Suma conectada

Manera de unir dos variedades matemáticas dadas

Ilustración de suma conectada.

En matemáticas , específicamente en topología , la operación de suma conexa es una modificación geométrica de las variedades . Su efecto es unir dos variedades dadas cerca de un punto elegido en cada una de ellas. Esta construcción juega un papel clave en la clasificación de superficies cerradas .

De manera más general, también se pueden unir variedades a lo largo de subvariedades idénticas; esta generalización se suele denominar suma de fibras . También existe una noción estrechamente relacionada de suma conexa en nudos , denominada suma de nudos o composición de nudos.

Suma conectada en un punto

Una suma conexa de dos variedades m -dimensionales es una variedad formada eliminando una bola dentro de cada variedad y pegando juntas las esferas límite resultantes .

Si ambas variedades están orientadas , hay una suma conexa única definida por tener la función de pegado con orientación inversa. Aunque la construcción utiliza la elección de las bolas, el resultado es único hasta el homeomorfismo . También se puede hacer que esta operación funcione en la categoría suave , y entonces el resultado es único hasta el difeomorfismo . Hay problemas sutiles en el caso suave: no todo difeomorfismo entre los límites de las esferas da la misma variedad compuesta, incluso si las orientaciones se eligen correctamente. Por ejemplo, Milnor demostró que dos celdas 7 se pueden pegar a lo largo de su límite de modo que el resultado sea una esfera exótica homeomorfa pero no difeomorfa a una esfera 7.

Sin embargo, existe una forma canónica de elegir la unión de y que da una suma conectada bien definida y única. ^[1] Elija incrustaciones y de modo que conserve la orientación y la invierta. Ahora obtenga de la suma disjunta ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle i_{1}:D_{n}\rightarrow M_{1}}$ ${\displaystyle i_{2}:D_{n}\rightarrow M_{2}}$ ${\displaystyle i_{1}}$ ${\displaystyle i_{2}}$ ${\displaystyle M_{1}\mathbin {\#} M_{2}}$

${\displaystyle (M_{1}-i_{1}(0))\sqcup (M_{2}-i_{2}(0))}$

identificando con para cada vector unitario y cada . Elija la orientación para la cual es compatible con y . El hecho de que esta construcción esté bien definida depende crucialmente del teorema del disco , que no es del todo obvio. Para más detalles, véase. ^[2] ${\displaystyle i_{1}(tu)}$ ${\displaystyle i_{2}((1-t)u)}$ ${\displaystyle u\in S^{n-1}}$ ${\displaystyle 0<t<1}$ ${\displaystyle M_{1}\mathbin {\#} M_{2}}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$

La operación de suma conexa se denota por . ${\displaystyle \#}$

La operación de suma conexa tiene como identidad la esfera , es decir, es homeomorfa (o difeomorfa) a . ${\displaystyle S^{m}}$ ${\displaystyle M\mathbin {\#} S^{m}}$ ${\displaystyle M}$

La clasificación de superficies cerradas, un resultado fundamental e históricamente significativo en topología, establece que cualquier superficie cerrada puede expresarse como la suma conexa de una esfera con un cierto número de toros y un cierto número de planos proyectivos reales . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle k}$

Suma conectada a lo largo de una subvariedad

Sean y dos variedades lisas, orientadas, de igual dimensión y una variedad lisa, cerrada y orientada, incrustada como subvariedad en ambas y Supóngase además que existe un isomorfismo de fibrados normales. ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}.}$

${\displaystyle \psi :N_{M_{1}}V\to N_{M_{2}}V}$

que invierte la orientación de cada fibra. Luego induce un difeomorfismo que preserva la orientación. ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle N_{1}\setminus V\cong N_{M_{1}}V\setminus V\to N_{M_{2}}V\setminus V\cong N_{2}\setminus V,}$

donde cada fibrado normal se identifica difeomórficamente con un vecindario de en , y el mapa ${\displaystyle N_{M_{i}}V}$ ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M_{i}}$

${\displaystyle N_{M_{1}}V\setminus V\to N_{M_{2}}V\setminus V}$

es la involución difeomórfica con inversión de orientación

${\displaystyle v\mapsto v/|v|^{2}}$

sobre vectores normales . La suma conexa de y a lo largo de es entonces el espacio ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle (M_{1}\setminus V)\bigcup _{N_{1}\setminus V=N_{2}\setminus V}(M_{2}\setminus V)}$

Se obtiene uniendo los vecindarios eliminados mediante el difeomorfismo que preserva la orientación. La suma se suele denotar

${\displaystyle (M_{1},V)\mathbin {\#} (M_{2},V).}$

Su tipo de difeomorfismo depende de la elección de las dos incrustaciones de y de la elección de . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \psi }$

En términos generales, cada fibra normal de la subvariedad contiene un único punto de , y la suma conexa a lo largo de es simplemente la suma conexa como se describe en la sección anterior, realizada a lo largo de cada fibra. Por esta razón, la suma conexa a lo largo de suele denominarse suma de fibra . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

El caso especial de un punto recupera la suma conexa de la sección anterior. ${\displaystyle V}$

Suma conectada a lo largo de una subvariedad de codimensión dos

Otro caso especial importante ocurre cuando la dimensión de es dos veces menor que la de . Entonces, el isomorfismo de los fibrados normales existe siempre que sus clases de Euler sean opuestas: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle e\left(N_{M_{1}}V\right)=-e\left(N_{M_{2}}V\right).}$

Además, en este caso el grupo de estructura de los fibrados normales es el grupo del círculo ; de ello se deduce que la elección de incrustaciones puede identificarse canónicamente con el grupo de clases de homotopía de las funciones de al círculo , que a su vez es igual al primer grupo de cohomología integral . Por lo tanto, el tipo de difeomorfismo de la suma depende de la elección de y de una elección de elemento de . ${\displaystyle SO(2)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H^{1}(V)}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle H^{1}(V)}$

Una suma conexa a lo largo de una codimensión dos también puede llevarse a cabo en la categoría de variedades simplécticas ; esta elaboración se llama suma simpléctica . ${\displaystyle V}$

Operación local

La suma conexa es una operación local sobre variedades, lo que significa que altera los sumandos solo en un entorno de . Esto implica, por ejemplo, que la suma se puede realizar sobre una única variedad que contenga dos copias disjuntas de , con el efecto de pegarse a sí misma. Por ejemplo, la suma conexa de una 2-esfera en dos puntos distintos de la esfera produce el 2-toro. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$

Suma de nudos conectados

Existe una noción estrechamente relacionada de la suma conexa de dos nudos. De hecho, si se considera un nudo simplemente como una variedad unidimensional, entonces la suma conexa de dos nudos es simplemente su suma conexa como variedad unidimensional. Sin embargo, la propiedad esencial de un nudo no es su estructura de variedad (según la cual cada nudo es equivalente a un círculo), sino más bien su inserción en el espacio circundante . Por lo tanto, la suma conexa de nudos tiene una definición más elaborada que produce una inserción bien definida, como sigue.

Considere proyecciones planas disjuntas de cada nudo.

Encuentre un rectángulo en el plano donde un par de lados sean arcos a lo largo de cada nudo pero que, por lo demás, estén separados de los nudos.

Ahora une los dos nudos eliminando estos arcos de los nudos y agregando los arcos que forman el otro par de lados del rectángulo.

Este procedimiento da como resultado la proyección de un nuevo nudo, una suma conexa (o suma de nudos , o composición ) de los nudos originales. Para que la suma conexa de nudos esté bien definida, hay que considerar nudos orientados en el espacio tridimensional. Para definir la suma conexa de dos nudos orientados:

1. Considere una proyección plana de cada nudo y suponga que estas proyecciones son disjuntas.
2. Encuentre un rectángulo en el plano donde un par de lados sean arcos a lo largo de cada nudo pero que, por lo demás, estén separados de los nudos y de modo que los arcos de los nudos en los lados del rectángulo estén orientados alrededor del límite del rectángulo en la misma dirección .
3. Ahora une los dos nudos eliminando estos arcos de los nudos y agregando los arcos que forman el otro par de lados del rectángulo.

El nudo de suma conectado resultante hereda una orientación consistente con las orientaciones de los dos nudos originales, y la clase de isotopía ambiental orientada del resultado está bien definida, dependiendo únicamente de las clases de isotopía ambiental orientada de los dos nudos originales.

Con esta operación, los nudos orientados en el espacio tridimensional forman un monoide conmutativo con factorización prima única , lo que nos permite definir qué se entiende por nudo primo . La prueba de la conmutatividad se puede ver al dejar que un sumando se encoja hasta que sea muy pequeño y luego tirar de él a lo largo del otro nudo. El nudo desenrollado es la unidad. Los dos nudos de trébol son los nudos primos más simples. Se pueden agregar nudos de dimensiones superiores empalmando las esferas. ${\displaystyle n}$

En tres dimensiones, el nudo no puede escribirse como la suma de dos nudos no triviales. Este hecho se desprende de la aditividad del género de nudos ; otra prueba se basa en una construcción infinita a veces llamada la estafa de Mazur . En dimensiones superiores (con codimensión al menos tres), es posible obtener un nudo sumando dos nudos no triviales.

Si no se tienen en cuenta las orientaciones de los nudos, la operación de suma conexa no está bien definida en las clases de isotopía de nudos (no orientados). Para ver esto, considere dos nudos no invertibles K, L que no son equivalentes (como nudos no orientados); por ejemplo, tomemos los dos nudos de pretzel K = P (3, 5, 7) y L = P (3, 5, 9). Sean K + _y K − _K con sus dos orientaciones no equivalentes, y sean L + _y L − _L con sus dos orientaciones no equivalentes. Hay cuatro sumas conexas orientadas que podemos formar:

• A = K ₊ # L ₊
• B = K ₋ # L ₋
• C = K ₊ # L ₋
• D = K ₋ # L ₊

Las clases de isotopía ambiental orientada de estos cuatro nudos orientados son todas distintas y, cuando se considera la isotopía ambiental de los nudos sin tener en cuenta la orientación, hay dos clases de equivalencia distintas: { A ~ B } y { C ~ D }. Para ver que A y B son equivalentes no orientados, simplemente observe que ambos pueden construirse a partir del mismo par de proyecciones de nudos disjuntos como se indicó anteriormente, siendo la única diferencia la orientación de los nudos. De manera similar, se ve que C y D pueden construirse a partir del mismo par de proyecciones de nudos disjuntos.

Véase también

• Suma de bandas
• Descomposición prima (3-variedad)
• Descomposición múltiple
• Nudo satelital

Lectura adicional

• Robert Gompf : Una nueva construcción de variedades simplécticas, Annals of Mathematics 142 (1995), 527–595
• William S. Massey , Un curso básico en topología algebraica , Springer-Verlag, 1991. ISBN  0-387-97430-X .

Referencias

1. Kervaire y Milnor, Grupos de esferas de homotopía I, Anales de Matemáticas, vol. 77, n.º 3, mayo de 1963
2. Kosinski, Variedades diferenciales, Academic Press Inc (1992).