Modelo de primer golpe

Subclase de modelos de supervivencia.

De manera más coloquial, el tiempo de primer paso en un sistema estocástico es el tiempo que tarda una variable de estado en alcanzar un determinado valor. Comprender esta métrica permite comprender mejor el sistema físico observado y, como tal, ha sido tema de investigación en campos muy diversos, desde la economía hasta la ecología . ^[1]

La idea de que un primer tiempo de paso de un proceso estocástico podría describir el tiempo hasta que ocurre un evento tiene una larga historia, comenzando con un interés en el primer tiempo de paso de los procesos de difusión de Wiener en economía y luego en física a principios del siglo XX. ^{[2] [3] [4]} Modelar la probabilidad de ruina financiera como un primer paso fue una de las primeras aplicaciones en el campo de los seguros. ^[5] Entre mediados y finales del siglo XX apareció de manera constante un interés en las propiedades matemáticas de los tiempos del primer impacto y en los modelos y métodos estadísticos para el análisis de datos de supervivencia. ^{[6] [7] [8] [9] [10]}

Ejemplos

Un ejemplo común de un modelo de primer golpe es un problema de ruina , como la ruina del jugador . En este ejemplo, una entidad (a menudo descrita como un jugador o una compañía de seguros) tiene una cantidad de dinero que varía aleatoriamente con el tiempo, posiblemente con cierta variación . El modelo considera el evento que la cantidad de dinero llegue a 0, representando la quiebra. El modelo puede responder preguntas como la probabilidad de que esto ocurra en un tiempo finito, o el tiempo medio hasta el cual ocurre.

Los modelos de primer impacto se pueden aplicar a la vida útil esperada de pacientes o dispositivos mecánicos. Cuando el proceso alcanza por primera vez un estado umbral adverso, el paciente muere o el dispositivo se estropea.

Marcello Minenna ha desarrollado una aplicación financiera de la probabilidad del primer impacto para calcular el horizonte temporal mínimo de inversión. ^{[11] [12]}

Primer tiempo de paso de una partícula browniana 1D

Uno de los sistemas estocásticos más simples y omnipresentes es el de la partícula browniana en una dimensión. Este sistema describe el movimiento de una partícula que se mueve estocásticamente en un espacio unidimensional, con igual probabilidad de moverse hacia la izquierda o hacia la derecha. Dado que el movimiento browniano se utiliza a menudo como herramienta para comprender fenómenos más complejos, es importante comprender la probabilidad de que un primer tiempo de paso de la partícula browniana alcance alguna posición distante de su ubicación inicial. Esto se realiza a través de los siguientes medios.

La función de densidad de probabilidad (PDF) para una partícula en una dimensión se encuentra resolviendo la ecuación de difusión unidimensional . (Esta ecuación establece que la densidad de probabilidad de posición se difunde hacia afuera con el tiempo. Es análogo a decir crema en una taza de café si inicialmente toda la crema estaba contenida en un lugar pequeño. Después de mucho tiempo, la crema se ha difundido por toda la bebida. uniformemente.) Es decir,

${\displaystyle {\frac {\partial p(x,t\mid x_{0})}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}p(x,t\mid x_{0})}{\partial x^{2}}},}$

dada la condición inicial ; donde es la posición de la partícula en un momento dado, es la posición inicial de la partícula marcada y es la constante de difusión con las unidades SI (una medida indirecta de la velocidad de la partícula). La barra en el argumento de la probabilidad instantánea se refiere a la probabilidad condicional. La ecuación de difusión establece que la tasa de cambio a lo largo del tiempo en la probabilidad de encontrar la partícula en la posición depende de la desaceleración a lo largo de la distancia de dicha probabilidad en esa posición. ${\displaystyle p(x,t={0}\mid x_{0})=\delta (x-x_{0})}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle m^{2}s^{-1}}$ ${\displaystyle x(t)}$

Se puede demostrar que el PDF unidimensional es

${\displaystyle p(x,t;x_{0})={\frac {1}{\sqrt {4\pi Dt}}}\exp \left(-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{4Dt}}\right).}$

Esto establece que la probabilidad de encontrar la partícula es gaussiana y que el ancho de la partícula gaussiana depende del tiempo. Más específicamente, el Ancho Completo a la Mitad del Máximo (FWHM) – técnicamente, esto es en realidad la Duración Completa a la Mitad del Máximo ya que la variable independiente es el tiempo – escalas como ${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle {\rm {FWHM}}\sim {\sqrt {t}}.}$

Usando el PDF se puede derivar el promedio de una función dada, en el momento : ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \langle L(t)\rangle \equiv \int _{-\infty }^{\infty }L(x,t)p(x,t)\,dx,}$

donde el promedio se toma sobre todo el espacio (o cualquier variable aplicable).

La densidad de tiempo del primer paso (FPTD) es la probabilidad de que una partícula haya alcanzado por primera vez un punto exactamente en el tiempo (no en algún momento durante el intervalo hasta ). Esta densidad de probabilidad se puede calcular a partir de la probabilidad de supervivencia (una medida de probabilidad más común en estadística). Considere la condición de frontera absorbente (el subíndice c para el punto de absorción es una abreviatura de acantilado utilizada en muchos textos como analogía de un punto de absorción). La PDF que satisface esta condición de contorno está dada por ${\displaystyle x_{c}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle p(x_{c},t)=0}$ ${\displaystyle x_{c}}$

${\displaystyle p(x,t;x_{0},x_{c})={\frac {1}{\sqrt {4\pi Dt}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{4Dt}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x-(2x_{c}-x_{0}))^{2}}{4Dt}}\right)\right),}$

para . La probabilidad de supervivencia, la probabilidad de que la partícula haya permanecido en una posición todo el tiempo hasta , está dada por ${\displaystyle x<x_{c}}$ ${\displaystyle x<x_{c}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle S(t)\equiv \int _{-\infty }^{x_{c}}p(x,t;x_{0},x_{c})\,dx=\operatorname {erf} \left({\frac {x_{c}-x_{0}}{2{\sqrt {Dt}}}}\right),}$

¿ Dónde está la función de error ? La relación entre la probabilidad de supervivencia y el FPTD es la siguiente: la probabilidad de que una partícula haya alcanzado el punto de absorción entre tiempos y es . Si se utiliza la aproximación de Taylor de primer orden, la definición de FPTD es la siguiente): ${\displaystyle \operatorname {erf} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t+dt}$ ${\displaystyle f(t)\,dt=S(t)-S(t+dt)}$

${\displaystyle f(t)=-{\frac {\partial S(t)}{\partial t}}.}$

Usando la ecuación de difusión e integrando, el FPTD explícito es

${\displaystyle f(t)\equiv {\frac {|x_{c}-x_{0}|}{\sqrt {4\pi Dt^{3}}}}\exp \left(-{\frac {(x_{c}-x_{0})^{2}}{4Dt}}\right).}$

Por tanto, el tiempo de primer paso de una partícula browniana sigue una distribución de Lévy .

Porque de lo anterior se deduce que ${\displaystyle t\gg {\frac {(x_{c}-x_{0})^{2}}{4D}}}$

${\displaystyle f(t)={\frac {\Delta x}{\sqrt {4\pi Dt^{3}}}}\sim t^{-3/2},}$

dónde . Esta ecuación establece que la probabilidad de que una partícula browniana logre un primer paso en un tiempo prolongado (definido en el párrafo anterior) se vuelve cada vez más pequeña, pero siempre finita . ${\displaystyle \Delta x\equiv |x_{c}-x_{0}|}$

El primer momento del FPTD diverge (ya que es la llamada distribución de cola pesada ), por lo tanto no se puede calcular el FPT promedio, por lo que se puede calcular el tiempo típico , el momento en que el FPTD está en su máximo ( ) , es decir, ${\displaystyle \partial f/\partial t=0}$

${\displaystyle \tau _{\rm {ty}}={\frac {\Delta x^{2}}{6D}}.}$

Aplicaciones de primera vez en muchas familias de procesos estocásticos

Los tiempos del primer impacto son características centrales de muchas familias de procesos estocásticos, incluidos los procesos de Poisson , los procesos de Wiener , los procesos gamma y las cadenas de Markov , por nombrar sólo algunos. El estado del proceso estocástico puede representar, por ejemplo, la fortaleza de un sistema físico, la salud de un individuo o la situación financiera de una empresa comercial. El sistema, individuo o empresa, falla o experimenta algún otro punto final crítico cuando el proceso alcanza un estado umbral por primera vez. El evento crítico puede ser un evento adverso (como falla del equipo, insuficiencia cardíaca congestionada o cáncer de pulmón) o un evento positivo (como recuperación de una enfermedad, alta hospitalaria, parto o regreso al trabajo después de una lesión traumática). El lapso de tiempo hasta que ocurre ese evento crítico suele interpretarse genéricamente como un 'tiempo de supervivencia'. En algunas aplicaciones, el umbral es un conjunto de múltiples estados, por lo que se consideran los primeros tiempos de impacto para alcanzar el primer umbral del conjunto, como es el caso cuando se consideran causas en competencia de falla en el equipo o muerte de un paciente.

Regresión de umbral: regresión al primer golpe

Las aplicaciones prácticas de modelos teóricos para los primeros tiempos de golpe a menudo implican estructuras de regresión . Cuando los modelos de tiempo que llegan por primera vez están equipados con estructuras de regresión que se adaptan a datos de covariables, a dicha estructura de regresión la llamamos regresión umbral . ^[13] El estado umbral, los parámetros del proceso e incluso la escala de tiempo pueden depender de las covariables correspondientes. La regresión de umbral aplicada a los datos de tiempo hasta el evento ha surgido desde principios de este siglo y ha crecido rápidamente, como se describe en un artículo de encuesta de 2006 ^[13] y sus referencias. ^{En [14]} se investigaron las conexiones entre los modelos de regresión de umbral derivados de los primeros tiempos de acierto y el omnipresente modelo de regresión de riesgos proporcionales de Cox . ^[15] Las aplicaciones de la regresión de umbral varían en muchos campos, incluidas las ciencias físicas y naturales, la ingeniería, las ciencias sociales y la economía. y negocios, agricultura, salud y medicina. ^{[16] [17] [18] [19] [20]}

Latente vs observable

En muchas aplicaciones del mundo real, un modelo de tiempo de primer impacto (FHT) tiene tres componentes subyacentes: (1) un proceso estocástico principal , que puede estar latente, (2) un umbral (o barrera) y (3) un tiempo . escala . El primer tiempo de impacto se define como el momento en que el proceso estocástico alcanza por primera vez el umbral. Es muy importante distinguir si la ruta de muestra del proceso principal es latente (es decir, no observable) u observable, y dicha distinción es una característica del modelo FHT. Con diferencia, los procesos latentes son los más comunes. Para dar un ejemplo, podemos utilizar un proceso de Wiener como proceso estocástico principal. Este proceso de Wiener se puede definir con el parámetro medio , el parámetro de varianza y el valor inicial . ${\displaystyle \{X(t)\}\,\,}$ ${\displaystyle \{X(t),t\geq 0\,\}\,}$ ${\displaystyle {\mu }\,\,}$ ${\displaystyle {\sigma ^{2}}\,\,}$ ${\displaystyle X(0)=x_{0}>0\,}$

Escala de tiempo operativa o analítica

La escala de tiempo del proceso estocástico puede ser el tiempo del calendario o del reloj o alguna medida más operativa de la progresión del tiempo, como el kilometraje de un automóvil, el desgaste acumulado de un componente de una máquina o la exposición acumulada a vapores tóxicos. En muchas aplicaciones, el proceso estocástico que describe el estado del sistema es latente o no observable y sus propiedades deben inferirse indirectamente a partir de datos censurados de tiempo hasta el evento y/o lecturas tomadas a lo largo del tiempo en procesos correlacionados, como los procesos de marcadores. La palabra "regresión" en la regresión de umbral se refiere a modelos de primer impacto en los que se insertan una o más estructuras de regresión en el modelo para conectar los parámetros del modelo con variables explicativas o covariables. Los parámetros dados en las estructuras de regresión pueden ser parámetros del proceso estocástico, el estado umbral y/o la propia escala de tiempo.

Ver también

• Análisis de supervivencia
• Modelos de riesgos proporcionales

Referencias

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2. Bachelier, L. Théorie de la especulación. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Serie 3, Volumen 17 (1900), págs. 21-86. doi: 10.24033/asens.476. http://www.numdam.org/articles/10.24033/asens.476/
3. De E 1900
4. Smoluchowski 1915
5. Lundberg, F. (1903) Aproximerad Framställning av Sannolikehetsfunktionen, Återförsäkering av Kollektivrisker, Almqvist & Wiksell, Uppsala.
6. Tweedie 1945
7. Tweedie 1957-1
8. Tweedie 1957–2
9. Whitmore 1970
10. Lancaster 1972
11. "Resumen ampliado".
12. "Un marco cuantitativo para evaluar el perfil riesgo-recompensa de productos no accionarios".
13. Lee 2006
14. Cox 1972
15. Lee 2010
16. Aarón 2010
17. Chambaz 2014
18. Aarón 2015
19. Él 2015
20. Hou 2016

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