Deformación (física)

Transformación de un cuerpo desde una configuración de referencia a una configuración actual

En física y mecánica continua , la deformación es el cambio en la forma o tamaño de un objeto. Tiene una dimensión de longitud con unidad SI de metro (m). Se cuantifica como el desplazamiento residual de las partículas en un cuerpo no rígido , desde una configuración inicial hasta una configuración final , excluyendo la traslación y rotación promedio del cuerpo (su transformación rígida ). ^[1] Una configuración es un conjunto que contiene las posiciones de todas las partículas del cuerpo.

Una deformación puede ocurrir debido a cargas externas , ^[2] actividad intrínseca (por ejemplo, contracción muscular ), fuerzas corporales (como la gravedad o fuerzas electromagnéticas ), o cambios de temperatura, contenido de humedad o reacciones químicas, etc.

En un cuerpo continuo , un campo de deformación resulta de un campo de tensiones debido a fuerzas aplicadas o a causa de algunos cambios en las condiciones del cuerpo. La relación entre tensión y deformación (deformación relativa) se expresa mediante ecuaciones constitutivas , por ejemplo, la ley de Hooke para materiales elásticos lineales .

Las deformaciones que dejan de existir después de que se elimina el campo de tensiones se denominan deformaciones elásticas . En este caso, el continuo recupera completamente su configuración original. Por otro lado, pueden quedar deformaciones irreversibles, que persisten incluso después de que se hayan eliminado las tensiones. Un tipo de deformación irreversible es la deformación plástica , que ocurre en los cuerpos materiales después de que las tensiones han alcanzado un cierto valor umbral conocido como límite elástico o límite elástico , y son el resultado de mecanismos de deslizamiento o dislocación a nivel atómico. Otro tipo de deformación irreversible es la deformación viscosa , que es la parte irreversible de la deformación viscoelástica . En el caso de deformaciones elásticas, la función de respuesta que vincula la deformación con el esfuerzo deformación es el tensor de elasticidad del material.

Definición y formulación

La deformación es el cambio en las propiedades métricas de un cuerpo continuo, lo que significa que una curva dibujada en la ubicación inicial del cuerpo cambia su longitud cuando se desplaza a una curva en la ubicación final. Si ninguna de las curvas cambia de longitud, se dice que se produjo un desplazamiento del cuerpo rígido .

Es conveniente identificar una configuración de referencia o estado geométrico inicial del cuerpo continuo desde el cual se hacen referencia todas las configuraciones posteriores. La configuración de referencia no tiene por qué ser la que el cuerpo realmente ocupará alguna vez. A menudo, la configuración en t = 0 se considera la configuración de referencia, κ ₀ ( B ) . La configuración en el momento actual t es la configuración actual .

Para el análisis de deformaciones, la configuración de referencia se identifica como configuración no deformada y la configuración actual como configuración deformada . Además, el tiempo no se considera al analizar la deformación, por lo que la secuencia de configuraciones entre las configuraciones deformadas y no deformadas no son de interés.

Las componentes X _i del vector de posición X de una partícula en la configuración de referencia, tomadas con respecto al sistema de coordenadas de referencia, se denominan coordenadas de material o de referencia . Por otro lado, las componentes x _i del vector de posición x de una partícula en la configuración deformada, tomadas con respecto al sistema de coordenadas espaciales de referencia, se denominan coordenadas espaciales.

Hay dos métodos para analizar la deformación de un continuo. Se realiza una descripción en términos del material o coordenadas referenciales, llamada descripción material o descripción lagrangiana . Una segunda descripción de la deformación se realiza en términos de las coordenadas espaciales y se denomina descripción espacial o descripción euleriana .

Hay continuidad durante la deformación de un cuerpo continuo en el sentido de que:

• Los puntos materiales que forman una curva cerrada en cualquier instante siempre formarán una curva cerrada en cualquier momento posterior.
• Los puntos materiales que forman una superficie cerrada en cualquier instante siempre formarán una superficie cerrada en cualquier momento posterior y la materia dentro de la superficie cerrada siempre permanecerá dentro.

deformación afín

Una deformación afín es una deformación que puede describirse completamente mediante una transformación afín . Dicha transformación se compone de una transformación lineal (como rotación, corte, extensión y compresión) y una traslación de un cuerpo rígido. Las deformaciones afines también se denominan deformaciones homogéneas . ^[3]

Por tanto, una deformación afín tiene la forma

$${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {F}}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c} (t)}$$

xXtFc

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{11}(t)&F_{12}(t)&F_{13}(t)\\F_{21}(t)&F_{22}(t)&F_{23}(t)\\F_{31}(t)&F_{32}(t)&F_{33}(t)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}(t)\\c_{2}(t)\\c_{3}(t)\end{bmatrix}}}$$

La deformación anterior se vuelve no afín o no homogénea si F = F ( X , t ) o c = c ( X , t ) .

Movimiento rígido del cuerpo

El movimiento de un cuerpo rígido es una deformación afín especial que no implica ningún corte, extensión o compresión. La matriz de transformación F es ortogonal propia para permitir rotaciones pero no reflexiones .

El movimiento de un cuerpo rígido se puede describir mediante

$${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {Q}}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c} (t)}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}\cdot {\boldsymbol {Q}}^{T}={\boldsymbol {Q}}^{T}\cdot {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}}$$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Q_{11}(t)&Q_{12}(t)&Q_{13}(t)\\Q_{21}(t)&Q_{22}(t)&Q_{23}(t)\\Q_{31}(t)&Q_{32}(t)&Q_{33}(t)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}(t)\\c_{2}(t)\\c_{3}(t)\end{bmatrix}}}$$

Antecedentes: desplazamiento

Figura 1. Movimiento de un cuerpo continuo.

Un cambio en la configuración de un cuerpo continuo produce un desplazamiento . El desplazamiento de un cuerpo tiene dos componentes: un desplazamiento de cuerpo rígido y una deformación. Un desplazamiento de un cuerpo rígido consiste en una traslación y rotación simultáneas del cuerpo sin cambiar su forma o tamaño. La deformación implica el cambio en la forma y/o tamaño del cuerpo desde una configuración inicial o no deformada κ ₀ ( B ) a una configuración actual o deformada κ _t ( B ) (Figura 1).

Si tras un desplazamiento del continuo se produce un desplazamiento relativo entre partículas, se ha producido una deformación. Por otro lado, si después del desplazamiento del continuo el desplazamiento relativo entre partículas en la configuración actual es cero, entonces no hay deformación y se dice que ha ocurrido un desplazamiento de cuerpo rígido.

El vector que une las posiciones de una partícula P en la configuración no deformada y en la configuración deformada se llama vector de desplazamiento u ( X , t ) = u _i e _i en la descripción lagrangiana, o U ( x , t ) = U _J E _J en la descripción euleriana.

Un campo de desplazamiento es un campo vectorial de todos los vectores de desplazamiento de todas las partículas del cuerpo, que relaciona la configuración deformada con la configuración no deformada. Es conveniente hacer el análisis de deformación o movimiento de un cuerpo continuo en términos del campo de desplazamiento. En general, el campo de desplazamiento se expresa en términos de las coordenadas del material como

$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (\mathbf {X} ,t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}$$

$${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}}$$

α _JiE _Je _i

$${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$$

u _iU _J

$${\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}$$

Sabiendo que

$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}$$

$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}$$

Es común superponer los sistemas de coordenadas para las configuraciones deformadas y no deformadas, lo que da como resultado b = 0 , y los cosenos directores se convierten en deltas de Kronecker :

$${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$$

Así, tenemos

$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}}$$

$${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}}$$

Tensor de gradiente de desplazamiento

La diferenciación parcial del vector de desplazamiento con respecto a las coordenadas del material produce el tensor de gradiente de desplazamiento del material ∇ _X u . Así tenemos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)&=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {I} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\mathbf {F} -\mathbf {I} \end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{i}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}\\{\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}&={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\delta _{iK}\end{aligned}}}$$

Ftensor del gradiente de deformación

De manera similar , la diferenciación parcial del vector de desplazamiento con respecto a las coordenadas espaciales produce el tensor de gradiente de desplazamiento espacial ∇ _x U. Así tenemos,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)&=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\\\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} &=\mathbf {I} -\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} &=\mathbf {I} -\mathbf {F} ^{-1}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{J}&=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}\\{\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}&=\delta _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}\end{aligned}}}$$

Ejemplos

Las deformaciones homogéneas (o afines) son útiles para dilucidar el comportamiento de los materiales. Algunas deformaciones homogéneas de interés son

• extensión uniforme
• pura dilatacion
• tensión equibiaxial
• corte simple
• corte puro

Las deformaciones lineales o longitudinales de objetos largos, como vigas y fibras, se denominan alargamiento o acortamiento ; Las cantidades derivadas son el alargamiento relativo y la relación de estiramiento .

Las deformaciones planas también son de interés, particularmente en el contexto experimental.

La deformación del volumen es un escalamiento uniforme debido a la compresión isotrópica ; la deformación relativa del volumen se llama deformación volumétrica .

Deformación plana

Una deformación plana, también llamada deformación plana , es aquella en la que la deformación se restringe a uno de los planos en la configuración de referencia. Si la deformación se restringe al plano descrito por los vectores de base e ₁ , e ₂ , el gradiente de deformación tiene la forma

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=F_{11}\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{1}+F_{12}\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}+F_{21}\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{1}+F_{22}\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\otimes \mathbf {e} _{3}}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}F_{11}&F_{12}&0\\F_{21}&F_{22}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

teorema de la descomposición polar^[3]

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {U}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

θλ ₁λ ₂tramos principales

Deformación del plano isocórico

Si la deformación es isocórica (conserva el volumen), entonces det( F ) = 1 y tenemos

$${\displaystyle F_{11}F_{22}-F_{12}F_{21}=1}$$

$${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}=1}$$

corte simple

Una deformación por corte simple se define como una deformación plana isocórica en la que hay un conjunto de elementos lineales con una orientación de referencia determinada que no cambian de longitud ni de orientación durante la deformación. ^[3]

Si e ₁ es la orientación de referencia fija en la que los elementos lineales no se deforman durante la deformación, entonces λ ₁ = 1 y F · e ₁ = e ₁ . Por lo tanto,

$${\displaystyle F_{11}\mathbf {e} _{1}+F_{21}\mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{1}\quad \implies \quad F_{11}=1~;~~F_{21}=0}$$

$${\displaystyle F_{11}F_{22}-F_{12}F_{21}=1\quad \implies \quad F_{22}=1}$$

$${\displaystyle \gamma :=F_{12}}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}\cdot \mathbf {e} _{2}=F_{12}\mathbf {e} _{1}+F_{22}\mathbf {e} _{2}=\gamma \mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2}\quad \implies \quad {\boldsymbol {F}}\cdot (\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2})=\gamma \mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2}}$$

$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{i}={\boldsymbol {\mathit {1}}}}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}+\gamma \mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}}$$

Ver también

• La deformación de elementos largos como vigas o montantes debido a fuerzas de flexión se conoce como deflexión .
• Teoría del haz de Euler-Bernoulli
• Deformación (ingeniería)
• Teoría de la deformación finita
• Teoría de la deformación infinitesimal
• Patrón muaré
• Módulo de corte
• Esfuerzo cortante
• Resistencia a la cizalladura
• Deformación (mecánica)
• Estrés (mecánica)
• Medidas de estrés

Referencias

1. Truesdell, C.; Noll, W. (2004). Las teorías de campos no lineales de la mecánica (3ª ed.). Saltador. pag. 48.
2. Wu, H.-C. (2005). Mecánica del Continuo y Plasticidad . Prensa CRC. ISBN 1-58488-363-4.
3. Ogden, RW (1984). Deformaciones elásticas no lineales . Dover.

Otras lecturas

• Bazant, Zdenek P.; Cedolin, Luigi (2010). Inestabilidades del continuo tridimensional y efectos del tensor de deformación finita, capítulo 11 de "Estabilidad de estructuras", 3ª ed. Singapur, Nueva Jersey, Londres: World Scientific Publishing. ISBN 978-9814317030.
• Eneldo, Ellis Harold (2006). Mecánica del Continuo: Elasticidad, Plasticidad, Viscoelasticidad. Alemania: Prensa CRC. ISBN 0-8493-9779-0.
• Hutter, Kolumban; Jöhnk, Klaus (2004). Métodos continuos de modelado físico. Alemania: Springer. ISBN 3-540-20619-1.
• Jirasek, M; Bazant, ZP (2002). Análisis Inelástico de Estructuras. Londres y Nueva York: J. Wiley & Sons. ISBN 0471987166.
• Lubarda, Vlado A. (2001). Teoría de la elastoplasticidad. Prensa CRC. ISBN 0-8493-1138-1.
• Macosko, CW (1994). Reología: principios, medición y aplicaciones . Editores VCH. ISBN 1-56081-579-5.
• Mase, George E. (1970). Mecánica de Medios Continuos. Profesional de McGraw-Hill. ISBN 0-07-040663-4.
• Mase, G. Thomas; Mase, George E. (1999). Mecánica continua para ingenieros (2ª ed.). Prensa CRC. ISBN 0-8493-1855-6.
• Nemat-Nasser, Sia (2006). Plasticidad: tratado sobre la deformación finita de materiales inelásticos heterogéneos. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-83979-3.
• Prager, William (1961). Introducción a la Mecánica de Continua. Boston: Ginn y compañía ISBN 0486438090.