${\displaystyle h}$es la distancia desde el centro de masa del péndulo al pivote

${\displaystyle k'}$se puede calcular con la ecuación:

${\displaystyle T=\pi {\sqrt {\frac {k'^{2}}{gh}}}}$

¿Dónde está la mitad del período de oscilación? ^[6] ${\displaystyle T}$

Péndulo balístico de Ackley

PO Ackley describió cómo construir y utilizar un péndulo balístico en 1962. El péndulo de Ackley utilizaba un enlace de paralelogramo, con un tamaño estandarizado que permitía un medio simplificado para calcular la velocidad. ^[9]

El péndulo de Ackley usaba brazos de péndulo de exactamente 66,25 pulgadas (168,3 cm) de largo, desde una superficie de apoyo a otra, y usaba tensores ubicados en el medio de los brazos para proporcionar un medio para ajustar la longitud del brazo con precisión. Ackley también recomienda masas para el cuerpo del péndulo para varios calibres; 50 libras (22,7 kg) para percusión anular hasta .22 Hornet , 90 libras (40,9 kg) para .222 Remington hasta .35 Whelen y 150 libras (68,2 kg) para calibres de rifle magnum. El péndulo está hecho de un tubo de metal pesado, soldado en un extremo y lleno de papel y arena para detener la bala. El extremo abierto del péndulo estaba cubierto con una lámina de goma para permitir la entrada de la bala y evitar que el material se escapara. ^[9]

Para usar el péndulo, se configura con un dispositivo para medir la distancia horizontal de la oscilación del péndulo, como una varilla ligera que sería empujada hacia atrás por la parte trasera del péndulo a medida que se mueve. El tirador se sienta al menos a 15 pies (5 m) detrás del péndulo (lo que reduce los efectos del disparo del cañón en el péndulo) y se dispara una bala hacia el péndulo. Para calcular la velocidad de la bala dado el giro horizontal, se utiliza la siguiente fórmula: ^[9]

${\displaystyle V={\frac {Mp}{Mb}}0.2018D}$

dónde:

• ${\displaystyle V}$es la velocidad de la bala, en pies por segundo
• ${\displaystyle Mp}$es la masa del péndulo, en granos
• ${\displaystyle Mb}$es la masa de la bala, en granos
• ${\displaystyle D}$es el recorrido horizontal del péndulo, en pulgadas

Para realizar cálculos más precisos, se realizan una serie de cambios, tanto en la construcción como en el uso del péndulo. Los cambios constructivos implican la adición de una pequeña caja encima del péndulo. Antes de pesar el péndulo, la caja se llena con varias balas del tipo que se está midiendo. Por cada disparo realizado se puede sacar una bala de la caja, manteniendo así constante la masa del péndulo. El cambio de medida implica medir el período del péndulo. Se hace girar el péndulo y se mide el número de oscilaciones completas durante un largo período de tiempo, de cinco a diez minutos. El tiempo se divide por el número de oscilaciones para obtener el período. Una vez hecho esto, la fórmula genera una constante más precisa para reemplazar el valor 0,2018 en la ecuación anterior. Al igual que arriba, la velocidad de la bala se calcula usando la fórmula: ^[9] ${\displaystyle C={\frac {pi}{T12}}}$

${\displaystyle V={\frac {Mp}{Mb}}CD}$

Referencias

1. "Péndulo balístico". Enciclopedia Británica .
2. Jervis-Smith, Frederick John (1911). "Cronógrafo"  . En Chisholm, Hugh (ed.). Enciclopedia Británica . vol. 6 (11ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 302.
3. Gustaf Hjalmar Eneström (1903). Biblioteca Matemática. BG Teubner.
4. Artículos científicos de Peter Guthrie Tait, vol. 2. Prensa de la Universidad de Cambridge. 1900. pág. 374.
5. Benjamín Robins (1742). Nuevos principios de artillería. pag. 25.
6. Edward John Routh (1905). La parte elemental de un tratado sobre la dinámica de un sistema de cuerpos rígidos . Macmillan.
7. Benjamín Robins; James Wilson; Charles Hutton (1805). Nuevos principios de artillería. F. Wingrave.
8. "Péndulo balístico". Universidad Estatal de Georgia .
9. PO Ackley (1962). Manual para tiradores y recargadores, volumen I. Editorial Plaza., páginas 191-195

Bibliografía

• Benjamín Robins, James Wilson, Charles Hutton (1805). Nuevos principios de artillería . F. Wingrave.
• "Péndulo balístico". Enciclopedia Británica

enlaces externos

• Calculadora de péndulo balístico
• Péndulo balístico demostrado por Walter Lewin