En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , los grupos de Conway son los tres grupos simples esporádicos Co 1 , Co 2 y Co 3 junto con el grupo finito relacionado Co 0 introducido por ( Conway 1968, 1969).
El mayor de los grupos de Conway, Co 0 , es el grupo de automorfismos de la red Leech Λ con respecto a la adición y al producto interno . Tiene orden
pero no es un grupo simple. El grupo simple Co 1 de orden
se define como el cociente de Co 0 por su centro , que consta de las matrices escalares ±1. Los grupos Co 2 de orden
y Co 3 de orden
consisten en los automorfismos de Λ que fijan un vector reticular de tipo 2 y tipo 3, respectivamente. Como el escalar −1 no fija ningún vector distinto de cero, estos dos grupos son isomorfos a subgrupos de Co 1 .
El producto interno de la red de Leech se define como 1/8 de la suma de los productos de las coordenadas respectivas de los dos vectores multiplicandos; es un entero. La norma cuadrada de un vector es su producto interno consigo mismo, siempre un entero par. Es común hablar del tipo de un vector de la red de Leech: la mitad de la norma cuadrada. Los subgrupos se nombran a menudo en referencia a los tipos de puntos fijos relevantes. Esta red no tiene vectores de tipo 1.
Thomas Thompson (1983) relata cómo, alrededor de 1964, John Leech investigó empaquetamientos compactos de esferas en espacios euclidianos de gran dimensión. Uno de los descubrimientos de Leech fue un empaquetamiento reticular en el espacio de 24, basado en lo que llegó a llamarse la red de Leech Λ. Se preguntó si el grupo de simetría de su red contenía un grupo simple interesante, pero sintió que necesitaba la ayuda de alguien más familiarizado con la teoría de grupos. Tuvo que preguntar mucho porque los matemáticos estaban preocupados con sus propias agendas. John Conway aceptó estudiar el problema. John G. Thompson dijo que estaría interesado si se le daba el orden del grupo. Conway esperaba pasar meses o años en el problema, pero encontró resultados en solo unas pocas sesiones.
Witt (1998, página 329) afirmó que encontró la red Leech en 1940 e insinuó que calculó el orden de su grupo de automorfismo Co 0 .
Conway comenzó su investigación de Co 0 con un subgrupo que llamó N , un holomorfo del código binario Golay (extendido) (como matrices diagonales con 1 o −1 como elementos diagonales) por el grupo Mathieu M 24 (como matrices de permutación ). N ≈ 2 12 :M 24 .
Una representación estándar , utilizada a lo largo de este artículo, del código binario Golay organiza las 24 coordenadas de modo que 6 bloques consecutivos (tétradas) de 4 constituyen un sexteto .
Las matrices de Co 0 son ortogonales , es decir, dejan invariante el producto interno. La inversa es la transpuesta . Co 0 no tiene matrices de determinante −1.
La red Leech se puede definir fácilmente como el módulo Z generado por el conjunto Λ 2 de todos los vectores de tipo 2, que consiste en
y sus imágenes bajo N . Λ 2 bajo N cae en 3 órbitas de tamaños 1104, 97152 y 98304 . Entonces | Λ 2 | =196,560 = 2 4 ⋅3 3 ⋅5⋅7⋅13 . Conway sospechaba firmemente que Co 0 era transitivo en Λ 2 , y de hecho encontró una nueva matriz, no monomial ni una matriz entera.
Sea η la matriz de 4 por 4
Sea ahora ζ una suma en bloque de 6 matrices: números impares cada uno de η y − η . [1] [2] ζ es una matriz simétrica y ortogonal, por lo tanto una involución . Algunos experimentos muestran que intercambia vectores entre diferentes órbitas de N .
Para calcular |Co 0 | es mejor considerar Λ 4 , el conjunto de vectores de tipo 4. Cualquier vector de tipo 4 es uno de exactamente 48 vectores de tipo 4 congruentes entre sí módulo 2Λ, que caen en 24 pares ortogonales { v , – v }. Un conjunto de 48 de estos vectores se llama marco o cruz . N tiene como órbita un marco estándar de 48 vectores de forma (±8, 0 23 ). El subgrupo que fija un marco dado es un conjugado de N . El grupo 2 12 , isomorfo al código de Golay, actúa como cambios de signo en los vectores del marco, mientras que M 24 permuta los 24 pares del marco. Se puede demostrar que Co 0 es transitivo en Λ 4 . Conway multiplicó el orden 2 12 |M 24 | de N por el número de marcos, siendo este último igual al cociente | Λ 4 |/48 =8.252.375 = 3 6 ⋅5 3 ⋅7⋅13 . Ese producto es el orden de cualquier subgrupo de Co 0 que contenga apropiadamente a N ; por lo tanto, N es un subgrupo maximal de Co 0 y contiene 2 subgrupos de Sylow de Co 0 . N también es el subgrupo en Co 0 de todas las matrices con componentes enteros.
Como Λ incluye vectores de la forma (±8, 0 23 ) , Co 0 consiste en matrices racionales cuyos denominadores son todos divisores de 8.
La representación no trivial más pequeña de Co 0 sobre cualquier campo es la de 24 dimensiones que proviene de la red Leech, y es fiel sobre campos de características distintas de 2.
Se puede demostrar que cualquier involución en Co 0 es conjugada con un elemento del código de Golay. Co 0 tiene 4 clases de conjugación de involuciones.
Se puede demostrar que una matriz de permutación de forma 2 12 es conjugada a un dodecaedro . Su centralizador tiene la forma 2 12 :M 12 y tiene conjugados dentro del subgrupo monomial. Cualquier matriz en esta clase de conjugación tiene traza 0.
Se puede demostrar que una matriz de permutación de forma 2 8 1 8 es conjugada a una octada ; tiene traza 8. Esta y su negativa (traza −8) tienen un centralizador común de la forma (2 1+8 ×2).O 8 + (2) , un subgrupo maximal en Co 0 .
Conway y Thompson descubrieron que cuatro grupos simples esporádicos recientemente descubiertos, descritos en actas de conferencias (Brauer y Sah 1969), eran isomorfos a subgrupos o cocientes de subgrupos de Co 0 .
El propio Conway empleó una notación para los estabilizadores de puntos y subespacios en la que anteponía un punto. Excepcionales fueron .0 y .1 , siendo Co 0 y Co 1. Para un entero n ≥ 2 , sea .n el estabilizador de un punto de tipo n (véase más arriba) en la red Leech.
Conway nombró entonces estabilizadores de planos definidos por triángulos que tienen como vértice el origen. Sea .hkl el estabilizador puntual de un triángulo con aristas (diferencias de vértices) de tipos h , k y l . El triángulo se denomina comúnmente triángulo hkl . En los casos más simples, Co 0 es transitivo en los puntos o triángulos en cuestión y se definen grupos estabilizadores hasta la conjugación.
Conway identificó el .322 con el grupo McLaughlin McL (orden898.128.000 ) y .332 con el grupo Higman-Sims HS (orden44.352.000 ); ambos habían sido descubiertos recientemente.
A continuación se muestra una tabla [3] [4] de algunos grupos de subredes:
Se pueden definir dos subgrupos esporádicos como cocientes de estabilizadores de estructuras en la red Leech. Identificando R 24 con C 12 y Λ con
El grupo de automorfismos resultante (es decir, el grupo de automorfismos reticulares de Leech que preservan la estructura compleja ) cuando se divide por el grupo de seis elementos de matrices escalares complejas, da el grupo de Suzuki Suz (orden448.345.497.600 ). Este grupo fue descubierto por Michio Suzuki en 1968.
Una construcción similar da el grupo Hall-Janko J 2 (orden604.800 ) como el cociente del grupo de automorfismos cuaterniónicos de Λ por el grupo ±1 de escalares.
Los siete grupos simples descritos anteriormente comprenden lo que Robert Griess llama la segunda generación de la Familia Feliz , que consiste en los 20 grupos simples esporádicos que se encuentran dentro del grupo Monstruo . Varios de los siete grupos contienen al menos algunos de los cinco grupos Mathieu , que comprenden la primera generación .
Co 0 tiene 4 clases de conjugación de elementos de orden 3. En M 24 un elemento de forma 3 8 genera un grupo normal en una copia de S 3 , que conmuta con un subgrupo simple de orden 168. Un producto directo PSL(2,7) × S 3 en M 24 permuta las óctadas de un trío y permuta 14 matrices diagonales dodecadales en el subgrupo monomial. En Co 0 este normalizador monomial 2 4 :PSL(2,7) × S 3 se expande a un subgrupo maximal de la forma 2.A 9 × S 3 , donde 2.A 9 es la doble cobertura del grupo alternado A 9 .
John Thompson señaló que sería fructífero investigar los normalizadores de subgrupos más pequeños de la forma 2.A n (Conway 1971, p. 242). De esta manera se encuentran varios otros subgrupos máximos de Co 0. Además, aparecen dos grupos esporádicos en la cadena resultante.
Existe un subgrupo 2.A 8 × S 4 , el único de esta cadena no maximalista en Co 0 . A continuación está el subgrupo (2.A 7 × PSL 2 (7)):2 . A continuación viene (2.A 6 × SU 3 (3)):2 . El grupo unitario SU 3 (3) (orden6,048 ) posee un grafo de 36 vértices, en previsión del siguiente subgrupo. Ese subgrupo es (2.A 5 o 2.HJ):2 , en el que hace su aparición el grupo Hall–Janko HJ. El grafo antes mencionado se expande al grafo Hall–Janko , con 100 vértices. A continuación viene (2.A 4 o 2.G 2 (4)):2 , siendo G 2 (4) un grupo excepcional de tipo Lie .
La cadena termina en 6.Suz:2 (Suz= grupo esporádico de Suzuki ), que, como se mencionó anteriormente, respeta una representación compleja del Leech Lattice.
Conway y Norton sugirieron en su artículo de 1979 que la luz de luna monstruosa no se limita al monstruo. Larissa Queen y otros descubrieron posteriormente que se pueden construir las expansiones de muchos Hauptmoduln a partir de combinaciones simples de dimensiones de grupos esporádicos. Para los grupos de Conway, la serie McKay-Thompson relevante es = {1, 0, 276,−2,048 ,11,202 ,−49,152 , ...} ( OEIS : A007246 ) y = {1, 0, 276,2,048 ,11,202 ,49,152 , ...} ( OEIS : A097340 ) donde se puede establecer el término constante a(0) = 24 ,
y η ( τ ) es la función eta de Dedekind .
![{\displaystyle \mathbf {Z} \left[e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right]^{12},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326324564b54ab185c9ca6f223a4212452d85ba6)
