Cálculo funcional

Teoría que permite aplicar funciones matemáticas a operadores matemáticos.

En matemáticas , un cálculo funcional es una teoría que permite aplicar funciones matemáticas a operadores matemáticos . Actualmente es una rama (más precisamente, varias áreas relacionadas) del campo del análisis funcional , conectada con la teoría espectral . (Históricamente, el término también se usaba como sinónimo de cálculo de variaciones ; este uso está obsoleto, excepto para la derivada funcional . A veces se usa en relación con tipos de ecuaciones funcionales , o en lógica para sistemas de cálculo de predicados ).

Si es una función, digamos una función numérica de un número real , y es un operador, no hay ninguna razón particular por la que la expresión deba tener sentido. Si lo tiene, entonces ya no estamos usando en su dominio de función original . En la tradición del cálculo operacional , las expresiones algebraicas en operadores se manejan independientemente de su significado. Sin embargo, esto pasa casi desapercibido si hablamos de "elevar al cuadrado una matriz", que es el caso de y una matriz . La idea de un cálculo funcional es crear un enfoque basado en principios para este tipo de sobrecarga de la notación. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f(M)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n\times n}$

El caso más inmediato es aplicar funciones polinómicas a una matriz cuadrada , extendiendo lo que se acaba de discutir. En el caso de dimensión finita, el cálculo funcional polinómico proporciona bastante información sobre el operador. Por ejemplo, considere la familia de polinomios que aniquila un operador . Esta familia es un ideal en el anillo de polinomios. Además, es un ideal no trivial: sea la dimensión finita del álgebra de matrices, entonces es linealmente dependiente. Por lo tanto , para algunos escalares , no todos iguales a 0. Esto implica que el polinomio se encuentra en el ideal. Dado que el anillo de polinomios es un dominio ideal principal , este ideal es generado por algún polinomio . Multiplicando por una unidad si es necesario, podemos elegir que sea mónico. Cuando se hace esto, el polinomio es precisamente el polinomio mínimo de . Este polinomio proporciona información profunda sobre . Por ejemplo, un escalar es un valor propio de si y solo si es una raíz de . Además, a veces se puede utilizar para calcular la exponencial de de manera eficiente. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{I,T,T^{2},\ldots ,T^{n}\}}$ ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}T^{i}=0}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}x^{i}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T}$

El cálculo polinómico no es tan informativo en el caso de dimensión infinita. Considérese el desplazamiento unilateral con el cálculo polinómico; el ideal definido anteriormente es ahora trivial. Por lo tanto, uno está interesado en cálculos funcionales más generales que los polinomios. El tema está estrechamente vinculado a la teoría espectral , ya que para una matriz diagonal o un operador de multiplicación , es bastante claro cuáles deberían ser las definiciones.

Véase también

• Cálculo funcional de Borel  – Rama del análisis funcional
• Cálculo funcional continuo  : una rama del análisis funcionalPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Integral directa  : generalización del concepto de suma directaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Cálculo funcional holomorfo

Referencias

• "Cálculo funcional", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

Enlaces externos

• Medios relacionados con Cálculo funcional en Wikimedia Commons