Matriz de Jordania

Matriz diagonal de bloques de Jordan

En la disciplina matemática de la teoría de matrices , una matriz de Jordan , llamada así en honor a Camille Jordan , es una matriz diagonal en bloques sobre un anillo R (cuyas identidades son el cero 0 y el uno 1), donde cada bloque a lo largo de la diagonal, llamado bloque de Jordan, tiene la siguiente forma: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&\lambda \end{bmatrix}}.}$$

Definición

Cada bloque de Jordan se especifica por su dimensión n y su valor propio , y se denota como J _{λ, n} . Es una matriz de ceros en todas partes excepto en la diagonal, que se rellena con y en la superdiagonal , que se compone de unos. ${\displaystyle \lambda \in R}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \lambda }$

Cualquier matriz diagonal de bloques cuyos bloques son bloques de Jordan se denomina matriz de Jordan . Esta matriz cuadrada ( n ₁ + ⋯ + n _r ) × ( n ₁ + ⋯ + n _r ) , que consta de r bloques diagonales, se puede indicar de forma compacta como o , donde el i -ésimo bloque de Jordan es J _{λ i , n i} . ${\displaystyle J_{\lambda _{1},n_{1}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{r},n_{r}}}$ ${\displaystyle \mathrm {diag} \left(J_{\lambda _{1},n_{1}},\ldots ,J_{\lambda _{r},n_{r}}\right)}$

Por ejemplo, la matriz es una matriz de Jordan de 10 × 10 con un bloque de 3 × 3 con valor propio 0 , dos bloques de 2 × 2 con valor propio la unidad imaginaria i y un bloque de 3 × 3 con valor propio 7. Su estructura de bloque de Jordan se escribe como o diag( J _0,3 , J _{i ,2} , J _{i ,} 2 , J _7,3 ) . $${\displaystyle J=\left[{\begin{array}{ccc|cc|cc|ccc}0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&i&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&i&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&i&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&i&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&7&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&7&1\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&7\end{array}}\right]}$$ ${\displaystyle J_{0,3}\oplus J_{i,2}\oplus J_{i,2}\oplus J_{7,3}}$

Álgebra lineal

Toda matriz cuadrada A de n × n cuyos elementos están en un cuerpo algebraicamente cerrado K es similar a una matriz de Jordan J , también en , que es única hasta una permutación de sus propios bloques diagonales. J se llama forma normal de Jordan de A y corresponde a una generalización del procedimiento de diagonalización. ^{[1] [2] [3]} Una matriz diagonalizable es similar, de hecho, a un caso especial de matriz de Jordan: la matriz cuyos bloques son todos 1 × 1 . ^{[4] [5] [6]} ${\displaystyle \mathbb {M} _{n}(K)}$

De manera más general, dada una matriz de Jordan , es decir, cuyo k ésimo bloque diagonal, , es el bloque de Jordan J _{λ k , m k} y cuyos elementos diagonales pueden no ser todos distintos, la multiplicidad geométrica de para la matriz J , indicada como , corresponde al número de bloques de Jordan cuyo valor propio es λ . Mientras que el índice de un valor propio para J , indicado como , se define como la dimensión del bloque de Jordan más grande asociado a ese valor propio. ${\displaystyle J=J_{\lambda _{1},m_{1}}\oplus J_{\lambda _{2},m_{2}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{N},m_{N}}}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq N}$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$ ${\displaystyle \lambda \in K}$ ${\displaystyle \operatorname {gmul} _{J}\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \operatorname {idx} _{J}\lambda }$

Lo mismo ocurre con todas las matrices A similares a J , por lo que se pueden definir en consecuencia con respecto a la forma normal de Jordan de A para cualquiera de sus valores propios . En este caso se puede comprobar que el índice de para A es igual a su multiplicidad como raíz del polinomio mínimo de A (mientras que, por definición, su multiplicidad algebraica para A , , es su multiplicidad como raíz del polinomio característico de A ; es decir, ). Una condición necesaria y suficiente equivalente para que A sea diagonalizable en K es que todos sus valores propios tengan índice igual a 1 ; es decir, su polinomio mínimo solo tiene raíces simples. ${\displaystyle \operatorname {idx} _{A}\lambda }$ ${\displaystyle \lambda \in \operatorname {spec} A}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \operatorname {mul} _{A}\lambda }$ ${\displaystyle \det(A-xI)\in K[x]}$

Obsérvese que conocer el espectro de una matriz con todas sus multiplicidades e índices algebraicos/geométricos no siempre permite calcular su forma normal de Jordan (esta puede ser una condición suficiente solo para matrices espectralmente simples, generalmente de baja dimensión). De hecho, determinar la forma normal de Jordan es generalmente una tarea computacionalmente desafiante. Desde el punto de vista del espacio vectorial , la forma normal de Jordan es equivalente a encontrar una descomposición ortogonal (es decir, a través de sumas directas de espacios propios representados por bloques de Jordan) del dominio para el cual los vectores propios generalizados asociados forman una base.

Funciones de matrices

Sea (es decir, una matriz compleja de n × n ) y la matriz de cambio de base a la forma normal de Jordan de A ; es decir, A = C ⁻¹ JC . Ahora sea f  ( z ) una función holomorfa en un conjunto abierto tal que ; es decir, el espectro de la matriz está contenido dentro del dominio de holomorfía de f . Sea la expansión en serie de potencias de f alrededor de , que de aquí en adelante se supondrá que es por simplicidad. La matriz f  ( A ) se define entonces mediante la siguiente serie de potencias formales y es absolutamente convergente con respecto a la norma euclidiana de . Para decirlo de otra manera, f  ( A ) converge absolutamente para cada matriz cuadrada cuyo radio espectral sea menor que el radio de convergencia de f alrededor de 0 y es uniformemente convergente en cualquier subconjunto compacto de que satisfaga esta propiedad en la topología del grupo de Lie de matrices . ${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle C\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathrm {spec} A\subset \Omega \subseteq \mathbb {C} }$ $${\displaystyle f(z)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}(z-z_{0})^{h}}$$ ${\displaystyle z_{0}\in \Omega \setminus \operatorname {spec} A}$ $${\displaystyle f(A)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}A^{h}}$$ ${\displaystyle \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$

La forma normal de Jordan permite el cálculo de funciones de matrices sin calcular explícitamente una serie infinita , lo que constituye uno de los principales logros de las matrices de Jordan. Utilizando los hechos de que la k -ésima potencia ( ) de una matriz de bloques diagonales es la matriz de bloques diagonales cuyos bloques son las k -ésimas potencias de los bloques respectivos; es decir, , y que A ^k = C ⁻¹ J ^k C , la serie de potencias de matrices anterior se convierte en ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \left(A_{1}\oplus A_{2}\oplus A_{3}\oplus \cdots \right)^{k}=A_{1}^{k}\oplus A_{2}^{k}\oplus A_{3}^{k}\oplus \cdots }$

$${\displaystyle f(A)=C^{-1}f(J)C=C^{-1}\left(\bigoplus _{k=1}^{N}f\left(J_{\lambda _{k},m_{k}}\right)\right)C}$$

donde la última serie no necesita calcularse explícitamente a través de series de potencias de cada bloque de Jordan. De hecho, si , cualquier función holomorfa de un bloque de Jordan tiene una serie de potencias finita alrededor porque . Aquí, es la parte nilpotente de y tiene todos los 0 excepto los 1 a lo largo de la superdiagonal. Por lo tanto, es la siguiente matriz triangular superior : ${\displaystyle \lambda \in \Omega }$ ${\displaystyle f(J_{\lambda ,n})=f(\lambda I+Z)}$ ${\displaystyle \lambda I}$ ${\displaystyle Z^{n}=0}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle Z^{k}}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$ $${\displaystyle f(J_{\lambda ,n})=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(\lambda )Z^{k}}{k!}}={\begin{bmatrix}f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&{\frac {f^{\prime \prime }(\lambda )}{2}}&\cdots &{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}&{\frac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}&{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\0&0&f(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-4)}(\lambda )}{(n-4)!}}&{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )\\0&0&0&\cdots &0&f(\lambda )\\\end{bmatrix}}.}$$

Como consecuencia de esto, el cálculo de cualquier función de una matriz es sencillo siempre que se conozcan su forma normal de Jordan y su matriz de cambio de base. Por ejemplo, utilizando , la inversa de es: ${\displaystyle f(z)=1/z}$ ${\displaystyle J_{\lambda ,n}}$ $${\displaystyle J_{\lambda ,n}^{-1}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-Z)^{k}}{\lambda ^{k+1}}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}&\,\,\,\lambda ^{-3}&\cdots &-(-\lambda )^{1-n}&\,-(-\lambda )^{-n}\\0&\;\;\;\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}&\cdots &-(-\lambda )^{2-n}&-(-\lambda )^{1-n}\\0&0&\,\,\,\lambda ^{-1}&\cdots &-(-\lambda )^{3-n}&-(-\lambda )^{2-n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}\\0&0&0&\cdots &0&\lambda ^{-1}\\\end{bmatrix}}.}$$

Además, spec  f ( A ) = f  (spec  A ) ; es decir, cada valor propio corresponde al valor propio , pero tiene, en general, diferentes multiplicidad algebraica , multiplicidad geométrica e índice. Sin embargo, la multiplicidad algebraica se puede calcular de la siguiente manera: ${\displaystyle \lambda \in \mathrm {spec} A}$ ${\displaystyle f(\lambda )\in \operatorname {spec} f(A)}$ $${\displaystyle {\text{mul}}_{f(A)}f(\lambda )=\sum _{\mu \in {\text{spec}}A\cap f^{-1}(f(\lambda ))}~{\text{mul}}_{A}\mu .}$$

La función f  ( T ) de una transformación lineal T entre espacios vectoriales puede definirse de forma similar según el cálculo funcional holomorfo , donde las teorías de espacios de Banach y de superficies de Riemann juegan un papel fundamental. En el caso de espacios de dimensión finita, ambas teorías coinciden perfectamente.

Sistemas dinámicos

Supongamos ahora que un sistema dinámico (complejo) se define simplemente mediante la ecuación $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {z} }}(t)&=A(\mathbf {c} )\mathbf {z} (t),\\\mathbf {z} (0)&=\mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n},\end{aligned}}}$$

donde es la parametrización de la curva ( n -dimensional) de una órbita en la superficie de Riemann del sistema dinámico, mientras que A ( c ) es una matriz compleja n × n cuyos elementos son funciones complejas de un parámetro d -dimensional . ${\displaystyle \mathbf {z} :\mathbb {R} _{+}\to {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} \in \mathbb {C} ^{d}}$

Incluso si (es decir, A depende continuamente del parámetro c ) la forma normal de Jordan de la matriz se deforma continuamente casi en todas partes en pero, en general, no en todas partes: hay alguna subvariedad crítica de en la que la forma de Jordan cambia abruptamente su estructura siempre que el parámetro la cruza o simplemente "viaja" alrededor de ella ( monodromía ). Tales cambios significan que varios bloques de Jordan (ya sea que pertenezcan a diferentes valores propios o no) se unen a un único bloque de Jordan, o viceversa (es decir, un bloque de Jordan se divide en dos o más bloques diferentes). Muchos aspectos de la teoría de la bifurcación para sistemas dinámicos continuos y discretos se pueden interpretar con el análisis de matrices de Jordan funcionales. ${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}\left(\mathrm {C} ^{0}\left(\mathbb {C} ^{d}\right)\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$

Desde la dinámica del espacio tangente , esto significa que la descomposición ortogonal del espacio de fases del sistema dinámico cambia y, por ejemplo, diferentes órbitas ganan periodicidad, o la pierden, o pasan de un cierto tipo de periodicidad a otro (como la duplicación del período , cf. mapa logístico ).

En una oración, el comportamiento cualitativo de tal sistema dinámico puede cambiar sustancialmente como la deformación transversal de la forma normal de Jordan de A ( c ) .

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales

El ejemplo más simple de un sistema dinámico es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, lineales y de coeficientes constantes, es decir, sean y : cuya solución directa en forma cerrada implica el cálculo de la matriz exponencial : ${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {z} }}(t)&=A\mathbf {z} (t),\\\mathbf {z} (0)&=\mathbf {z} _{0},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {z} (t)=e^{tA}\mathbf {z} _{0}.}$$

Otra forma, siempre que la solución esté restringida al espacio local de Lebesgue de campos vectoriales n -dimensionales , es utilizar su transformada de Laplace . En este caso ${\displaystyle \mathbf {z} \in \mathrm {L} _{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} _{+})^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} (s)={\mathcal {L}}[\mathbf {z} ](s)}$ $${\displaystyle \mathbf {Z} (s)=\left(sI-A\right)^{-1}\mathbf {z} _{0}.}$$

La función matricial ( A − sI ) ⁻¹ se denomina matriz resolvente del operador diferencial . Es meromórfica respecto del parámetro complejo puesto que sus elementos matriciales son funciones racionales cuyo denominador es igual para todos los det( A − sI ) . Sus singularidades polares son los valores propios de A , cuyo orden es igual a su índice para él; es decir, . ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}-A}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathrm {ord} _{(A-sI)^{-1}}\lambda =\mathrm {idx} _{A}\lambda }$

Véase también

• Descomposición de Jordania
• Forma normal de Jordania
• Cálculo funcional holomorfo
• Matriz exponencial
• Logaritmo de una matriz
• Sistema dinámico
• Teoría de la bifurcación
• Espacio de estados (controles)

Notas

1. Beauregard y Fraleigh (1973, págs. 310-316)
2. Golub y Van Loan (1996, pág. 317)
3. Nering (1970, págs. 118-127)
4. Beauregard y Fraleigh (1973, págs. 270-274)
5. Golub y Van Loan (1996, pág. 316)
6. Nering (1970, págs. 113-118)

Referencias

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), Un primer curso de álgebra lineal: con introducción opcional a grupos, anillos y campos , Boston: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Cálculos matriciales (3.ª ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press , ISBN 0-8018-5414-8
• Nering, Evar D. (1970), Álgebra lineal y teoría de matrices (2.ª ed.), Nueva York: Wiley , LCCN  76091646