En geometría algebraica , un punto infinitamente cercano de una superficie algebraica S es un punto de una superficie obtenido a partir de S mediante la explosión repetida de puntos. Los puntos infinitamente cercanos de superficies algebraicas fueron introducidos por Max Noether (1876). [1]
Existen otros significados de "punto infinitamente cercano". Los puntos infinitamente cercanos también pueden definirse para variedades de dimensiones superiores: hay varias formas no equivalentes de hacerlo, dependiendo de lo que se permita explotar. Weil dio una definición de puntos infinitamente cercanos de variedades suaves, [2] aunque estos no son lo mismo que los puntos infinitamente cercanos en geometría algebraica. En la línea de números hiperreales , una extensión de la línea de números reales , dos puntos se denominan infinitamente cercanos si su diferencia es infinitesimal .
Cuando se aplica la explosión a un punto P en una superficie S , la nueva superficie S * contiene una curva completa C donde P solía estar. Los puntos de C tienen la interpretación geométrica como las direcciones tangentes en P a S . Se pueden decir infinitamente cerca de P como una forma de visualizarlos en S , en lugar de S *. De manera más general, esta construcción se puede iterar haciendo estallar un punto en la nueva curva C , y así sucesivamente.
Un punto infinitamente cercano (de orden n ) P n sobre una superficie S 0 está dado por una secuencia de puntos P 0 , P 1 ,..., P n sobre superficies S 0 , S 1 ,..., S n tales que S i está dado por la explosión de S i –1 en el punto P i –1 y P i es un punto de la superficie S i con imagen P i –1 .
En particular, los puntos de la superficie S son los puntos infinitamente cercanos en S de orden 0.
Los puntos infinitamente cercanos corresponden a las valoraciones unidimensionales del campo de funciones de S con centro 0-dimensional, y en particular corresponden a algunos de los puntos de la superficie de Zariski–Riemann . (Las valoraciones unidimensionales con centro unidimensional corresponden a curvas irreducibles de S. ) También es posible iterar la construcción infinitamente a menudo, produciendo una secuencia infinita P 0 , P 1 ,... de puntos infinitamente cercanos. Estas secuencias infinitas corresponden a las valoraciones 0-dimensionales del campo de funciones de la superficie, que corresponden a los puntos "0-dimensionales" de la superficie de Zariski–Riemann .
Si C y D son curvas irreducibles distintas en una superficie lisa S que se intersecan en un punto p , entonces la multiplicidad de su intersección en p está dada por
donde m x ( C ) es la multiplicidad de C en x . En general, esto es mayor que m p ( C ) m p ( D ) si C y D tienen una línea tangente común en x de modo que también se intersecan en puntos infinitamente cercanos de orden mayor que 0, por ejemplo, si C es la línea y = 0 y D es la parábola y = x 2 y p = (0,0).
El género de C viene dado por
donde N es la normalización de C y m x es la multiplicidad del punto infinitamente cercano x en C.
