Procesamiento de matrices

Área de investigación en procesamiento de señales

El procesamiento de matrices es un área amplia de investigación en el campo del procesamiento de señales que se extiende desde la forma más simple de matrices lineales unidimensionales hasta geometrías de matrices bidimensionales y tridimensionales. La estructura de la matriz se puede definir como un conjunto de sensores que están separados espacialmente, por ejemplo, antenas de radio y matrices sísmicas . Los sensores utilizados para un problema específico pueden variar ampliamente, por ejemplo, micrófonos , acelerómetros y telescopios . Sin embargo, existen muchas similitudes, la más fundamental de las cuales puede ser una suposición de propagación de ondas . La propagación de ondas significa que existe una relación sistémica entre la señal recibida en sensores separados espacialmente. Al crear un modelo físico de la propagación de ondas, o en aplicaciones de aprendizaje automático , un conjunto de datos de entrenamiento , las relaciones entre las señales recibidas en sensores separados espacialmente se pueden aprovechar para muchas aplicaciones.

Algunos problemas comunes que se resuelven con técnicas de procesamiento de matrices son:

• Determinar el número y la ubicación de las fuentes que irradian energía.
• mejorar la relación señal/ruido ( SNR ) o " relación señal/interferencia más ruido (SINR) "
• Seguimiento de fuentes en movimiento

Las métricas de procesamiento de matrices se evalúan a menudo en entornos ruidosos. El modelo para el ruido puede ser uno de ruido espacialmente incoherente o uno con señales interferentes que siguen la misma física de propagación. La teoría de estimación es una parte importante y básica del campo de procesamiento de señales, que solía abordar problemas de estimación en los que los valores de varios parámetros del sistema debían estimarse en función de datos medidos/empíricos que tienen un componente aleatorio. A medida que aumenta el número de aplicaciones, la estimación de parámetros temporales y espaciales se vuelve más importante. El procesamiento de matrices surgió en las últimas décadas como un área activa y se centró en la capacidad de usar y combinar datos de diferentes sensores (antenas) para abordar tareas de estimación específicas (procesamiento espacial y temporal). Además de la información que se puede extraer de los datos recopilados, el marco utiliza la ventaja del conocimiento previo sobre la geometría de la matriz de sensores para realizar la tarea de estimación. El procesamiento de matrices se utiliza en radares , sonares , exploración sísmica, antiinterferencias y comunicaciones inalámbricas . Una de las principales ventajas de utilizar el procesamiento de matrices junto con una matriz de sensores es que requiere menos espacio. Los problemas asociados con el procesamiento de matrices incluyen la cantidad de fuentes utilizadas, su dirección de llegada y sus formas de onda de señal . ^{[1] [2] [3] [4]}

Matriz de sensores

Existen cuatro supuestos en el procesamiento de matrices. El primero es que existe una propagación uniforme en todas las direcciones del medio isotrópico y no dispersivo. El segundo es que, para el procesamiento de matrices de campo lejano, el radio de propagación es mucho mayor que el tamaño de la matriz y que existe una propagación de ondas planas. El tercer supuesto es que existe un ruido blanco y una señal de media cero, lo que muestra una falta de correlación. Por último, el último supuesto es que no existe acoplamiento y que la calibración es perfecta. ^[1]

Aplicaciones

El objetivo final del procesamiento de señales de un conjunto de sensores es estimar los valores de los parámetros utilizando la información temporal y espacial disponible, recopilada mediante el muestreo de un campo de ondas con un conjunto de antenas que tienen una descripción geométrica precisa. El procesamiento de los datos y la información capturados se realiza bajo el supuesto de que el campo de ondas es generado por un número finito de fuentes de señal (emisores), y contiene información sobre los parámetros de señal que caracterizan y describen las fuentes. Existen muchas aplicaciones relacionadas con la formulación del problema anterior, donde se debe especificar el número de fuentes, sus direcciones y ubicaciones. Para motivar al lector, se discutirán algunas de las aplicaciones más importantes relacionadas con el procesamiento de conjuntos.

• Sistemas de radar y sonar:

El concepto de procesamiento de matriz estaba estrechamente vinculado a los sistemas de radar y sonar, que representan las aplicaciones clásicas del procesamiento de matriz. La matriz de antenas se utiliza en estos sistemas para determinar la ubicación de las fuentes, cancelar interferencias y suprimir el ruido del suelo. Los sistemas de radar se utilizan básicamente para detectar objetos mediante ondas de radio. Se puede especificar el alcance, la altitud, la velocidad y la dirección de los objetos. Los sistemas de radar comenzaron como equipos militares y luego ingresaron al mundo civil. En las aplicaciones de radar, se pueden utilizar diferentes modos, uno de estos modos es el modo activo. En este modo, el sistema basado en matriz de antenas irradia pulsos y escucha los retornos. Al usar los retornos, se hace posible la estimación de parámetros como la velocidad, el alcance y las DOA (dirección de llegada) del objetivo de interés. Usando las matrices de escucha de campo lejano pasivo, solo se pueden estimar las DOA. Los sistemas de sonar (navegación y medición de distancia por sonido) utilizan las ondas de sonido que se propagan bajo el agua para detectar objetos en o debajo de la superficie del agua. Se pueden definir dos tipos de sistemas de sonar: activo y pasivo. En el sonar activo, el sistema emite pulsos de sonido y escucha los retornos que se utilizarán para estimar los parámetros. En el sonar pasivo, el sistema escucha esencialmente los sonidos que emiten los objetos objetivo. Existe una diferencia entre el sistema de radar que utiliza ondas de radio y el sistema de sonar que utiliza ondas de sonido. La razón por la que el sonar utiliza las ondas de sonido es porque las ondas de sonido viajan más lejos en el agua que las ondas de radar y de luz. En el sonar pasivo, el conjunto receptor tiene la capacidad de detectar objetos distantes y sus ubicaciones. Los conjuntos deformables se utilizan generalmente en sistemas de sonar donde la antena normalmente se dibuja debajo del agua. En el sonar activo, el sistema de sonar emite ondas de sonido (energía acústica) y luego escucha y monitorea cualquier eco existente (las ondas reflejadas). Las ondas de sonido reflejadas se pueden utilizar para estimar parámetros, como velocidad, posición y dirección, etc. Las dificultades y limitaciones en los sistemas de sonar en comparación con los sistemas de radar surgieron del hecho de que la velocidad de propagación de las ondas de sonido bajo el agua es más lenta que las ondas de radio. Otra fuente de limitación son las altas pérdidas de propagación y dispersión. A pesar de todas estas limitaciones y dificultades, el sistema sonar sigue siendo una técnica confiable para la estimación de alcance, distancia, posición y otros parámetros para aplicaciones submarinas. ^{[3] [5]}

Sistema de radar

NORSAR es un centro de investigación geocientífica independiente que se fundó en Noruega en 1968. NORSAR ha estado trabajando con el procesamiento de matrices desde entonces para medir la actividad sísmica en todo el mundo. ^[6] Actualmente están trabajando en un Sistema de Monitoreo Internacional que comprenderá 50 estaciones sísmicas primarias y 120 auxiliares en todo el mundo. NORSAR está trabajando en curso para mejorar el procesamiento de matrices para mejorar el monitoreo de la actividad sísmica no solo en Noruega sino en todo el mundo. ^[7]

• Comunicaciones (inalámbricas)

La comunicación puede definirse como el proceso de intercambio de información entre dos o más partes. Las últimas dos décadas han sido testigos de un rápido crecimiento de los sistemas de comunicación inalámbrica. Este éxito es el resultado de los avances en la teoría de la comunicación y el proceso de diseño de baja disipación de potencia. En general, la comunicación (telecomunicaciones) puede realizarse por medios tecnológicos a través de señales eléctricas (comunicación por cable) u ondas electromagnéticas (comunicación inalámbrica). Los conjuntos de antenas han surgido como una tecnología de apoyo para aumentar la eficiencia de uso del espectro y mejorar la precisión de los sistemas de comunicación inalámbrica mediante el uso de la dimensión espacial además de las dimensiones clásicas de tiempo y frecuencia. Las técnicas de procesamiento y estimación de conjuntos se han utilizado en la comunicación inalámbrica. Durante la última década, estas técnicas se volvieron a explorar como candidatas ideales para ser la solución de numerosos problemas en la comunicación inalámbrica. En la comunicación inalámbrica, los problemas que afectan la calidad y el rendimiento del sistema pueden provenir de diferentes fuentes. El modelo de comunicación multiusuario (acceso múltiple por medio) y multitrayecto (propagación de señales sobre múltiples rutas de dispersión en canales inalámbricos) es uno de los modelos de comunicación más extendidos en la comunicación inalámbrica (comunicación móvil).

Problema de comunicación por trayectos múltiples en sistemas de comunicación inalámbrica

En el caso de un entorno de comunicación multiusuario, la existencia de múltiples usuarios aumenta la posibilidad de interferencia entre usuarios que puede afectar negativamente a la calidad y el rendimiento del sistema. En los sistemas de comunicación móvil, el problema de trayectos múltiples es uno de los problemas básicos con los que tienen que lidiar las estaciones base. Las estaciones base han estado utilizando la diversidad espacial para combatir el desvanecimiento debido a los trayectos múltiples severos. Las estaciones base utilizan un conjunto de antenas de varios elementos para lograr una mayor selectividad, lo que se denomina formación de haz . El conjunto de recepción se puede dirigir en la dirección de un usuario a la vez, al tiempo que se evita la interferencia de otros usuarios.

• Aplicaciones médicas

Las técnicas de procesamiento de matrices han recibido mucha atención en aplicaciones médicas e industriales. En aplicaciones médicas, el campo de procesamiento de imágenes médicas fue uno de los campos básicos que utiliza el procesamiento de matrices. Otras aplicaciones médicas que utilizan el procesamiento de matrices: tratamiento de enfermedades, seguimiento de formas de onda que tienen información sobre el estado de los órganos internos, por ejemplo, el corazón, localización y análisis de la actividad cerebral mediante el uso de matrices de sensores biomagnéticos. ^[8]

• Procesamiento de matrices para mejorar el habla

La mejora y el procesamiento del habla representan otro campo que se ha visto afectado por la nueva era del procesamiento de matrices. La mayoría de los sistemas de entrada acústica se convirtieron en sistemas completamente automáticos (por ejemplo, los teléfonos). Sin embargo, el entorno operativo de estos sistemas contiene una mezcla de otras fuentes acústicas; los ruidos externos, así como los acoplamientos acústicos de las señales de los altavoces, abruman y atenúan la señal de voz deseada. Además de estas fuentes externas, la intensidad de la señal deseada se reduce debido a la distancia relativa entre el altavoz y los micrófonos. Las técnicas de procesamiento de matrices han abierto nuevas oportunidades en el procesamiento del habla para atenuar el ruido y el eco sin degradar la calidad de la señal de voz ni afectar negativamente a la misma. En general, las técnicas de procesamiento de matrices se pueden utilizar en el procesamiento del habla para reducir la potencia de cálculo (número de cálculos) y mejorar la calidad del sistema (el rendimiento). Representar la señal como una suma de subbandas y adaptar filtros de cancelación para las señales de subbanda puede reducir la potencia de cálculo demandada y dar lugar a un sistema de mayor rendimiento. Confiar en múltiples canales de entrada permite diseñar sistemas de mayor calidad en comparación con los sistemas que utilizan un solo canal y resolver problemas como la localización, el seguimiento y la separación de fuentes, que no se pueden lograr en el caso de utilizar un solo canal. ^[9]

• Procesamiento de matrices en aplicaciones astronómicas

El entorno astronómico contiene una mezcla de señales externas y ruidos que afectan la calidad de las señales deseadas. La mayoría de las aplicaciones de procesamiento de matrices en astronomía están relacionadas con el procesamiento de imágenes. La matriz se utiliza para lograr una calidad superior que no se puede lograr utilizando un solo canal. La alta calidad de imagen facilita el análisis cuantitativo y la comparación con imágenes en otras longitudes de onda. En general, las matrices astronómicas se pueden dividir en dos clases: la clase de formación de haces y la clase de correlación. La formación de haces es una técnica de procesamiento de señales que produce haces de matriz sumados desde una dirección de interés; se utiliza básicamente en la transmisión o recepción de señales direccionales; la idea básica es combinar elementos en una matriz en fase de modo que algunas señales experimenten una inferencia destructiva y otras experimenten una inferencia constructiva. Las matrices de correlación proporcionan imágenes sobre todo el patrón de haz primario de un solo elemento, calculadas fuera de línea a partir de registros de todas las correlaciones posibles entre las antenas, por pares.

Una antena del conjunto de telescopios Allen

• Otras aplicaciones

Además de estas aplicaciones, se han desarrollado muchas aplicaciones basadas en técnicas de procesamiento de matrices: formación de haces acústicos para aplicaciones de audífonos, separación de fuentes ciegas subdeterminadas mediante matrices acústicas, matriz de imágenes de ultrasonidos digitales 3D/4D, antenas inteligentes, radar de apertura sintética, imágenes acústicas subacuáticas y matrices de sensores químicos, etc. ^{[3] [4] [5]}

Modelo general y formulación del problema

Considere un sistema que consiste en una matriz de r sensores arbitrarios que tienen ubicaciones arbitrarias y direcciones arbitrarias (características direccionales) que reciben señales generadas por q fuentes de banda estrecha de frecuencia central conocida ω y ubicaciones θ1, θ2, θ3, θ4 ... θq. dado que las señales son de banda estrecha, el retardo de propagación a través de la matriz es mucho menor que el recíproco del ancho de banda de la señal y se deduce que al usar una representación de envolvente compleja, la salida de la matriz se puede expresar (por el sentido de superposición) como: ^{[3] [5] [8]}
${\displaystyle \textstyle x(t)=\sum _{K=1}^{q}a(\theta _{k})s_{k}(t)+n(t)}$

Dónde:

• ${\displaystyle x(t)}$es el vector de las señales recibidas por los sensores de la matriz,
• ${\displaystyle s_{k}(t)}$es la señal emitida por la fuente k tal como se recibe en el sensor de frecuencia 1 de la matriz,
• ${\displaystyle a(\theta _{k})}$es el vector de dirección de la matriz hacia la dirección ( ), ${\displaystyle \theta _{k}}$
• τi(θk): es el retardo de propagación entre el primer y el i-ésimo sensor para una forma de onda que proviene de la dirección (θk),
• ${\displaystyle n(t)}$es el vector de ruido.

La misma ecuación también se puede expresar en forma de vectores:
${\displaystyle \textstyle \mathbf {x} (t)=A(\theta )s(t)+n(t)}$

Si suponemos ahora que M instantáneas se toman en los instantes de tiempo t1, t2... tM, los datos se pueden expresar como:
${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {A} (\theta )\mathbf {S} +\mathbf {N} }$

Donde X y N son las matrices r × M y S es q × M:
${\displaystyle \mathbf {X} =[x(t_{1}),......,x(t_{M})]}$
${\displaystyle \mathbf {N} =[n(t_{1}),......,n(t_{M})]}$
${\displaystyle \mathbf {S} =[s(t_{1}),......,s(t_{M})]}$

Definición del problema
“El objetivo es estimar los DOA θ1, θ2, θ3, θ4 …θq de las fuentes a partir de la instantánea M de la matriz x(t1)… x(tM). En otras palabras, lo que nos interesa es estimar los DOA de las señales del emisor que inciden en la matriz receptora, cuando se da un conjunto finito de datos {x(t)} observados durante t=1, 2 … M. Esto se hará básicamente utilizando las estadísticas de segundo orden de los datos” ^{[5] [8]}

Para resolver este problema (para garantizar que existe una solución válida), ¿debemos agregar condiciones o suposiciones sobre el entorno operativo y/o el modelo utilizado? Dado que se utilizan muchos parámetros para especificar el sistema, como la cantidad de fuentes, la cantidad de elementos de la matriz, etc., ¿existen condiciones que se deben cumplir primero? Para lograr este objetivo, queremos hacer las siguientes suposiciones: ^{[1] [3] [5]}

1. El número de señales es conocido y es menor que el número de sensores, q < r .
2. El conjunto de cualquier vector de dirección q es linealmente independiente.
3. Medio isótropo y no dispersivo – Propagación uniforme en todas las direcciones.
4. Ruido blanco y señal de media cero, no correlacionados.
5. Campo lejano.

a. Radio de propagación >> tamaño de la matriz.

b. Propagación de ondas planas.

En este estudio se supondrá que se conoce el número de señales subyacentes, q, en el proceso observado. Sin embargo, existen técnicas adecuadas y consistentes para estimar este valor incluso si no se conoce.

Técnicas de estimación

En general, las técnicas de estimación de parámetros se pueden clasificar en: métodos basados ​​en espectros y métodos basados ​​en parámetros . En los primeros, se forma una función similar a un espectro de los parámetros de interés. Las ubicaciones de los picos más altos (separados) de la función en cuestión se registran como estimaciones de DOA. Las técnicas paramétricas, por otro lado, requieren una búsqueda simultánea de todos los parámetros de interés. La ventaja básica de utilizar el enfoque paramétrico en comparación con el enfoque basado en espectros es la precisión, aunque a expensas de una mayor complejidad computacional. ^{[1] [3] [5]}

Soluciones basadas en espectros

Las soluciones algorítmicas basadas en espectros se pueden clasificar además en técnicas de formación de haz y técnicas basadas en subespacios.

Técnica de formación de haces

El primer método utilizado para especificar y localizar automáticamente las fuentes de señal utilizando conjuntos de antenas fue la técnica de formación de haz. La idea detrás de la formación de haz es muy simple: dirigir el conjunto en una dirección a la vez y medir la potencia de salida. Las ubicaciones de dirección donde tenemos la potencia máxima producen las estimaciones de DOA. La respuesta del conjunto se dirige formando una combinación lineal de las salidas del sensor. ^{[3] [5] [8]} Descripción general del enfoque Donde Rx es la matriz de covarianza de muestra . Los diferentes enfoques de formación de haz corresponden a diferentes opciones del vector de ponderación F. Las ventajas de utilizar la técnica de formación de haz son la simplicidad, fácil de usar y entender. Mientras que la desventaja de utilizar esta técnica es la baja resolución.

${\displaystyle \textstyle 1.\ R_{x}={\frac {1}{M}}\sum _{t=1}^{M}\mathbf {x} (t)\mathbf {x} ^{*}(t)}$
${\displaystyle \textstyle 2.\ Calculate\ B(W_{i})=F^{*}R_{x}F(W_{i})}$
${\displaystyle \textstyle 3.\ Find\ Peaks\ of\ B(W_{i})\ for\ all\ possible\ w_{i}'s.}$
${\displaystyle \textstyle 4.\ Calculate\ \theta _{k},\ i=1,....q.}$

Técnica basada en el subespacio

En el pasado, muchos métodos espectrales han recurrido a la descomposición espectral de una matriz de covarianza para llevar a cabo el análisis. Se produjo un gran avance cuando se invocó explícitamente la estructura propia de la matriz de covarianza y se utilizaron directamente sus propiedades intrínsecas para proporcionar una solución a un problema de estimación subyacente para un proceso observado dado. Una clase de técnicas de estimación espectral espacial se basa en la descomposición en valores propios de la matriz de covarianza espacial. La razón detrás de este enfoque es que se desea enfatizar las opciones para el vector de dirección a(θ) que corresponden a las direcciones de la señal. El método explota la propiedad de que las direcciones de llegada determinan la estructura propia de la matriz.
El tremendo interés en los métodos basados ​​en subespacios se debe principalmente a la introducción del algoritmo MUSIC (Clasificación de señales múltiples) . MUSIC se presentó originalmente como un estimador DOA, luego se ha vuelto a aplicar con éxito al problema de análisis espectral/identificación de sistemas con su desarrollo posterior. ^{[3] [5] [8]}

Descripción general del enfoque donde la matriz de vectores propios del ruido
${\displaystyle \textstyle 1.\ Subspace\ decomposition\ by\ performing\ eigenvalue\ decomposition:}$
${\displaystyle \textstyle R_{x}=\mathbf {A} \mathbf {R} _{s}\mathbf {A} ^{*}+\sigma ^{2}I=\sum _{k=1}^{M}\lambda _{k}e_{k}r_{k}^{*}}$
${\displaystyle \textstyle 2.\ span\{\mathbf {A} \}=spane\{e1,....,e_{d}\}=span\{\mathbf {E} _{s}\}.}$
${\displaystyle \textstyle 3.\ Check\ which\ a(\theta )\ \epsilon span\{\mathbf {E} _{s}\}\ or\ \mathbf {P} _{A}a(\theta )\ or\ P_{\mathbf {A} }^{\perp }a(\theta ),\ where\ \mathbf {P} _{A}\ is\ a\ projection\ matrix.}$
${\displaystyle \textstyle 4.\ Search\ for\ all\ possible\ \theta \ such\ that:\left|P_{\mathbf {A} }^{\perp }a(\theta )\right|^{2}=0\ or\ M(\theta )={\frac {1}{P_{A}a(\theta )}}=\infty }$
${\displaystyle \textstyle 5.\ After\ EVD\ of\ R_{x}:}$
${\displaystyle \textstyle P_{A}^{\perp }=I-E_{s}E_{s}^{*}=E_{n}E_{n}^{*}}$
${\displaystyle E_{n}=[e_{d}+1,....,e_{M}]}$

Los enfoques espectrales de MUSIC utilizan una única realización del proceso estocástico que está representado por las instantáneas x (t), t = 1, 2 ... M. Las estimaciones de MUSIC son consistentes y convergen a los rumbos de origen verdaderos a medida que el número de instantáneas crece hasta el infinito. Una desventaja básica del enfoque MUSIC es su sensibilidad a los errores del modelo. Se requiere un costoso procedimiento de calibración en MUSIC y es muy sensible a los errores en el procedimiento de calibración. El costo de la calibración aumenta a medida que aumenta el número de parámetros que definen la variedad de la matriz.

Soluciones basadas en parámetros

Si bien los métodos basados ​​en espectros presentados en la sección anterior son computacionalmente atractivos, no siempre brindan una precisión suficiente. En particular, para los casos en que tenemos señales altamente correlacionadas, el rendimiento de los métodos basados ​​en espectros puede ser insuficiente. Una alternativa es explotar más completamente el modelo de datos subyacente, lo que lleva a los llamados métodos de procesamiento de matrices paramétricas. El costo de usar tales métodos para aumentar la eficiencia es que los algoritmos generalmente requieren una búsqueda multidimensional para encontrar las estimaciones. El enfoque basado en modelos más utilizado en el procesamiento de señales es la técnica de máxima verosimilitud (ML). Este método requiere un marco estadístico para el proceso de generación de datos. Al aplicar la técnica ML al problema de procesamiento de matrices, se han considerado dos métodos principales según el supuesto del modelo de datos de la señal. De acuerdo con el ML estocástico, las señales se modelan como procesos aleatorios gaussianos. Por otro lado, en el ML determinista, las señales se consideran cantidades desconocidas y deterministas que deben estimarse junto con la dirección de llegada. ^{[3] [5] [8]}

Enfoque de aprendizaje automático estocástico

El método de máxima verosimilitud estocástica se obtiene modelando las formas de onda de la señal como un proceso aleatorio gaussiano bajo el supuesto de que el proceso x(t) es un proceso gaussiano estacionario de media cero que se describe completamente mediante su matriz de covarianza de segundo orden. Este modelo es razonable si las mediciones se obtienen filtrando señales de banda ancha utilizando un filtro de paso de banda estrecho. Descripción general del enfoque

${\displaystyle \textstyle 1.\ Find\ W_{K}\ to\ minimize:}$
${\displaystyle \textstyle min_{a^{*}(\theta _{k}w_{k}=1)}\ E\{\left|W_{k}X(t)\right|^{2}\}}$
${\displaystyle \textstyle =min_{a^{*}(\theta _{k}w_{k}=1)}\ W_{k}^{*}R_{k}W_{k}}$
${\displaystyle \textstyle 2.\ Use\ the\ langrange\ method:}$
${\displaystyle \textstyle min_{a^{*}(\theta _{k}w_{k}=1)}\ E\{\left|W_{k}X(t)\right|^{2}\}}$
${\displaystyle \textstyle =min_{a^{*}(\theta _{k}w_{k}=1)}\ W_{k}^{*}R_{k}W_{k}+2\mu (a^{*}(\theta _{k})w_{k}\Leftrightarrow 1)}$
${\displaystyle \textstyle 3.\ Differentiating\ it,\ we\ obtain}$
${\displaystyle \textstyle R_{x}w_{k}=\mu a(\theta _{k}),\ or\ W_{k}=\mu R_{x}^{-1}a(\theta _{k})}$
${\displaystyle \textstyle 4.\ since}$
${\displaystyle \textstyle a^{*}(\theta _{k})W_{k}=\mu a(\theta _{k})^{*}R_{x}^{-1}a(\theta _{k})=1}$
${\displaystyle \textstyle Then}$
${\displaystyle \textstyle \mu =a(\theta _{k})^{*}R_{x}^{-1}a(\theta _{k})}$
${\displaystyle \textstyle 5.\ Capon's\ Beamformer}$
${\displaystyle \textstyle W_{k}=R_{x}^{-1}a(\theta _{k})/(a^{*}(\theta _{k})R_{x}^{-1}a(\theta _{k}))}$

Enfoque de aprendizaje automático determinista

Si bien el ruido de fondo y del receptor en el modelo de datos asumido puede considerarse como proveniente de una gran cantidad de fuentes de ruido independientes, no suele suceder lo mismo con las señales del emisor. Por lo tanto, parece natural modelar el ruido como un proceso aleatorio blanco gaussiano estacionario, mientras que las formas de onda de la señal son deterministas (arbitrarias) y desconocidas. De acuerdo con el modelo determinista de modulación, las señales se consideran cantidades deterministas y desconocidas que deben estimarse junto con la dirección de llegada. Este es un modelo natural para aplicaciones de comunicación digital donde las señales están lejos de ser variables aleatorias normales y donde la estimación de la señal es de igual interés. ^{[3] [4]}

Espectrómetro de correlación

El problema de calcular la correlación por pares como función de la frecuencia se puede resolver de dos maneras matemáticamente equivalentes pero distintas. Al utilizar la Transformada de Fourier Discreta (DFT), es posible analizar señales en el dominio del tiempo así como en el dominio espectral. El primer enfoque es la correlación "XF", porque primero correlaciona de forma cruzada las antenas (la operación "X") utilizando una convolución de "retardo" en el dominio del tiempo y luego calcula el espectro (la operación "F") para cada línea base resultante. El segundo enfoque "FX" aprovecha el hecho de que la convolución es equivalente a la multiplicación en el dominio de Fourier. Primero calcula el espectro para cada antena individual (la operación F) y luego multiplica por pares todas las antenas para cada canal espectral (la operación X). Un correlacionador FX tiene una ventaja sobre un correlacionador XF en que la complejidad computacional es O (N ² ). Por lo tanto, los correlacionadores FX son más eficientes para matrices más grandes. ^[10]

Los espectrómetros de correlación, como el interferómetro de Michelson, varían el intervalo de tiempo entre las señales para obtener el espectro de potencia de las señales de entrada. El espectro de potencia de una señal está relacionado con su función de autocorrelación mediante una transformada de Fourier: ^[11] ${\displaystyle S_{\text{XX}}(f)}$

donde la función de autocorrelación para la señal X en función del retardo de tiempo es ${\displaystyle R_{\text{XX}}(\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$

La espectroscopia de correlación cruzada con interferometría espacial es posible simplemente sustituyendo una señal con voltaje en la ecuación Eq.II para producir la correlación cruzada y el espectro cruzado . ${\displaystyle V_{Y}(t)}$ ${\displaystyle R_{\text{XY}}(\tau )}$ ${\displaystyle S_{\text{XY}}(f)}$

Ejemplo: filtrado espacial

En radioastronomía, la interferencia de RF debe mitigarse para detectar y observar cualquier objeto y evento significativo en el cielo nocturno.

Un conjunto de radiotelescopios con una onda de radio entrante e interferencia de RF

Proyectando el interferente

Para un conjunto de radiotelescopios con una firma espacial de la fuente interferente que no es una función conocida de la dirección de la interferencia y su variación temporal, la matriz de covarianza de la señal toma la forma: ${\displaystyle \mathbf {a} }$

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R} _{v}+\sigma _{s}^{2}\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\dagger }+\sigma _{n}^{2}\mathbf {I} }$

donde es la matriz de covarianza de visibilidades (fuentes), es la potencia del interferente, y es la potencia del ruido, y denota la transposición hermítica. Se puede construir una matriz de proyección que, cuando se multiplica por la izquierda y la derecha por la matriz de covarianza de la señal, reducirá el término de interferencia a cero. ${\displaystyle \mathbf {R} _{v}}$ ${\displaystyle \sigma _{s}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{n}^{2}}$ ${\displaystyle \dagger }$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{a}^{\perp }}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{a}^{\perp }=\mathbf {I} -\mathbf {a} (\mathbf {a} ^{\dagger }\mathbf {a} )^{-1}\mathbf {a} ^{\dagger }}$

Por lo tanto, la matriz de covarianza de señal modificada se convierte en:

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {R} }}=\mathbf {P} _{a}^{\perp }\mathbf {R} \mathbf {P} _{a}^{\perp }=\mathbf {P} _{a}^{\perp }\mathbf {R} _{v}\mathbf {P} _{a}^{\perp }+\sigma _{n}^{2}\mathbf {P} _{a}^{\perp }}$

Dado que generalmente no se conoce, se puede construir utilizando la descomposición propia de , en particular la matriz que contiene una base ortonormal del subespacio de ruido, que es el complemento ortogonal de . Las desventajas de este enfoque incluyen alterar la matriz de covarianza de visibilidades y colorear el término de ruido blanco. ^[12] ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{a}^{\perp }}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$

Blanqueamiento espacial

Este esquema intenta hacer que el término de interferencia más ruido sea espectralmente blanco. Para ello, la izquierda y la derecha se multiplican con factores de raíz cuadrada inversa de los términos de interferencia más ruido. ${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {R} }}=(\sigma _{s}^{2}\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\dagger }+\sigma _{n}^{2}\mathbf {I} )^{-{\frac {1}{2}}}\mathbf {R} (\sigma _{s}^{2}\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\dagger }+\sigma _{n}^{2}\mathbf {I} )^{-{\frac {1}{2}}}}$

El cálculo requiere rigurosas manipulaciones matriciales, pero da como resultado una expresión de la forma:

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {R} }}=(\cdot )^{-{\frac {1}{2}}}\mathbf {R} _{v}(\cdot )^{-{\frac {1}{2}}}+\mathbf {I} }$

Este enfoque requiere manipulaciones matriciales computacionalmente mucho más intensivas y, nuevamente, se altera la matriz de covarianza de visibilidades. ^[13]

Estimación de resta de interferencia

Como se desconoce, la mejor estimación es el vector propio dominante de la descomposición propia de , y, de la misma manera, la mejor estimación de la potencia de interferencia es , donde es el valor propio dominante de . Se puede restar el término de interferencia de la matriz de covarianza de la señal: ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{\dagger }}$ ${\displaystyle \sigma _{s}^{2}\approx \lambda _{1}-\sigma _{n}^{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {R} }}=\mathbf {R} -\sigma _{s}^{2}\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\dagger }}$

Multiplicando por derecha e izquierda : ${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {R} }}\approx (\mathbf {I} -\alpha \mathbf {u} _{1}\mathbf {u} _{1}^{\dagger })\mathbf {R} (\mathbf {I} -\alpha \mathbf {u} _{1}\mathbf {u} _{1}^{\dagger })=\mathbf {R} -\mathbf {u} _{1}\mathbf {u} _{1}^{\dagger }\lambda _{1}(2\alpha -\alpha ^{2})}$

donde al seleccionar el apropiado . Este esquema requiere una estimación precisa del término de interferencia, pero no altera el término de ruido o de fuentes. ^[14] ${\displaystyle \lambda _{1}(2\alpha -\alpha ^{2})\approx \sigma _{s}^{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$

Resumen

La técnica de procesamiento de matrices representa un gran avance en el procesamiento de señales. Se han introducido muchas aplicaciones y problemas que se pueden resolver mediante técnicas de procesamiento de matrices. Además de estas aplicaciones, en los próximos años aumentará el número de aplicaciones que incluyen una forma de procesamiento de señales de matrices. Se espera que la importancia del procesamiento de matrices crezca a medida que la automatización se vuelva más común en el entorno y las aplicaciones industriales. Los avances adicionales en el procesamiento de señales digitales y los sistemas de procesamiento de señales digitales también respaldarán los altos requisitos de cálculo que exigen algunas de las técnicas de estimación.

En este artículo, destacamos la importancia del procesamiento de matrices enumerando las aplicaciones más importantes que incluyen alguna forma de técnicas de procesamiento de matrices. Describimos brevemente las diferentes clasificaciones de procesamiento de matrices, enfoques espectrales y paramétricos. Se cubren algunos de los algoritmos más importantes, y también se explican y analizan las ventajas y desventajas de estos algoritmos.

Véase también

• Matriz en fase
• Procesamiento adaptativo espacio-temporal
• Periodograma
• Filtro coincidente
• El método de Welch
• El método de Bartlett
• SAMV

Referencias

1. Torlak, M. Procesamiento de matrices espaciales. Seminario sobre procesamiento de señales e imágenes. Universidad de Texas en Austin.
2. J Li, Peter Stoica (Eds) (2009). Procesamiento de señales de radar MIMO . EE. UU.: J Wiley&Sons.
3. Peter Stoica , R Moses (2005). Análisis espectral de señales (PDF) . Nueva Jersey: Prentice Hall.
4. J Li, Peter Stoica (Eds) (2006). Formación de haces adaptativa robusta . EE. UU.: J Wiley&Sons.
5. Singh, Hema; Jha, RakeshMohan (2012), Tendencias en el procesamiento de matrices adaptativas
6. "Acerca de nosotros". NORSAR. Archivado desde el original el 20 de junio de 2013. Consultado el 6 de junio de 2013 .
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