Forma cuadrática definida

Tipo de polinomio homogéneo de grado 2

En matemáticas , una forma cuadrática definida es una forma cuadrática sobre algún espacio vectorial real V que tiene el mismo signo (siempre positivo o siempre negativo) para cada vector distinto de cero de V. Según ese signo, la forma cuadrática se llama definida positiva o definida negativa .

Una forma cuadrática semidefinida (o semidefinida) se define de manera muy similar, excepto que "siempre positiva" y "siempre negativa" se reemplazan por "nunca negativa" y "nunca positiva", respectivamente. En otras palabras, puede tomar valores cero para algunos vectores distintos de cero de V .

Una forma cuadrática indefinida toma valores tanto positivos como negativos y se denomina forma cuadrática isótropa .

De manera más general, estas definiciones se aplican a cualquier espacio vectorial sobre un campo ordenado . ^[1]

Forma bilineal simétrica asociada

Las formas cuadráticas corresponden bilineales simétricas en el mismo espacio. ^[2] Una forma bilineal simétrica también se describe como definida , semidefinida , etc. según su forma cuadrática asociada. Una forma cuadrática Q y su forma bilineal simétrica asociada B están relacionadas por las siguientes ecuaciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)&=B(x,x)\\B(x,y)&=B(y,x)={\tfrac {1}{2}}[Q(x+y)-Q(x)-Q(y)]~.\end{aligned}}}$

La última fórmula surge de la expansión ${\displaystyle \;Q(x+y)=B(x+y,x+y)~.}$

Ejemplos

Como ejemplo, sea , y considere la forma cuadrática ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}}$

donde y c ₁ y c ₂ son constantes. Si c ₁ > 0 y c ₂ > 0 , la forma cuadrática Q es definida positiva, por lo que Q se evalúa como un número positivo siempre que Si una de las constantes es positiva y la otra es 0, entonces Q es semidefinida positiva y siempre se evalúa como 0 o un número positivo. Si c ₁ > 0 y c ₂ < 0 , o viceversa, entonces Q es indefinida y a veces se evalúa como un número positivo y a veces como un número negativo. Si c ₁ < 0 y c ₂ < 0 , la forma cuadrática es definida negativa y siempre se evalúa como un número negativo siempre que Y si una de las constantes es negativa y la otra es 0, entonces Q es semidefinida negativa y siempre se evalúa como 0 o un número negativo. ${\displaystyle ~x=[x_{1},x_{2}]\in V}$ ${\displaystyle \;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.}$ ${\displaystyle \;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.}$

En general, una forma cuadrática en dos variables también implicará un término de producto vectorial en x ₁ · x ₂ :

${\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}+2c_{3}x_{1}x_{2}~.}$

Esta forma cuadrática es positiva-definida si y negativa-definida si y e indefinida si Es positiva o negativa semidefinida si con el signo de la semidefinición coincidiendo con el signo de ${\displaystyle \;c_{1}>0\;}$ ${\displaystyle \,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,}$ ${\displaystyle \;c_{1}<0\;}$ ${\displaystyle \,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,}$ ${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}<0~.}$ ${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0\;,}$ ${\displaystyle \;c_{1}~.}$

Esta forma cuadrática bivariada aparece en el contexto de secciones cónicas centradas en el origen. Si la forma cuadrática general anterior se iguala a 0, la ecuación resultante es la de una elipse si la forma cuadrática es positiva o negativamente definida, una hipérbola si es indefinida y una parábola si ${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0~.}$

El cuadrado de la norma euclidiana en el espacio n -dimensional, la medida de distancia más comúnmente utilizada, es

${\displaystyle {x_{1}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}~.}$

En dos dimensiones esto significa que la distancia entre dos puntos es la raíz cuadrada de la suma de las distancias al cuadrado a lo largo del eje y el eje. ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

Forma matricial

Una forma cuadrática se puede escribir en términos de matrices como

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}A\,x}$

donde x es cualquier vector cartesiano n × 1 en el que al menos un elemento no es 0; A es una matriz simétrica n × n ; y el superíndice ^T denota una matriz transpuesta . Si A es diagonal , esto es equivalente a una forma no matricial que contiene únicamente términos que involucran variables al cuadrado; pero si A tiene elementos no diagonales distintos de cero, la forma no matricial también contendrá algunos términos que involucran productos de dos variables diferentes. ${\displaystyle \;[x_{1},\cdots ,x_{n}]^{\mathsf {T}}\;}$

La definición positiva o negativa o semidefinición, o indefinición, de esta forma cuadrática es equivalente a la misma propiedad de A , que puede comprobarse considerando todos los valores propios de A o comprobando los signos de todos sus menores principales .

Mejoramiento

Las formas cuadráticas definidas se prestan fácilmente a problemas de optimización . Supongamos que la forma cuadrática matricial se amplía con términos lineales, como

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}A\,x+b^{\mathsf {T}}x\;,}$

donde b es un vector de constantes n × 1. Las condiciones de primer orden para un máximo o mínimo se encuentran fijando la derivada de la matriz en el vector cero:

${\displaystyle 2A\,x+b={\vec {0}}\;,}$

donación

${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{2}}\,A^{-1}b\;,}$

suponiendo que A no es singular . Si la forma cuadrática, y por lo tanto A , es definida positiva, se cumplen las condiciones de segundo orden para un mínimo en este punto. Si la forma cuadrática es definida negativa, se cumplen las condiciones de segundo orden para un máximo.

Un ejemplo importante de tal optimización surge en la regresión múltiple , en la que se busca un vector de parámetros estimados que minimice la suma de las desviaciones al cuadrado de un ajuste perfecto dentro del conjunto de datos.

Véase también

• Forma cuadrática isotrópica
• Función positiva definida
• Matriz positiva definida
• Identidad de polarización

Notas

1. Milnor y Husemoller 1973, pág. 61.
2. Esto es cierto sólo sobre un campo de característica distinta de 2, pero aquí consideramos sólo campos ordenados , que necesariamente tienen característica 0.

Referencias

• Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Aritmética de formas cuadráticas . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 106. Cambridge University Press. ISBN. 0-521-40475-4.Zbl 0785.11021  .
• Lang, Serge (2004), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (cuarta edición corregida, tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, pág. 578, ISBN 978-0-387-95385-4.
• Milnor, J .; Husemoller, D. (1973). Formas bilineales simétricas . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . vol. 73. Saltador. ISBN 3-540-06009-X.Zbl 0292.10016  .