En filosofía , una supertarea es una secuencia infinitamente contable de operaciones que ocurren secuencialmente dentro de un intervalo finito de tiempo. [1] Las supertareas se denominan hipertareas cuando el número de operaciones se vuelve incontablemente infinito . Una hipertarea que incluye una tarea para cada número ordinal se denomina ultratarea . [2] El término "supertarea" fue acuñado por el filósofo James F. Thomson , quien ideó la lámpara de Thomson . El término "hipertarea" deriva de Clark y Read en su artículo con ese nombre. [3]
El origen del interés por las supertareas se atribuye normalmente a Zenón de Elea . Zenón afirmaba que el movimiento era imposible . Argumentaba lo siguiente: supongamos que nuestro floreciente "motor", digamos Aquiles, desea moverse de A a B. Para lograrlo debe recorrer la mitad de la distancia de A a B. Para llegar desde el punto medio de AB a B, Aquiles debe recorrer la mitad de esta distancia, y así sucesivamente. Por muchas veces que realice una de estas tareas de "recorrer", le queda otra por hacer antes de llegar a B. Por lo tanto, según Zenón, se deduce que el movimiento (recorrer una distancia distinta de cero en un tiempo finito) es una supertarea. Zenón argumenta además que las supertareas no son posibles (¿cómo puede completarse esta secuencia si por cada recorrido hay otro por venir?). De ello se deduce que el movimiento es imposible.
El argumento de Zenón toma la siguiente forma:
La mayoría de los filósofos posteriores rechazan la audaz conclusión de Zenón en favor del sentido común. En cambio, invierten el argumento y lo toman como una prueba por contradicción donde se da por sentada la posibilidad del movimiento. Aceptan la posibilidad del movimiento y aplican el modus tollens ( contrapositivo ) al argumento de Zenón para llegar a la conclusión de que el movimiento no es una supertarea o no todas las supertareas son imposibles. [ cita requerida ]
El propio Zenón también analiza la noción de lo que él llama " Aquiles y la tortuga". Supongamos que Aquiles es el corredor más rápido y se mueve a una velocidad de 1 m/s. Aquiles persigue a una tortuga, un animal conocido por ser lento, que se mueve a 0,1 m/s. Sin embargo, la tortuga comienza 0,9 metros por delante. El sentido común parece decretar que Aquiles alcanzará a la tortuga después de exactamente 1 segundo, pero Zenón argumenta que este no es el caso. En cambio, sugiere que Aquiles debe llegar inevitablemente al punto desde el que comenzó la tortuga, pero para cuando lo haya logrado, la tortuga ya se habrá movido a otro punto. Esto continúa, y cada vez que Aquiles llega a la marca donde estaba la tortuga, la tortuga habrá alcanzado un nuevo punto que Aquiles tendrá que alcanzar; Si bien comienza con 0,9 metros, se convierte en 0,09 metros adicionales, luego 0,009 metros, y así sucesivamente, infinitamente. Si bien estas distancias se harán muy pequeñas, seguirán siendo finitas, mientras que la persecución de la tortuga por parte de Aquiles se convertirá en una supertarea interminable. Se han hecho muchos comentarios sobre esta paradoja en particular; muchos afirman que encuentra un resquicio en el sentido común. [4]
James F. Thomson creía que el movimiento no era una supertarea y negaba rotundamente que las supertareas fueran posibles. Consideró una lámpara que puede estar encendida o apagada. En el momento t = 0 la lámpara está apagada y el interruptor se enciende en t = 1/2 ; después de eso, el interruptor se enciende después de esperar la mitad del tiempo que antes. Thomson pregunta cuál es el estado en t = 1 , cuando el interruptor ha sido accionado infinitas veces. Razona que no puede estar encendida porque nunca ha habido un momento en el que no se haya apagado posteriormente, y viceversa, y llega a una contradicción. Concluye que las supertareas son imposibles. [5]
Paul Benacerraf cree que las supertareas son al menos lógicamente posibles a pesar de la aparente contradicción de Thomson. Benacerraf está de acuerdo con Thomson en que el experimento que describe no determina el estado de la lámpara en t = 1. Sin embargo, no está de acuerdo con Thomson en que pueda derivar una contradicción de esto, ya que el estado de la lámpara en t = 1 no puede determinarse lógicamente a partir de los estados anteriores. [ cita requerida ]
La mayor parte de la literatura moderna proviene de los descendientes de Benacerraf, aquellos que aceptan tácitamente la posibilidad de las supertareas. Los filósofos que rechazan su posibilidad tienden a hacerlo no por razones como las de Thomson, sino porque tienen dudas sobre la noción de infinito en sí. Por supuesto, hay excepciones. Por ejemplo, McLaughlin afirma que la lámpara de Thomson es inconsistente si se analiza con la teoría de conjuntos internos , una variante del análisis real .
Si las supertareas son posibles, entonces la verdad o falsedad de proposiciones desconocidas de la teoría de números, como la conjetura de Goldbach , o incluso proposiciones indecidibles , podrían determinarse en una cantidad finita de tiempo mediante una búsqueda de fuerza bruta del conjunto de todos los números naturales. Sin embargo, esto estaría en contradicción con la tesis de Church-Turing . Algunos han argumentado que esto plantea un problema para el intuicionismo , ya que el intuicionista debe distinguir entre cosas que de hecho no pueden probarse (porque son demasiado largas o complicadas; por ejemplo, la "Inferencia curiosa" de Boolos [6] ) pero que, no obstante, se consideran "demostrables", y aquellas que son demostrables por fuerza bruta infinita en el sentido anterior.
Algunos han afirmado que la lámpara de Thomson es físicamente imposible, ya que debe tener partes que se muevan a velocidades superiores a la de la luz (por ejemplo, el interruptor de la lámpara). Adolf Grünbaum sugiere que la lámpara podría tener una tira de cable que, al levantarse, interrumpa el circuito y apague la lámpara; esta tira podría luego levantarse una distancia menor cada vez que se apague la lámpara, manteniendo una velocidad constante.
Sin embargo, un diseño de este tipo acabaría fracasando, ya que la distancia entre los contactos sería tan pequeña que permitiría a los electrones saltar el espacio, impidiendo que el circuito se interrumpiera. Aun así, para que un ser humano o cualquier dispositivo perciba o actúe sobre el estado de la lámpara, es necesario realizar alguna medición; por ejemplo, la luz de la lámpara tendría que llegar a un ojo o a un sensor.
Cualquier medida de este tipo se realizará en un período de tiempo fijo, por pequeño que sea, y, por lo tanto, en algún momento será imposible medir el estado. Como el estado en t=1 no se puede determinar ni siquiera en principio, no tiene sentido hablar de que la lámpara esté encendida o apagada.
Se han sugerido otras supertareas físicamente posibles. En una propuesta, una persona (o entidad) cuenta hacia arriba desde 1, durante un tiempo infinito, mientras otra persona observa esto desde un marco de referencia donde esto ocurre en un espacio finito de tiempo. Para el contador, esto no es una supertarea, pero para el observador, sí lo es. (Esto podría ocurrir teóricamente debido a la dilatación del tiempo , por ejemplo, si el observador cayera en un agujero negro mientras observa un contador cuya posición es fija en relación con la singularidad).
Gustavo E. Romero en el artículo 'El colapso de las supertareas' [7] sostiene que cualquier intento de llevar a cabo una supertarea resultará en la formación de un agujero negro , haciendo que las supertareas sean físicamente imposibles.
El impacto de las supertareas en la informática teórica ha dado lugar a algunos trabajos nuevos e interesantes, por ejemplo, el de Hamkins y Lewis: "La máquina de Turing del tiempo infinito". [8]
Supongamos que hay un tarro capaz de contener infinitas canicas y una colección infinita de canicas etiquetadas 1, 2, 3, etc. En el tiempo t = 0, las canicas 1 a 10 se colocan en el tarro y se saca la canica 1. En t = 0,5, las canicas 11 a 20 se colocan en el tarro y se saca la canica 2; en t = 0,75, las canicas 21 a 30 se colocan en el tarro y se saca la canica 3; y en general en el tiempo t = 1 − 0,5 n , las canicas 10 n + 1 a 10 n + 10 se colocan en el tarro y se saca la canica n + 1. ¿Cuántas canicas hay en el tarro en el tiempo t = 1?
Un argumento afirma que debería haber infinitas canicas en el tarro, porque en cada paso antes de t = 1 el número de canicas aumenta con respecto al paso anterior y lo hace de manera ilimitada. Sin embargo, un segundo argumento muestra que el tarro está vacío. Considere el siguiente argumento: si el tarro no está vacío, entonces debe haber una canica en el tarro. Digamos que esa canica está etiquetada con el número n . Pero en el momento t = 1 − 0,5 n - 1 , se ha sacado la n ésima canica, por lo que la canica n no puede estar en el tarro. Esto es una contradicción, por lo que el tarro debe estar vacío. La paradoja de Ross-Littlewood es que aquí tenemos dos argumentos aparentemente perfectamente buenos con conclusiones completamente opuestas.
Ha habido un interés considerable en “La paradoja de los dioses” de JA Benardete : [9]
Un hombre camina una milla desde un punto α. Pero hay una infinidad de dioses, cada uno de los cuales, sin que lo sepan los demás, tiene la intención de obstruirle. Uno de ellos levantará una barrera para detener su avance si llega al punto de media milla, otro si llega al punto de un cuarto de milla, un tercero si recorre un octavo de milla, y así hasta el infinito. De modo que ni siquiera puede empezar, porque por corta que sea la distancia que recorra ya habrá sido detenido por una barrera. Pero en ese caso no se levantará ninguna barrera, de modo que no hay nada que le impida seguir adelante. Se ha visto obligado a quedarse donde está por las meras intenciones incumplidas de los dioses. [10]
— M. Clark, Paradojas de la A a la Z
Inspirado por la paradoja de JA Benardete sobre una serie infinita de asesinos, [11] David Chalmers describe la paradoja de la siguiente manera:
Hay una cantidad incontable de parcas, una por cada número entero positivo. La parca 1 está dispuesta a matarte con una guadaña a la 1:00 p. m., si y solo si sigues vivo en ese momento (de lo contrario, su guadaña permanece inmóvil durante todo el tiempo), y tarda 30 minutos en hacerlo. La parca 2 está dispuesta a matarte con una guadaña a las 12:30 p. m., si y solo si sigues vivo en ese momento, y tarda 15 minutos en hacerlo. La parca 3 está dispuesta a matarte con una guadaña a las 12:15 p. m., y así sucesivamente. Todavía estás vivo justo antes de las 12 p. m., solo puedes morir mediante el movimiento de la guadaña de una parca, y una vez muerto, sigues muerto. A primera vista, esta situación parece concebible: cada parca parece concebible de forma individual e intrínseca, y parece razonable combinar individuos distintos con propiedades intrínsecas distintas en una situación. Pero una pequeña reflexión revela que la situación tal como se describe es contradictoria. No puedo sobrevivir hasta el mediodía (una parca me atraparía primero), pero no pueden matarme (para que la parca n me mate, debo haber sobrevivido a la parca n +1, lo cual es imposible). [12]
Ha adquirido importancia en la filosofía a través de su uso para argumentar a favor de un pasado finito, siendo así relevante para el argumento cosmológico Kalam . [13] [14] [15] [16]
Propuesta por E. Brian Davies , [17] esta es una máquina que puede, en el espacio de media hora, crear una réplica exacta de sí misma que es la mitad de su tamaño y capaz de duplicar su velocidad de replicación. Esta réplica a su vez creará una versión aún más rápida de sí misma con las mismas especificaciones, lo que dará como resultado una supertarea que termina después de una hora. Si, además, las máquinas crean un enlace de comunicación entre la máquina padre y la hija que produce un ancho de banda sucesivamente más rápido y las máquinas son capaces de realizar aritmética simple, las máquinas pueden usarse para realizar pruebas de fuerza bruta de conjeturas desconocidas. Sin embargo, Davies también señala que, debido a propiedades fundamentales del universo real como la mecánica cuántica , el ruido térmico y la teoría de la información , su máquina en realidad no puede construirse.