Función señalizadora

En matemáticas , en el área del álgebra abstracta , un funtor señalizador es una aplicación de un subgrupo finito potencial a los centralizadores de los elementos no triviales de un grupo abeliano . El teorema del funtor señalizador proporciona las condiciones bajo las cuales la fuente de dicho funtor es, de hecho, un subgrupo.

El funtor señalizador fue definido por primera vez por Daniel Gorenstein . ^[1] George Glauberman demostró el Teorema del Funtor Señalizador Resoluble para grupos resolubles ^[2] y Patrick McBride lo demostró para grupos generales. ^{[3] [4]} Los resultados relacionados con los funtores señalizadores juegan un papel importante en la clasificación de grupos simples finitos .

Definición

Sea A un p -subgrupo abeliano elemental no cíclico del grupo finito G. Un funtor señalizador A en G (o simplemente un funtor señalizador cuando A y G son claros) es una aplicación θ del conjunto de elementos no identidad de A al conjunto de p′ -subgrupos A -invariantes de G que satisfacen las siguientes propiedades:

• Para cada elemento no identidad , el grupo está contenido en ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \theta (a)}$ ${\displaystyle C_{G}(a).}$
• Para cada par de elementos no idénticos , tenemos ${\displaystyle a,b\in A}$ ${\displaystyle \theta (a)\cap C_{G}(b)\subseteq \theta (b).}$

La segunda condición anterior se denomina condición de equilibrio. Si todos los subgrupos son resolubles , entonces se dice que el funtor señalizador en sí es resoluble. ${\displaystyle \theta (a)}$ ${\displaystyle \theta }$

Teorema del functor señalizador soluble

Dadas ciertas suposiciones adicionales, relativamente suaves, se puede demostrar que el subgrupo generado por los subgrupos es, de hecho, un -subgrupo. ${\displaystyle \theta ,}$ ${\displaystyle W=\langle \theta (a)\mid a\in A,a\neq 1\rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \theta (a)}$ ${\displaystyle p'}$

El teorema del functor señalizador resoluble probado por Glauberman establece que este será el caso si es resoluble y tiene al menos tres generadores. ^[2] El teorema también establece que bajo estos supuestos, él mismo será resoluble. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W}$

Varias versiones más débiles del teorema fueron probadas antes de que se publicara la prueba de Glauberman. Gorenstein lo demostró bajo el supuesto más fuerte de que tenía rango al menos 5. ^[1] David Goldschmidt lo demostró bajo el supuesto de que tenía rango al menos 4 o era un 2-grupo de rango al menos 3. ^{[5] [6]} Helmut Bender dio una prueba simple para 2-grupos usando el teorema ZJ , ^[7] y Paul Flavell dio una prueba en un espíritu similar para todos los primos. ^[8] Glauberman dio el resultado definitivo para funtores señalizadores resolubles. ^[2] Usando la clasificación de grupos simples finitos, McBride mostró que es un -grupo sin el supuesto de que es resoluble. ^{[3] [4]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle p'}$ ${\displaystyle \theta }$

Lo completo

La terminología de completitud se utiliza a menudo en las discusiones sobre funtores señalizadores. Sea un funtor señalizador como el anterior y considere el conjunto И de todos los subgrupos -invariantes de que satisfacen la siguiente condición: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p'}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

• ${\displaystyle H\cap C_{G}(a)\subseteq \theta (a)}$para toda no identidad ${\displaystyle a\in A.}$

Por ejemplo, los subgrupos pertenecen a И como resultado de la condición de equilibrio de θ . ${\displaystyle \theta (a)}$

Se dice que el funtor señalizador está completo si И tiene un único elemento máximo cuando se ordena por contención. En este caso, se puede demostrar que el único elemento máximo coincide con lo anterior, y se denomina completitud de . Si está completo y resulta resoluble, se dice que es resolublemente completo. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \theta }$

Por lo tanto, el Teorema del Functor Señalizador Resoluble se puede reformular diciendo que si tiene al menos tres generadores, entonces cada functor señalizador resoluble en es resolublemente completo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$

Ejemplos de funtores señalizadores

La forma más fácil de obtener un funtor señalizador es comenzar con un subgrupo invariante de y definirlo para toda no identidad. Sin embargo, generalmente es más práctico comenzar con él y usarlo para construir el grupo invariante . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p'}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle \theta (a)=M\cap C_{G}(a)}$ ${\displaystyle a\in A.}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p'}$

El funtor señalizador más simple utilizado en la práctica es ${\displaystyle \theta (a)=O_{p'}(C_{G}(a)).}$

Como se definió anteriormente, es de hecho un subgrupo -invariante de , porque es abeliano . Sin embargo, se necesitan algunos supuestos adicionales para demostrar que esto satisface la condición de equilibrio. Un criterio suficiente es que para cada no identidad el grupo sea resoluble (o -resoluble o incluso -restringido). ${\displaystyle \theta (a)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle a\in A,}$ ${\displaystyle C_{G}(a)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

La verificación de la condición de equilibrio bajo este supuesto se puede realizar utilizando el lema de Thompson . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle P\times Q}$

Acción coprime

Para obtener una mejor comprensión de los funtores señalizadores, es esencial conocer el siguiente hecho general sobre los grupos finitos:

• Sea un grupo abeliano no cíclico que actúa sobre el grupo finito Supóngase que los órdenes de y son primos entre sí . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$
• Entonces ${\displaystyle X=\langle C_{X}(E_{0})\mid E_{0}\subseteq E,{\text{ and }}E/E_{0}{\text{ cyclic }}\rangle }$

Este hecho se puede demostrar utilizando el teorema de Schur-Zassenhaus para mostrar que para cada primo que divide el orden del grupo tiene un subgrupo de Sylow invariante . Esto se reduce al caso donde es un grupo. Luego, un argumento por inducción sobre el orden de reduce el enunciado aún más al caso donde es abeliano elemental con actuando irreduciblemente. Esto obliga al grupo a ser cíclico, y el resultado se deduce. ^{[9] [10]} ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E/C_{E}(X)}$

Este hecho se utiliza tanto en la prueba como en las aplicaciones del Teorema del Functor Señalizador Resoluble.

Por ejemplo, un resultado útil es que implica que si es completo, entonces su completitud es el grupo definido anteriormente. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle W}$

Finalización normal

Otro resultado que se desprende del hecho anterior es que la finalización de un funtor señalizador suele ser normal en : ${\displaystyle G}$

Sea un funtor -señalizador completo en . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$

Sea un subgrupo no cíclico de Entonces el hecho de acción coprimo junto con la condición de equilibrio implica que ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle W=\langle \theta (a)\mid a\in A,a\neq 1\rangle =\langle \theta (b)\mid b\in B,b\neq 1\rangle .}$

Para ver esto, observe que debido a que es B -invariante, ${\displaystyle \theta (a)}$ ${\displaystyle \theta (a)=\langle \theta (a)\cap C_{G}(b)\mid b\in B,b\neq 1\rangle \subseteq \langle \theta (b)\mid b\in B,b\neq 1\rangle .}$

La igualdad anterior utiliza el hecho de acción coprimo, y la contención utiliza la condición de equilibrio. Ahora bien, a menudo se da el caso de que satisface una condición de "equivarianza", es decir, que para cada y no identidad , donde el superíndice denota conjugación por Por ejemplo, la aplicación , el ejemplo de un funtor señalizador dado anteriormente, satisface esta condición. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \theta (a^{g})=\theta (a)^{g}\,}$ ${\displaystyle g.}$ ${\displaystyle a\mapsto O_{p'}(C_{G}(a))}$

Si satisface la equivarianza, entonces el normalizador de normalizará. De ello se deduce que si se genera por los normalizadores de los subgrupos no cíclicos de entonces la completitud de (es decir, W ) es normal en ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle W.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle G.}$

Referencias

1. Gorenstein, D. (1969), "Sobre los centralizadores de involuciones en grupos finitos", Journal of Algebra , 11 (2): 243–277, doi :10.1016/0021-8693(69)90056-8, ISSN  0021-8693, MR  0240188
2. Glauberman, George (1976), "Sobre funtores señalizadores resolubles en grupos finitos", Actas de la London Mathematical Society , Tercera serie, 33 (1): 1–27, doi :10.1112/plms/s3-33.1.1, ISSN  0024-6115, MR  0417284
3. McBride, Patrick Paschal (1982a), "Functores señalizadores casi solubles en grupos finitos" (PDF) , Journal of Algebra , 78 (1): 181–214, doi : 10.1016/0021-8693(82)90107-7 , hdl : 2027.42/23875 , ISSN  0021-8693, MR  0677717
4. McBride, Patrick Paschal (1982b), "Functores señalizadores no solubles en grupos finitos", Journal of Algebra , 78 (1): 215–238, doi : 10.1016/0021-8693(82)90108-9 , hdl : 2027.42/23876 , ISSN  0021-8693
5. Goldschmidt, David M. (1972a), "Functores señalizadores resolubles en grupos finitos", Journal of Algebra , 21 : 137–148, doi : 10.1016/0021-8693(72)90040-3 , ISSN  0021-8693, MR  0297861
6. Goldschmidt, David M. (1972b), "Functores de 2 señalizadores en grupos finitos", Journal of Algebra , 21 (2): 321–340, doi : 10.1016/0021-8693(72)90027-0 , ISSN  0021-8693, MR  0323904
7. Bender, Helmut (1975), "Teorema del functor de 2 señalizadores de Goldschmidt", Israel Journal of Mathematics , 22 (3): 208–213, doi :10.1007/BF02761590, ISSN  0021-2172, MR  0390056
8. Flavell, Paul (2007), Una nueva prueba del teorema del functor señalizador resoluble (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 14 de abril de 2012
9. Aschbacher, Michael (2000), Teoría de grupos finitos , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78675-1
10. Kurzweil, Hans; Stellmacher, Bernd (2004), La teoría de los grupos finitos , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/b97433, ISBN 978-0-387-40510-0, Sr.  2014408