Uniforma (geometría diferencial)

Forma diferencial de grado uno o sección de un paquete cotangente

En geometría diferencial , una forma única (o campo covector ) en una variedad diferenciable es una forma diferencial de grado uno, es decir, una sección suave del haz cotangente . ^[1] De manera equivalente, una forma única en una variedad es un mapeo suave del espacio total del haz tangente de cuya restricción a cada fibra es un funcional lineal en el espacio tangente. ^[2] Simbólicamente, ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \alpha :TM\rightarrow {\mathbb {R} },\quad \alpha _{x}=\alpha |_{T_{x}M}:T_{x}M\rightarrow {\mathbb {R} },}$$donde es lineal. ${\displaystyle \alpha _{x}}$

A menudo, las formas únicas se describen localmente , particularmente en coordenadas locales . En un sistema de coordenadas local, una forma única es una combinación lineal de los diferenciales de las coordenadas: donde son funciones suaves. Desde esta perspectiva, una forma única tiene una ley de transformación covariante al pasar de un sistema de coordenadas a otro. Por tanto, una forma única es un campo tensorial covariante de orden 1 . $${\displaystyle \alpha _{x}=f_{1}(x)\,dx_{1}+f_{2}(x)\,dx_{2}+\cdots +f_{n}(x)\,dx_{n},}$$ ${\displaystyle f_{i}}$

Ejemplos

La forma unidimensional diferencial no trivial más básica es la forma de "cambio de ángulo". Esta se define como la derivada de la "función" del ángulo (que sólo se define hasta una constante aditiva), que se puede definir explícitamente en términos de la función atan2 . Al tomar la derivada se obtiene la siguiente fórmula para la derivada total : Si bien la "función" del ángulo no se puede definir continuamente (la función atan2 es discontinua a lo largo del eje negativo), lo que refleja el hecho de que el ángulo no se puede definir continuamente, esta derivada se define continuamente. excepto en el origen, lo que refleja el hecho de que los cambios de ángulo infinitesimales (y de hecho locales) se pueden definir en todas partes excepto en el origen. Al integrar esta derivada a lo largo de una trayectoria se obtiene el cambio total de ángulo a lo largo de la trayectoria, y al integrarla en un circuito cerrado se obtiene el número de devanados multiplicado por ${\displaystyle d\theta .}$ ${\displaystyle \theta (x,y)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}d\theta &=\partial _{x}\left(\operatorname {atan2} (y,x)\right)dx+\partial _{y}\left(\operatorname {atan2} (y,x)\right)dy\\&=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 2\pi .}$

En el lenguaje de la geometría diferencial , esta derivada es una forma única en el plano perforado . Es cerrado (su derivada exterior es cero) pero no exacto , lo que significa que no es la derivada de una forma 0 (es decir, una función): el ángulo no es una función suave definida globalmente en todo el plano perforado. De hecho, esta forma genera la primera cohomología de De Rham del plano perforado. Este es el ejemplo más básico de tal forma y es fundamental en geometría diferencial. ${\displaystyle \theta }$

Diferencial de una función

Sea abierto (por ejemplo, un intervalo ), y consideremos una función diferenciable con derivada. La diferencial asigna a cada punto una aplicación lineal desde el espacio tangente a los números reales. En este caso, cada espacio tangente es naturalmente identificable con la recta numérica real, y el mapa lineal en cuestión está dado mediante una escala de Este es el ejemplo más simple de una forma (uni) diferencial. ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f'.}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle x_{0}\in U}$ ${\displaystyle T_{x_{0}}U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f'(x_{0}).}$

Ver también

• Forma diferencial  : expresión que puede integrarse en una región.
• Producto interno  : generalización del producto escalar; utilizado para definir espacios de HilbertPages displaying short descriptions of redirect targets
• Red recíproca  : transformada de Fourier de una red en el espacio real, importante en la física del estado sólido
• Tensor  – Objeto algebraico con aplicaciones geométricas

Referencias

1. "2 Introducción a la geometría diferencial ‣ Relatividad general por David Tong". www.damtp.cam.ac.uk . Consultado el 4 de octubre de 2022 .
2. McInerney, Andrew (9 de julio de 2013). Primeros pasos en geometría diferencial: riemanniana, de contacto, simpléctica. Medios de ciencia y negocios de Springer. págs. 136-155. ISBN 978-1-4614-7732-7.