Reciprocidad de Helmholtz

Principio en óptica que relaciona los rayos de luz y sus rayos inversos.

El principio de reciprocidad de Helmholtz describe cómo un rayo de luz y su rayo inverso encuentran aventuras ópticas coincidentes, como reflexiones, refracciones y absorciones en un medio pasivo o en una interfaz. No se aplica a medios móviles, no lineales o magnéticos.

Por ejemplo, la luz entrante y saliente se pueden considerar como inversiones entre sí, ^[1] sin afectar el resultado de la función de distribución de reflectancia bidireccional (BRDF) ^[2] . Si la luz se midiera con un sensor y esa luz se reflejara en un material con un BRDF que obedezca el principio de reciprocidad de Helmholtz, se podría intercambiar el sensor y la fuente de luz y la medición del flujo permanecería igual.

En el esquema de gráficos por computadora de iluminación global , el principio de reciprocidad de Helmholtz es importante si el algoritmo de iluminación global invierte las trayectorias de la luz (por ejemplo, trazado de rayos versus trazado de trayectoria de luz clásico).

Física

El principio de reversión-reciprocidad de Stokes-Helmholtz ^{[3] [4] [5] [6] [7] [ 8] [9] [10] [11] [12] [13] [1] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [ citas excesivas ]} fue afirmado en parte por Stokes (1849) ^[3] y con referencia a la polarización en la página 169 ^[4] de Hermann Handbuch der psychologischen Optik de Helmholtz de 1856 citado por Gustav Kirchhoff ^[8] y por Max Planck . ^[13]

Como lo citó Kirchhoff en 1860, el principio se traduce de la siguiente manera:

Un rayo de luz procedente del punto 1 llega al punto 2 después de sufrir cualquier número de refracciones, reflexiones, etc. En el punto 1, tomemos dos planos perpendiculares cualesquiera a ₁ , b ₁ en la dirección del rayo; y dividamos las vibraciones del rayo en dos partes, una en cada uno de estos planos. Tome planos similares a ₂ , b ₂ en el rayo en el punto 2; entonces se puede demostrar la siguiente proposición. Si cuando la cantidad de luz i polarizada en el plano a ₁ procede de 1 en la dirección del rayo dado, esa parte k del mismo de luz polarizada en a ₂ llega a 2, entonces, a la inversa, si la cantidad de luz i polarizada en a ₂ procede de 2, la misma cantidad de luz k polarizada en a ₁ [texto publicado aquí por Kirchhoff corregido por el editor de Wikipedia para concordar con el texto de Helmholtz de 1867] llegará a 1. ^[8]

En pocas palabras, en condiciones adecuadas, el principio establece que la fuente y el punto de observación se pueden cambiar sin cambiar la intensidad medida. Intuitivamente, "Si puedo verte, tú puedes verme". Al igual que los principios de la termodinámica, en condiciones adecuadas, este principio es lo suficientemente fiable como para utilizarlo como control de la correcta realización de experimentos, en contraste con la situación habitual en la que los experimentos son pruebas de una ley propuesta. ^{[1] [12]}

En su magistral prueba ^[23] de la validez de la ley de igualdad de emisividad y absortividad radiativa de Kirchhoff , ^[24] Planck hace un uso repetido y esencial del principio de reciprocidad de Stokes-Helmholtz. Rayleigh planteó la idea básica de reciprocidad como consecuencia de la linealidad de propagación de pequeñas vibraciones, la luz formada por vibraciones sinusoidales en un medio lineal. ^{[9] [10] [11] [12]}

Cuando hay campos magnéticos en la trayectoria del rayo, el principio no se aplica. ^[4] La desviación del medio óptico de la linealidad también provoca la desviación de la reciprocidad de Helmholtz, así como la presencia de objetos en movimiento en la trayectoria del rayo.

La reciprocidad de Helmholtz se refería originalmente a la luz. Ésta es una forma particular de electromagnetismo que puede denominarse radiación de campo lejano. Para ello, los campos eléctrico y magnético no necesitan descripciones distintas, porque se propagan alimentándose mutuamente de manera uniforme. Entonces, el principio de Helmholtz es un caso especial de reciprocidad electromagnética en general descrito de manera más simple , que se describe mediante distintas explicaciones de los campos eléctricos y magnéticos que interactúan. El principio de Helmholtz se basa principalmente en la linealidad y la superposición del campo luminoso, y tiene análogos cercanos en campos de propagación lineal no electromagnéticos, como el sonido. Fue descubierto antes de que se conociera la naturaleza electromagnética de la luz. ^{[9] [10] [11] [12]}

El teorema de reciprocidad de Helmholtz se ha demostrado rigurosamente de varias maneras, ^{[25] [26] [27]} generalmente haciendo uso de la simetría de inversión del tiempo de la mecánica cuántica . Como estas demostraciones matemáticamente más complicadas pueden restar valor a la simplicidad del teorema, AP Pogany y PS Turner lo han demostrado en sólo unos pocos pasos utilizando una serie de Born . ^[28] Suponiendo una fuente de luz en un punto A y un punto de observación O, con varios puntos de dispersión entre ellos, la ecuación de Schrödinger puede usarse para representar la función de onda resultante en el espacio: ${\displaystyle r_{1},r_{2},...r}$

${\displaystyle (\bigtriangledown ^{2}+4\pi K^{2})\Psi (\mathbf {r,r_{A}} )=-4\pi K^{2}V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r,r_{A}} )+\delta (\mathbf {r-r_{A}} )}$

Al aplicar una función de Green , la ecuación anterior se puede resolver para la función de onda en forma integral (y por lo tanto iterativa):

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r,r_{A}} )=G(\mathbf {r,r_{A}} )-4\pi ^{2}\int G(\mathbf {r,r'} V(\mathbf {r'} \Psi (\mathbf {r',r_{A}} )d\mathbf {r'} }$

dónde

${\displaystyle G(\mathbf {r,r'} )=-{\frac {\exp(2\pi iK|\mathbf {r-r'} |)}{|\mathbf {r-r'} |}}}$.

A continuación, es válido suponer que la solución dentro del medio de dispersión en el punto O puede aproximarse mediante una serie de Born, haciendo uso de la aproximación de Born en la teoría de la dispersión. Al hacerlo, la serie se puede iterar de la forma habitual para generar la siguiente solución integral:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r_{O},r_{A}} )=G(\mathbf {r_{O},r_{A}} )-4\pi ^{2}\int G(\mathbf {r_{O},r_{1}} )V(\mathbf {r_{1}} )G(\mathbf {r_{1},r_{A}} )d\mathbf {r_{1}} }$

${\displaystyle +(-4\pi ^{2})^{2}\int d\mathbf {r_{1}} \int G(\mathbf {r_{O},r_{1}} )G(\mathbf {r_{1},r_{2}} )V(\mathbf {r_{1}} )V(\mathbf {r_{2}} )G(\mathbf {r_{2},r_{A}} )d\mathbf {r_{2}} }$

${\displaystyle +(-4\pi ^{2})^{3}\int d\mathbf {r_{1}} \int d\mathbf {r_{2}} \int G(\mathbf {r_{O},r_{1}} )G(\mathbf {r_{1},r_{2}} )G(\mathbf {r_{2},r_{3}} )V(\mathbf {r_{1}} )V(\mathbf {r_{2}} )V(\mathbf {r_{3}} )G(\mathbf {r_{3},r_{A}} )d\mathbf {r_{3}} }$

${\displaystyle +...}$

Observando nuevamente la forma de la función de Green, es evidente que cambiar y en la forma anterior no cambiará el resultado; es decir, que es el enunciado matemático del teorema de reciprocidad: cambiar la fuente de luz A y el punto de observación O no altera la función de onda observada. ${\displaystyle \mathbf {r_{A}} }$ ${\displaystyle \mathbf {r_{O}} }$ ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r_{A},r_{O}} )=\Psi (\mathbf {r_{O},r_{A}} )}$

Aplicaciones

Una implicación simple pero importante de este principio de reciprocidad es que cualquier luz dirigida a través de una lente en una dirección (del objeto al plano de la imagen) es ópticamente igual a su conjugado, es decir, la luz se dirige a través del mismo conjunto pero en la dirección opuesta. A un electrón enfocado a través de cualquier serie de componentes ópticos no le “importa” de qué dirección viene; Mientras le sucedan los mismos eventos ópticos, la función de onda resultante será la misma. Por esa razón, este principio tiene importantes aplicaciones en el campo de la microscopía electrónica de transmisión (TEM) . La noción de que los procesos ópticos conjugados producen resultados equivalentes permite al usuario del microscopio obtener una comprensión más profunda y tener una flexibilidad considerable en las técnicas que involucran difracción de electrones , patrones de Kikuchi , ^[29] imágenes de campo oscuro , ^[28] y otras.

Una advertencia importante a tener en cuenta es que en una situación en la que los electrones pierden energía después de interactuar con el medio de dispersión de la muestra, no existe simetría de inversión del tiempo. Por lo tanto, la reciprocidad sólo se aplica verdaderamente en situaciones de dispersión elástica . En el caso de dispersión inelástica con pequeña pérdida de energía, se puede demostrar que se puede utilizar la reciprocidad para aproximar la intensidad (en lugar de la amplitud de la onda). ^[28] Entonces, en muestras muy gruesas o muestras en las que domina la dispersión inelástica, los beneficios de usar la reciprocidad para las aplicaciones TEM mencionadas anteriormente ya no son válidos. Además, se ha demostrado experimentalmente que la reciprocidad se aplica en un TEM en las condiciones adecuadas, ^[28] pero la física subyacente del principio dicta que la reciprocidad sólo puede ser verdaderamente exacta si la transmisión de rayos se produce únicamente a través de campos escalares, es decir, sin campos magnéticos. . Por lo tanto, podemos concluir que las distorsiones de la reciprocidad debidas a los campos magnéticos de las lentes electromagnéticas en TEM pueden ignorarse en condiciones operativas típicas. ^[30] Sin embargo, los usuarios deben tener cuidado de no aplicar la reciprocidad a técnicas de imágenes magnéticas, TEM de materiales ferromagnéticos o situaciones extrañas de TEM sin una consideración cuidadosa. Generalmente, las piezas polares para TEM se diseñan utilizando análisis de elementos finitos de campos magnéticos generados para garantizar la simetría.  

Los sistemas de lentes de objetivo magnético se han utilizado en TEM para lograr una resolución a escala atómica mientras se mantiene un entorno libre de campo magnético en el plano de la muestra, ^[31] pero el método para hacerlo aún requiere un gran campo magnético por encima (y por debajo) del muestra, negando así cualquier efecto de mejora de la reciprocidad que uno podría esperar. Este sistema funciona colocando la muestra entre las piezas polares del objetivo frontal y posterior, como en un TEM ordinario, pero las dos piezas polares se mantienen en simetría especular exacta con respecto al plano de muestra entre ellas. Mientras tanto, sus polaridades de excitación son exactamente opuestas, generando campos magnéticos que se cancelan casi perfectamente en el plano de la muestra. Sin embargo, dado que no se cancelan en ningún otro lugar, la trayectoria del electrón aún debe pasar a través de campos magnéticos.

La reciprocidad también se puede utilizar para comprender la principal diferencia entre TEM y la microscopía electrónica de transmisión de barrido (STEM) , que se caracteriza en principio por cambiar la posición de la fuente de electrones y el punto de observación. En la práctica, esto es lo mismo que invertir el tiempo en un TEM para que los electrones viajen en la dirección opuesta. Por lo tanto, en condiciones apropiadas (en las que se aplica la reciprocidad), el conocimiento de las imágenes TEM puede ser útil para tomar e interpretar imágenes con STEM.

Ver también

• Reciprocidad (electromagnetismo)

Referencias

1. Hapke, B. (1993). Teoría de la espectroscopia de reflectancia y emitancia , Cambridge University Press, Cambridge Reino Unido, ISBN  0-521-30789-9 , Sección 10C, páginas 263-264.
2. Hapke, B. (1993). Teoría de la espectroscopia de reflectancia y emitancia , Cambridge University Press, Cambridge Reino Unido, ISBN 0-521-30789-9 , capítulos 8-9, páginas 181-260. 
3. Stokes, GG (1849). "Sobre la perfecta negrura de la mancha central de los anillos de Newton y sobre la verificación de las fórmulas de Fresnel para las intensidades de los rayos reflejados y refractados". Revista matemática de Cambridge y Dublín . series nuevas. 4 : 1-14.
4. Helmholtz, H. von (1856). Handbuch der psychologischen Optik , primera edición citada por Planck, Leopold Voss, Leipzig, volumen 1, página 169.[1]
5. Helmholtz, H. von (1903). Vorlesungen über Theorie der Wärme , editado por F. Richarz, Johann Ambrosius Barth, Leipzig, páginas 158-162.
6. Helmholtz, H. (1859/60). Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden, Crelle's Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (1): 1-72, página 29.
7. Stewart, B. (1858). Relación de algunos experimentos sobre calor radiante, que implican una extensión de la teoría de los intercambios del profesor Prevost, trad. Roy. Soc. Edimburgo 22 (1): 1-20, página 18.
8. Kirchhoff, G. (1860). Sobre la relación entre los poderes de radiación y absorción de diferentes cuerpos de luz y calor, Ann. Física. , 119 : 275-301, en la página 287 [2], traducido por F. Guthrie, Phil. revista Serie 4, 20 :2-21, en la página 9.
9. Strutt, JW (Lord Rayleigh) (1873). Algunos teoremas generales relacionados con las vibraciones, Proc. Londres. Matemáticas. Soc. 4 : 357-368, páginas 366-368.
10. Rayleigh, Señor (1876). Sobre la aplicación del Principio de Reciprocidad a la acústica, Proc. Roy. Soc. A , 25 : 118-122.
11. Strutt, JW, barón Rayleigh (1894/1945). The Theory of Sound , segunda edición revisada, Dover, Nueva York, volumen 1, secciones 107-111a.
12. Rayleigh, Señor (1900). Sobre la ley de reciprocidad en la reflexión difusa, Fil. revista serie 5, 49 : 324-325.
13. Planck, M. (1914). The Theory of Heat Radiation , segunda edición traducida por M. Masius, P. Blakiston's Son and Co., Filadelfia, página 35.
14. Minnaert, M. (1941). El principio de reciprocidad en fotometría lunar, Astrophysical Journal 93 : 403-410.[3]
15. Mahan, AI (1943). Una prueba matemática del principio de reversibilidad de Stokes, J. Opt. Soc. Soy. , 33 (11): 621-626.
16. Chandrasekhar, S. (1950). Transferencia radiativa , Oxford University Press, Oxford, páginas 20-21, 171-177, 182.
17. Tingwaldt, CP (1952). Über das Helmholtzsche Reziprozitätsgesetz in der Optik, Optik , 9 (6): 248-253.
18. Levi, L. (1968). Óptica aplicada: una guía para el diseño de sistemas ópticos , 2 volúmenes, Wiley, Nueva York, volumen 1, página 84.
19. Clarke, FJJ, Parry, DJ (1985). Reciprocidad de Helmholtz: su validez y aplicación a la reflectometría, Lighting Research & Technology , 17 (1): 1-11.
20. Lekner, J. (1987). Teoría de la reflexión , Martinus Nijhoff, Dordrecht, ISBN 90-247-3418-5 , páginas 33-37.[4] 
21. Nacido, M., Wolf, E. (1999). Principios de óptica : teoría electromagnética de la propagación, interferencia y difracción de la luz , séptima edición, Cambridge University Press, ISBN 0-521-64222-1 , página 423. 
22. Potton, RJ (27 de abril de 2004). "Reciprocidad en óptica". Informes sobre los avances en física . Publicación PIO. 67 (5): 717–754. Código Bib : 2004RPPh...67..717P. doi :10.1088/0034-4885/67/5/r03. ISSN  0034-4885. S2CID  250849465.
23. Planck, M. (1914). The Theory of Heat Radiation , segunda edición traducida por M. Masius, P. Blakiston's Son and Co., Filadelfia, páginas 35, 38,39.
24. Kirchhoff, G. (1860). Sobre la relación entre los poderes de radiación y absorción de diferentes cuerpos de luz y calor, Ann. Física. , 119 : 275-301 [5], traducido por F. Guthrie, Phil. revista Serie 4, 20 :2-21.
25. Helmholtz, Hermann von (1867). a, Hermann von Helmholtz u (ed.). Handbuch der psychologischen Optik (en alemán). Leipzig: L. Voss.
26. Wells, Oliver C. (23 de julio de 2008). "Reciprocidad entre el microscopio electrónico de reflexión y el microscopio electrónico de barrido de bajas pérdidas". Letras de Física Aplicada . 37 (6): 507–510. doi :10.1063/1.91992. ISSN  0003-6951.
27. Spindler, Paul (de Chemnitz) Autor del texto; Meyer, Georg (1857-1950) Autor del texto; Meerburg, Jacob Hendrik Autor del texto (1860). "Annalen der Physik". Gallica . Consultado el 11 de diciembre de 2019 .{{cite web}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
28. Pogany, AP; Turner, PS (23 de enero de 1968). "Reciprocidad en difracción de electrones y microscopía". Acta Crystallographica Sección A. 24 (1): 103–109. Código bibliográfico : 1968AcCrA..24..103P. doi :10.1107/S0567739468000136. ISSN  1600-5724.
29. Kainuma, Y. (10 de mayo de 1955). "La teoría de los patrones Kikuchi". Acta Cristalográfica . 8 (5): 247–257. doi : 10.1107/S0365110X55000832 . ISSN  0365-110X.
30. Hren, John J; Goldstein, José I; Alegría, David C, eds. (1979). Introducción a la microscopía electrónica analítica | Enlace Springer (PDF) . doi :10.1007/978-1-4757-5581-7. ISBN 978-1-4757-5583-1.
31. Shibata, N.; Kohno, Y.; Nakamura, A.; Morishita, S.; Seki, T.; Kumamoto, A.; Sawada, H.; Matsumoto, T.; Findlay, SD; Ikuhara, Y. (24 de mayo de 2019). "Microscopía electrónica de resolución atómica en un entorno libre de campos magnéticos". Comunicaciones de la naturaleza . 10 (1): 2308. Código bibliográfico : 2019NatCo..10.2308S. doi :10.1038/s41467-019-10281-2. ISSN  2041-1723. PMC 6534592 . PMID  31127111.