serie de salchichas

En matemáticas, la serie de Wiener , o expansión funcional G de Wiener , tiene su origen en el libro de 1958 de Norbert Wiener . Es una expansión ortogonal para funcionales no lineales estrechamente relacionados con la serie de Volterra y que tiene la misma relación que una expansión polinómica ortogonal de Hermite con una serie de potencias . Por este motivo también se la conoce como expansión de Wiener-Hermite . Los análogos de los coeficientes se denominan granos de Wiener . Los términos de la serie son ortogonales (no correlacionados) con respecto a una entrada estadística de ruido blanco . Esta propiedad permite identificar los términos en las aplicaciones mediante el método de Lee-Schetzen .

La serie de Wiener es importante en la identificación de sistemas no lineales . En este contexto, la serie aproxima la relación funcional de la salida con la historia completa de las entradas del sistema en cualquier momento. La serie de Wiener se ha aplicado principalmente a la identificación de sistemas biológicos, especialmente en neurociencia .

El nombre Serie Wiener se utiliza casi exclusivamente en teoría de sistemas . En la literatura matemática ocurre como la expansión de Itô (1951), que tiene una forma diferente pero es completamente equivalente a ella.

La serie Wiener no debe confundirse con el filtro Wiener , que es otro algoritmo desarrollado por Norbert Wiener utilizado en el procesamiento de señales.

Expresiones funcionales Wiener G

Dado un sistema con un par de entrada/salida donde la entrada es ruido blanco con valor medio cero y potencia A, podemos escribir la salida del sistema como la suma de una serie de funcionales G de Wiener. ${\displaystyle (x(t),y(t))}$ ${\displaystyle y(n)=\sum _{p}(G_{p}x)(n)}$

A continuación se darán las expresiones de los funcionales G hasta el quinto orden: ^{[ se necesita aclaración ]}

{{Aclarar}}

${\displaystyle (G_{0}x)(n)=k_{0}=E\left\{y(n)\right\};}$

${\displaystyle (G_{1}x)(n)=\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{1}-1}k_{1}(\tau _{1})x(n-\tau _{1});}$

${\displaystyle (G_{2}x)(n)=\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{2}-1}k_{2}(\tau _{1},\tau _{2})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})-A\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{2}-1}k_{2}(\tau _{1},\tau _{1});}$

${\displaystyle (G_{3}x)(n)=\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{3}-1}k_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})-3A\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{3}-1}\sum _{\tau _{2}=0}^{N_{3}-1}k_{3}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2})x(n-\tau _{1});}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(G_{4}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{4}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})+{}\\[6pt]&{}-6A\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}\sum _{\tau _{3}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})+3A^{2}\sum _{\tau _{1},\tau _{2}=0}^{N_{4}-1}k_{4}(\tau _{1},\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2});\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(G_{5}x)(n)={}&\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{5}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{5})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})x(n-\tau _{4})x(n-\tau _{5})+{}\\[6pt]&{}-10A\sum _{\tau _{1},\ldots ,\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{4}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4},\tau _{4})x(n-\tau _{1})x(n-\tau _{2})x(n-\tau _{3})\\[6pt]&{}+15A^{2}\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{5}-1}\sum _{\tau _{2},\tau _{3}=0}^{N_{5}-1}k_{5}(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{3})x(n-\tau _{1}).\end{aligned}}}$

Ver también

• serie volterra
• Identificación del sistema
• Promedio activado por picos

Referencias

• Wiener, Norberto (1958). Problemas no lineales en teoría aleatoria . Wiley y MIT Press.
• Lee y Schetzen; Schetzen‡, M. (1965). "Medición de los núcleos de Wiener de un sistema no lineal mediante correlación cruzada". Revista Internacional de Control . Primero. 2 (3): 237–254. doi : 10.1080/00207176508905543.
• Itô K "Una integral de Wiener múltiple" J. Math. Soc. Japón. 3 1951 157-169
• Marmarelis, PZ; Naka, K. (1972). "Análisis de ruido blanco de una cadena de neuronas: una aplicación de la teoría de Wiener". Ciencia . 175 (4027): 1276-1278. doi : 10.1126/ciencia.175.4027.1276. PMID  5061252.
• Schetzen, Martín (1980). Las teorías de Volterra y Wiener sobre sistemas no lineales . John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-04455-0.
• Marmarelis, PZ (1991). "Análisis de Wiener de retroalimentación no lineal". Anales de sistemas sensoriales de ingeniería biomédica . 19 (4): 345–382. doi :10.1007/BF02584316.
• Francisco, M; Schölkopf, B. (2006). "Una visión unificadora de la teoría de Wiener y Volterra y la regresión del núcleo polinomial". Computación neuronal . 18 (12): 3097–3118. doi :10.1162/neco.2006.18.12.3097.
• LA Zadeh Sobre la representación de operadores no lineales. IRE Westcon Conv. Registro parte 2 1957 105-113.