Cadena de Markov de salto reversible Monte Carlo

Método de simulación en estadística.

En estadística computacional, la cadena de Markov Monte Carlo de salto reversible es una extensión de la metodología estándar Monte Carlo de la cadena de Markov (MCMC), introducida por Peter Green , que permite la simulación (la creación de muestras ) de la distribución posterior en espacios de diferentes dimensiones . ^[1] Por lo tanto, la simulación es posible incluso si no se conoce el número de parámetros en el modelo . El "salto" se refiere al cambio de un espacio de parámetros a otro durante la ejecución de la cadena. RJMCMC es útil para comparar modelos de diferentes dimensiones para ver cuál se ajusta mejor a los datos. También es útil para predicciones de nuevos puntos de datos, porque no necesitamos elegir y arreglar un modelo, RJMCMC puede predecir directamente los nuevos valores para todos los modelos al mismo tiempo. Los modelos que mejor se adapten a los datos se elegirán con más frecuencia que los peores.

Detalles sobre el proceso RJMCMC

Sea un indicador de modelo y el espacio de parámetros cuyo número de dimensiones depende del modelo . La indicación del modelo no tiene por qué ser finita. La distribución estacionaria es la distribución posterior conjunta de la que toma los valores . ${\displaystyle n_{m}\in N_{m}=\{1,2,\ldots ,I\}\,}$ ${\displaystyle M=\bigcup _{n_{m}=1}^{I}\mathbb {R} ^{d_{m}}}$ ${\displaystyle d_{m}}$ ${\displaystyle n_{m}}$ ${\displaystyle (M,N_{m})}$ ${\displaystyle (m,n_{m})}$

La propuesta se puede construir con un mapeo de y , donde se extrae de un componente aleatorio con densidad en . El paso al estado puede entonces formularse como ${\displaystyle m'}$ ${\displaystyle g_{1mm'}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d_{mm'}}}$ ${\displaystyle (m',n_{m}')}$

${\displaystyle (m',n_{m}')=(g_{1mm'}(m,u),n_{m}')\,}$

La función

${\displaystyle g_{mm'}:={\Bigg (}(m,u)\mapsto {\bigg (}(m',u')={\big (}g_{1mm'}(m,u),g_{2mm'}(m,u){\big )}{\bigg )}{\Bigg )}\,}$

debe ser uno a uno y diferenciable, y tener un soporte distinto de cero:

${\displaystyle \mathrm {supp} (g_{mm'})\neq \varnothing \,}$

por lo que existe una función inversa

${\displaystyle g_{mm'}^{-1}=g_{m'm}\,}$

eso es diferenciable. Por lo tanto, y debe ser de igual dimensión, que es el caso si el criterio de dimensión ${\displaystyle (m,u)}$ ${\displaystyle (m',u')}$

${\displaystyle d_{m}+d_{mm'}=d_{m'}+d_{m'm}\,}$

se cumple donde está la dimensión de . Esto se conoce como coincidencia de dimensiones . ${\displaystyle d_{mm'}}$ ${\displaystyle u}$

Si entonces la condición de coincidencia dimensional se puede reducir a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d_{m}}\subset \mathbb {R} ^{d_{m'}}}$

${\displaystyle d_{m}+d_{mm'}=d_{m'}\,}$

con

${\displaystyle (m,u)=g_{m'm}(m).\,}$

La probabilidad de aceptación estará dada por

${\displaystyle a(m,m')=\min \left(1,{\frac {p_{m'm}p_{m'}f_{m'}(m')}{p_{mm'}q_{mm'}(m,u)p_{m}f_{m}(m)}}\left|\det \left({\frac {\partial g_{mm'}(m,u)}{\partial (m,u)}}\right)\right|\right),}$

donde denota el valor absoluto y es la probabilidad posterior conjunta ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle p_{m}f_{m}}$

${\displaystyle p_{m}f_{m}=c^{-1}p(y|m,n_{m})p(m|n_{m})p(n_{m}),\,}$

¿Dónde está la constante de normalización? ${\displaystyle c}$

Paquetes de programas

Hay una herramienta experimental RJ-MCMC disponible para el paquete BUG de código abierto .

El sistema de programación probabilística Gen automatiza el cálculo de la probabilidad de aceptación para núcleos MCMC de salto reversible definidos por el usuario como parte de su función Involution MCMC.

Referencias

1. Verde, PJ (1995). "Cálculo de Monte Carlo de cadena de Markov de salto reversible y determinación del modelo bayesiano". Biometrika . 82 (4): 711–732. CiteSeerX  10.1.1.407.8942 . doi :10.1093/biomet/82.4.711. JSTOR  2337340. SEÑOR  1380810.