Transporte Fermi-Walker

Técnica matemática en relatividad general.

El transporte de Fermi-Walker es un proceso en relatividad general que se utiliza para definir un sistema de coordenadas o marco de referencia de modo que toda curvatura en el marco se deba a la presencia de densidad de masa/energía y no a un giro o rotación arbitraria del marco. Fue descubierto por Fermi en 1921 y redescubierto por Walker en 1932. ^[1]

Diferenciación de Fermi-Walker

En la teoría de las variedades de Lorentz , la diferenciación de Fermi-Walker es una generalización de la diferenciación covariante . En la relatividad general, las derivadas de Fermi-Walker de los campos vectoriales espaciales en un campo de marco, tomadas con respecto al campo de vector unitario temporal en el campo de marco, se utilizan para definir marcos no inerciales y no giratorios, estipulando que Fermi –Los derivados de Walker deberían desaparecer. En el caso especial de marcos inerciales , las derivadas de Fermi-Walker se reducen a derivadas covariantes.

Con una convención de signos, esto se define para un campo vectorial X a lo largo de una curva : ${\displaystyle (-+++)}$ ${\displaystyle \gamma (s)}$

${\displaystyle {\frac {D_{F}X}{ds}}={\frac {DX}{ds}}-\left(X,{\frac {DV}{ds}}\right)V+(X,V){\frac {DV}{ds}},}$

donde V es cuatro velocidades, D es la derivada covariante y es el producto escalar. Si ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle {\frac {D_{F}X}{ds}}=0,}$

entonces el campo vectorial X es transportado por Fermi-Walker a lo largo de la curva. ^[2] Vectores perpendiculares al espacio de cuatro velocidades en el espacio-tiempo de Minkowski , por ejemplo, vectores de polarización, bajo la experiencia de transporte de Fermi-Walker, precesión de Thomas .

Utilizando la derivada de Fermi, la ecuación de Bargmann-Michel-Telegdi ^[3] para la precesión de espín de un electrón en un campo electromagnético externo se puede escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {D_{F}a^{\tau }}{ds}}=2\mu (F^{\tau \lambda }-u^{\tau }u_{\sigma }F^{\sigma \lambda })a_{\lambda },}$

donde y son los cuatro vectores de polarización y el momento magnético , son las cuatro velocidades del electrón,, y es el tensor de intensidad del campo electromagnético . El lado derecho describe la precesión de Larmor . ${\displaystyle a^{\tau }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle u^{\tau }}$ ${\displaystyle a^{\tau }a_{\tau }=-u^{\tau }u_{\tau }=-1}$ ${\displaystyle u^{\tau }a_{\tau }=0}$ ${\displaystyle F^{\tau \sigma }}$

Sistemas de coordenadas co-móviles

Se puede definir un sistema de coordenadas que se mueve conjuntamente con una partícula. Si tomamos el vector unitario como que define un eje en el sistema de coordenadas en co-movimiento, entonces se dice que cualquier sistema que se transforma en el tiempo adecuado está experimentando transporte de Fermi-Walker. ^[4] ${\displaystyle v^{\mu }}$

Diferenciación generalizada de Fermi-Walker

La diferenciación de Fermi-Walker se puede extender a cualquier lugar (es decir, no a un vector similar a la luz ). Esto se define para un campo vectorial a lo largo de una curva : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (V,V)\neq 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \gamma (s)}$

${\displaystyle {\frac {{\mathcal {D}}X}{ds}}={\frac {DX}{ds}}+\left(X,{\frac {DV}{ds}}\right){\frac {V}{(V,V)}}-{\frac {(X,V)}{(V,V)}}{\frac {DV}{ds}}-\left(V,{\frac {DV}{ds}}\right){\frac {(X,V)}{(V,V)^{2}}}V,}$^[5]

Excepto el último término, que es nuevo, y causado básicamente por la posibilidad de que no sea constante, se puede derivar tomando la ecuación anterior, y dividiendo cada una por . ${\displaystyle (V,V)}$ ${\displaystyle V^{2}}$ ${\displaystyle (V,V)}$

Si , entonces recuperamos la diferenciación de Fermi-Walker: ${\displaystyle (V,V)=-1}$

${\displaystyle \left(V,{\frac {DV}{ds}}\right)={\frac {1}{2}}{\frac {d}{ds}}(V,V)=0\ ,}$y ${\displaystyle {\frac {{\mathcal {D}}X}{ds}}={\frac {D_{F}X}{ds}}.}$

Ver también

• Introducción básica a las matemáticas del espacio-tiempo curvo.
• Enrico Fermi
• Arthur Geoffrey Walker
• Transición de la mecánica newtoniana a la relatividad general

Notas

1. Bini, Donato; Jantzen, Robert T. (2002). "Holonomía circular, efectos de reloj y gravitoelectromagnetismo: todavía dando vueltas en círculos después de todos estos años". Nuevo Cimento B. 117 (9–11): 983–1008. arXiv : gr-qc/0202085 .
2. Hawking y Ellis 1973, pág. 80
3. Bargmann, Michel y Telegdi 1959
4. Misner, Thorne y Wheeler 1973, pág. 170
5. Kocharyan, AA (2004). "Geometría de sistemas dinámicos". arXiv : astro-ph/0411595 .

Referencias

• Bargmann, V .; Michel, L.; Telegdi, VL (1959). "Precesión de la polarización de partículas que se mueven en un campo electromagnético homogéneo". Cartas de revisión física . 2 (10): 435. Código bibliográfico : 1959PhRvL...2..435B. doi :10.1103/PhysRevLett.2.435..
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (2002) [1939]. La teoría clásica de los campos . Curso de Física Teórica. vol. 2 (4ª ed.). Butterworth-Heinemann . ISBN 0-7506-2768-9.
• Misner, Charles W .; Thorne, Kip S .; Wheeler, John A. (1973). Gravitación . WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• Hawking, Stephen W .; Ellis, George FR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-09906-4.
• Kocharyan, AA (2004). "Geometría de sistemas dinámicos". arXiv : astro-ph/0411595 .