Matriz defectuosa

Matriz no diagonalizable; uno que carece de una base de vectores propios

En álgebra lineal , una matriz defectuosa es una matriz cuadrada que no tiene una base completa de vectores propios y, por tanto, no es diagonalizable . En particular, una matriz es defectuosa si y sólo si no tiene vectores propios linealmente independientes . ^[1] Se forma una base completa aumentando los vectores propios con vectores propios generalizados , que son necesarios para resolver sistemas defectuosos de ecuaciones diferenciales ordinarias y otros problemas. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n}$

Una matriz defectuosa siempre tiene menos valores propios que distintos , ya que los valores propios distintos siempre tienen vectores propios linealmente independientes. En particular, una matriz defectuosa tiene uno o más valores propios con multiplicidad algebraica (es decir, son raíces múltiples del polinomio característico ), pero menos que los vectores propios linealmente independientes asociados con . Si la multiplicidad algebraica de excede su multiplicidad geométrica (es decir, el número de vectores propios linealmente independientes asociados con ), entonces se dice que es un valor propio defectuoso . ^[1] Sin embargo, cada valor propio con multiplicidad algebraica siempre tiene vectores propios generalizados linealmente independientes. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

Una matriz simétrica real y más generalmente una matriz hermitiana , y una matriz unitaria , nunca es defectuosa; De manera más general, una matriz normal (que incluye matrices hermitianas y unitarias como casos especiales) nunca es defectuosa.

bloque de jordania

Cualquier bloque Jordan no trivial de tamaño o mayor (es decir, que no sea completamente diagonal) es defectuoso. (Una matriz diagonal es un caso especial de la forma normal de Jordan con todos los bloques de Jordan triviales de tamaño y no es defectuosa). Por ejemplo, el bloque de Jordan ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda &1&\;&\;\\\;&\lambda &\ddots &\;\\\;&\;&\ddots &1\\\;&\;&\;&\lambda \end{bmatrix}},}$

tiene un valor propio , con multiplicidad algebraica (o mayor si hay otros bloques de Jordan con el mismo valor propio), pero solo un vector propio distinto , donde los otros vectores de base canónicos forman una cadena de vectores propios generalizados tal que para . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Jv_{1}=\lambda v_{1}}$ ${\displaystyle v_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}.}$ ${\displaystyle v_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{bmatrix}},~\ldots ,~v_{n}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle Jv_{k}=\lambda v_{k}+v_{k-1}}$ ${\displaystyle k=2,\ldots ,n}$

Cualquier matriz defectuosa tiene una forma normal de Jordan no trivial , que es lo más parecido a la diagonalización de dicha matriz.

Ejemplo

Un ejemplo simple de una matriz defectuosa es

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\0&3\end{bmatrix}},}$

que tiene un valor propio doble de 3 pero solo un vector propio distinto

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$

(y múltiplos constantes del mismo).

Ver también

• Forma normal de Jordan  : forma de una matriz que indica sus valores propios y sus multiplicidades algebraicas.

Notas

1. Golub y Van Loan (1996, p.316)

Referencias

• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Computaciones matriciales (3.ª ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press , ISBN 978-0-8018-5414-9
• Strang, Gilbert (1988). Álgebra lineal y sus aplicaciones (3ª ed.). San Diego: Harcourt. ISBN 978-970-686-609-7.