Retracción (topología)

Mapeo continuo que preserva la posición desde un espacio topológico a un subespacio

En topología , una rama de las matemáticas , una retracción es una aplicación continua de un espacio topológico a un subespacio que conserva la posición de todos los puntos en ese subespacio. ^[1] El subespacio se denomina entonces retracción del espacio original. Una retracción de deformación es una aplicación que captura la idea de encoger continuamente un espacio en un subespacio.

Un retracto de vecindad absoluto ( ANR ) es un tipo de espacio topológico que se comporta particularmente bien . Por ejemplo, cada variedad topológica es un ANR. Cada ANR tiene el tipo de homotopía de un espacio topológico muy simple, un complejo CW .

Definiciones

Retraer

Sea X un espacio topológico y A un subespacio de X. Entonces, una función continua

${\displaystyle r\colon X\to A}$

es una retracción si la restricción de r a A es la función identidad en A ; es decir, para todo a en A . De manera equivalente, denotando por ${\textstyle r(a)=a}$

${\displaystyle \iota \colon A\hookrightarrow X}$

la inclusión , una retracción es una función continua r tal que

${\displaystyle r\circ \iota =\operatorname {id} _{A},}$

es decir, la composición de r con la inclusión es la identidad de A . Nótese que, por definición, una retracción mapea X sobre A . Un subespacio A se llama retracción de X si existe tal retracción. Por ejemplo, cualquier espacio no vacío se retrae a un punto de la manera obvia (cualquier mapa constante produce una retracción). Si X es Hausdorff , entonces A debe ser un subconjunto cerrado de X .

Si es una retracción, entonces la composición ι∘ r es una función continua idempotente de X a X . A la inversa, dada cualquier función continua idempotente obtenemos una retracción sobre la imagen de s restringiendo el codominio . ${\textstyle r:X\to A}$ ${\textstyle s:X\to X,}$

Retracción por deformación y retracción por deformación fuerte

Un mapa continuo

${\displaystyle F\colon X\times [0,1]\to X}$

es una retracción de deformación de un espacio X sobre un subespacio A si, para cada x en X y a en A ,

${\displaystyle F(x,0)=x,\quad F(x,1)\in A,\quad {\mbox{and}}\quad F(a,1)=a.}$

En otras palabras, una retracción de deformación es una homotopía entre una retracción y el mapa identidad en X. El subespacio A se denomina retracción de deformación de X. Una retracción de deformación es un caso especial de una equivalencia de homotopía .

Una retracción no tiene por qué ser una retracción de deformación. Por ejemplo, tener un único punto como retracción de deformación de un espacio X implicaría que X está conectado por trayectorias (y, de hecho, que X es contráctil ).

Nota: Una definición equivalente de retracción de deformación es la siguiente. Una función continua es una retracción de deformación si es una retracción y su composición con la inclusión es homotópica con respecto a la función identidad en X. En esta formulación, una retracción de deformación conlleva una homotopía entre la función identidad en X y ella misma. ${\textstyle r:X\to A}$

Si en la definición de retracción de deformación añadimos el requisito de que

${\displaystyle F(a,t)=a}$

para todo t en [0, 1] y a en A , entonces F se denomina retracción de deformación fuerte . En otras palabras, una retracción de deformación fuerte deja puntos en A fijos a lo largo de la homotopía. (Algunos autores, como Hatcher , toman esto como la definición de retracción de deformación).

Como ejemplo, la n -esfera es una fuerte deformación retraída. Como fuerte deformación retraída se puede elegir el mapa ${\textstyle S^{n}}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n+1}\backslash \{0\};}$

${\displaystyle F(x,t)=(1-t)x+t{x \over \|x\|}.}$

Nótese que la condición de ser una fuerte retracción de deformación es estrictamente más fuerte que ser una fuerte retracción de deformación. Por ejemplo, sea X el subespacio de que consiste en segmentos de línea cerrados que conectan el origen y el punto para n un entero positivo, junto con el segmento de línea cerrado que conecta el origen con . Sea X la topología de subespacio heredada de la topología euclidiana en . Ahora sea A el subespacio de X que consiste en el segmento de línea que conecta el origen con . Entonces A es una retracción de deformación de X pero no una fuerte retracción de deformación de X . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (1/n,1)}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (0,1)}$

La cofibración y la deformación del vecindario se retraen.

Una función f : A → X de espacios topológicos es una cofibración ( Hurewicz ) si tiene la propiedad de extensión de homotopía para funciones en cualquier espacio. Este es uno de los conceptos centrales de la teoría de homotopía . Una cofibración f es siempre inyectiva, de hecho un homeomorfismo de su imagen. ^[3] Si X es Hausdorff (o un espacio de Hausdorff débil generado de forma compacta ), entonces la imagen de una cofibración f es cerrada en X.

Entre todas las inclusiones cerradas, las cofibraciones se pueden caracterizar de la siguiente manera. La inclusión de un subespacio cerrado A en un espacio X es una cofibración si y solo si A es un retracto de deformación de vecindad de X , lo que significa que existe una función continua con y una homotopía tal que para todos para todos y y si . ^[4] ${\displaystyle u:X\rightarrow [0,1]}$ ${\textstyle A=u^{-1}\!\left(0\right)}$ ${\textstyle H:X\times [0,1]\rightarrow X}$ ${\textstyle H(x,0)=x}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle H(a,t)=a}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle t\in [0,1],}$ ${\textstyle H\left(x,1\right)\in A}$ ${\displaystyle u(x)<1}$

Por ejemplo, la inclusión de un subcomplejo en un complejo CW es una cofibración.

Propiedades

• Una propiedad básica de una retracción A de X (con retracción ) es que cada mapa continuo tiene al menos una extensión, a saber . ${\textstyle r:X\to A}$ ${\textstyle f:A\rightarrow Y}$ ${\textstyle g:X\rightarrow Y,}$ ${\textstyle g=f\circ r}$
• Si un subespacio es un retracto de un espacio, entonces la inclusión induce una inyección entre grupos fundamentales.
• La retracción de deformación es un caso particular de equivalencia homotópica. De hecho, dos espacios son homotópicamente equivalentes si y solo si ambos son homeomorfos a retracciones de deformación de un único espacio mayor.
• Todo espacio topológico que se retrae por deformación hasta un punto es contráctil y viceversa. Sin embargo, existen espacios contráctiles que no se retraen fuertemente por deformación hasta un punto. ^[5]

Teorema de no retracción

El límite de la esfera n -dimensional , es decir, la ( n −1)-esfera, no es un retracto de la esfera. (Véase el teorema del punto fijo de Brouwer § Una demostración usando homología o cohomología .)

Retracción absoluta del vecindario (ANR)

Un subconjunto cerrado de un espacio topológico se denomina retracto de vecindad de si es un retracto de algún subconjunto abierto de que contiene . ${\textstyle X}$ ${\textstyle Y}$ ${\textstyle Y}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle Y}$ ${\textstyle X}$

Sea una clase de espacios topológicos, cerrados bajo homeomorfismos y paso a subconjuntos cerrados. Siguiendo a Borsuk (a partir de 1931), un espacio se llama retracto absoluto para la clase , escrito si está en y siempre que es un subconjunto cerrado de un espacio en , es un retracto de . Un espacio es un retracto de vecindad absoluto para la clase , escrito si está en y siempre que es un subconjunto cerrado de un espacio en , es un retracto de vecindad de . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle \operatorname {AR} \left({\mathcal {C}}\right),}$ ${\textstyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle Y}$ ${\textstyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle \operatorname {ANR} \left({\mathcal {C}}\right),}$ ${\textstyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle Y}$

En esta definición se han considerado varias clases , como los espacios normales , pero se ha descubierto que la clase de espacios metrizables ofrece la teoría más satisfactoria. Por esa razón, en este artículo se utilizan las notaciones AR y ANR por sí solas para significar y . ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \operatorname {AR} \left({\mathcal {M}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {ANR} \left({\mathcal {M}}\right)}$

Un espacio metrizable es un AR si y solo si es contráctil y un ANR. ^[7] Según Dugundji , todo espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo es un AR; de manera más general, todo subconjunto convexo no vacío de dicho espacio vectorial es un AR. ^[8] Por ejemplo, cualquier espacio vectorial normado ( completo o no) es un AR. De manera más concreta, el espacio euclidiano, el cubo unitario y el cubo de Hilbert son AR. ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\textstyle I^{n},}$ ${\textstyle I^{\omega }}$

Los ANR forman una clase notable de espacios topológicos " de buen comportamiento ". Entre sus propiedades se encuentran:

• Cada subconjunto abierto de un ANR es un ANR.
• Según Hanner , un espacio metrizable que tiene una cubierta abierta por ANR es un ANR. ^[9] (Es decir, ser un ANR es una propiedad local para espacios metrizables). De ello se deduce que toda variedad topológica es un ANR. Por ejemplo, la esfera es un ANR pero no un AR (porque no es contráctil). En dimensiones infinitas, el teorema de Hanner implica que toda variedad de cubo de Hilbert así como las variedades de Hilbert (bastante diferentes, por ejemplo no localmente compactas ) y las variedades de Banach son ANR. ${\textstyle S^{n}}$
• Todo complejo CW localmente finito es un ANR. ^[10] Un complejo CW arbitrario no necesita ser metrizable, pero todo complejo CW tiene el tipo de homotopía de un ANR (que es metrizable, por definición). ^[11]
• Todo ANR X es localmente contráctil en el sentido de que para cada entorno abierto de un punto en , existe un entorno abierto de contenido en tal que la inclusión es homotópica a una función constante . Un espacio metrizable de dimensión finita es un ANR si y solo si es localmente contráctil en este sentido. ^[12] Por ejemplo, el conjunto de Cantor es un subconjunto compacto de la línea real que no es un ANR, ya que ni siquiera está localmente conexo . ${\textstyle U}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle U}$ ${\textstyle V\hookrightarrow U}$
• Contraejemplos: Borsuk encontró un subconjunto compacto de que es un ANR pero no estrictamente contráctil localmente. ^[13] (Un espacio es estrictamente contráctil localmente si cada vecindad abierta de cada punto contiene una vecindad abierta contráctil de ). Borsuk también encontró un subconjunto compacto del cubo de Hilbert que es localmente contráctil (como se definió anteriormente) pero no un ANR. ^[14] ${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\textstyle U}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle x}$
• Cada ANR tiene el tipo de homotopía de un complejo CW, según Whitehead y Milnor . ^[15] Además, un ANR localmente compacto tiene el tipo de homotopía de un complejo CW localmente finito; y, según West, un ANR compacto tiene el tipo de homotopía de un complejo CW finito. ^[16] En este sentido, los ANR evitan todas las patologías de la teoría de la homotopía de los espacios topológicos arbitrarios. Por ejemplo, el teorema de Whitehead se cumple para los ANR: un mapa de ANR que induce un isomorfismo en los grupos de homotopía (para todas las elecciones de punto base) es una equivalencia de homotopía. Dado que los ANR incluyen variedades topológicas, variedades de cubo de Hilbert, variedades de Banach, etc., estos resultados se aplican a una gran clase de espacios.
• Muchos espacios de mapeo son ANR. En particular, sea Y un ANR con un subespacio cerrado A que es un ANR, y sea X cualquier espacio metrizable compacto con un subespacio cerrado B. Entonces, el espacio de mapas de pares (con la topología compacta-abierta en el espacio de mapeo ) es un ANR. ^[17] De ello se deduce, por ejemplo, que el espacio de bucles de cualquier complejo CW tiene el tipo de homotopía de un complejo CW. ${\textstyle \left(Y,A\right)^{\left(X,B\right)}}$ ${\textstyle \left(X,B\right)\rightarrow \left(Y,A\right)}$
• Según Cauty, un espacio metrizable es un ANR si y solo si cada subconjunto abierto de tiene el tipo de homotopía de un complejo CW. ^[18] ${\textstyle X}$ ${\textstyle X}$
• Según Cauty, existe un espacio lineal métrico (es decir, un espacio vectorial topológico con una métrica invariante en la traslación ) que no es un AR. Se puede considerar que es separable y un F-espacio (es decir, un espacio lineal métrico completo). ^[19] (Según el teorema de Dugundji anterior, no puede ser localmente convexo). Dado que es contráctil y no un AR, tampoco es un ANR. Según el teorema de Cauty anterior, tiene un subconjunto abierto que no es homotópicamente equivalente a un complejo CW. Por lo tanto, existe un espacio metrizable que es estrictamente localmente contráctil pero no es homotópicamente equivalente a un complejo CW. No se sabe si un espacio metrizable compacto (o localmente compacto) que es estrictamente localmente contráctil debe ser un ANR. ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle U}$ ${\textstyle U}$

Notas

1. Borsuāk (1931).
2. Weintraub, Steven H. Fundamentos de topología algebraica . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 270. Springer . pág. 20.
3. Hatcher (2002), Proposición 4H.1.
4. Marionetas (1967), Serie 1.
5. Hatcher (2002), Ejercicio 0.6.
6. Mardešiċ (1999), pág. 242.
7. Hu (1965), Proposición II.7.2.
8. Hu (1965), Corolario II.14.2 y Teorema II.3.1.
9. Hu (1965), Teorema III.8.1.
10. Mardešiċ (1999), pág. 245.
11. Fritsch y Piccinini (1990), Teorema 5.2.1.
12. Hu (1965), Teorema V.7.1.
13. Borsuk (1967), sección IV.4.
14. Borsuk (1967), Teorema V.11.1.
15. Fritsch y Piccinini (1990), Teorema 5.2.1.
16. Oeste (2004), pág. 119.
17. Hu (1965), Teorema VII.3.1 y Observación VII.2.3.
18. Cauty (1994), Fondo. Matemáticas. 144: 11–22.
19. Cauty (1994), Fondo. Matemáticas. 146: 85–99.

Referencias

• Borsuk, Karol (1931), "Sur les rétractes", Fundamenta Mathematicae , 17 : 152–170, doi : 10.4064/fm-17-1-152-170 , Zbl  0003.02701
• Borsuk, Karol (1967), Teoría de las retractaciones , Varsovia: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, MR  0216473
• Cauty, Robert (1994), "Une caractérisation des rétractes absolus de voisinage", Fundamenta Mathematicae , 144 : 11–22, doi : 10.4064/fm-144-1-11-22 , MR  1271475
• Cauty, Robert (1994), "Un espace métrique linéaire qui n'est pas un rétracte absolu", Fundamenta Mathematicae , 146 : 85–99, doi : 10.4064/fm-146-1-85-99 , SEÑOR  1305261
• Fritsch, Rudolf; Piccinini, Renzo (1990), Estructuras celulares en topología , Cambridge University Press , ISBN 0-521-32784-9, Sr.  1074175
• Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica, Cambridge University Press , ISBN 0-521-79540-0, Sr.  1867354
• Hu, Sze-Tsen (1965), Teoría de los retractos , Wayne State University Press, MR  0181977
• Mardešić, Sibe (1999), "Retractos de vecindad absoluta y teoría de la forma", en James, IM (ed.), History of Topology , Ámsterdam: Holanda Septentrional , pp. 241–269, ISBN 0-444-82375-1, Sr.  1674915
• May, J. Peter (1999), Un curso conciso de topología algebraica (PDF) , University of Chicago Press , ISBN 0-226-51182-0, Sr.  1702278
• Milnor, John (1959), "Sobre espacios que tienen el tipo de homotopía de un complejo CW", Transactions of the American Mathematical Society , 90 (2): 272–280, doi :10.2307/1993204, JSTOR  1993204, MR  0100267
• Puppe, Dieter (1967), "Bemerkungen über die Erweiterung von Homotopien", Archiv der Mathematik , 18 : 81–88, doi :10.1007/BF01899475, MR  0206954, S2CID  120021003
• West, James (2004), "Retractos absolutos", en Hart, KP (ed.), Enciclopedia de topología general , Ámsterdam: Elsevier , ISBN 0-444-50355-2, Sr.  2049453

Enlaces externos

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