Procesamiento de matrices

Área de investigación en procesamiento de señales.

El procesamiento de matrices es una amplia área de investigación en el campo del procesamiento de señales que se extiende desde la forma más simple de matrices en línea unidimensionales hasta geometrías de matrices bidimensionales y tridimensionales. La estructura del conjunto se puede definir como un conjunto de sensores que están separados espacialmente, por ejemplo, antenas de radio y conjuntos sísmicos . Los sensores utilizados para un problema específico pueden variar ampliamente, por ejemplo micrófonos , acelerómetros y telescopios . Sin embargo, existen muchas similitudes, la más fundamental de las cuales puede ser el supuesto de propagación de ondas . La propagación de ondas significa que existe una relación sistémica entre la señal recibida en sensores espacialmente separados. Al crear un modelo físico de la propagación de ondas o, en aplicaciones de aprendizaje automático, un conjunto de datos de entrenamiento , las relaciones entre las señales recibidas en sensores espacialmente separados se pueden aprovechar para muchas aplicaciones.

Algunos problemas comunes que se resuelven con técnicas de procesamiento de matrices son:

• determinar el número y la ubicación de las fuentes de radiación de energía
• mejorar la relación señal-ruido ( SNR ) o " relación señal-interferencia más ruido (SINR) "
• rastrear fuentes en movimiento

Las métricas de procesamiento de matrices a menudo se evalúan en entornos ruidosos. El modelo para el ruido puede ser uno de ruido espacialmente incoherente o uno con señales de interferencia que siguen la misma física de propagación. La teoría de la estimación es una parte importante y básica del campo del procesamiento de señales, que solía abordar problemas de estimación en los que los valores de varios parámetros del sistema deben estimarse en función de datos medidos/empíricos que tienen un componente aleatorio. A medida que aumenta el número de aplicaciones, la estimación de parámetros temporales y espaciales se vuelve más importante. El procesamiento de matrices surgió en las últimas décadas como un área activa y se centró en la capacidad de utilizar y combinar datos de diferentes sensores (antenas) para abordar tareas de estimación específicas (procesamiento espacial y temporal). Además de la información que se puede extraer de los datos recopilados, el marco aprovecha el conocimiento previo sobre la geometría del conjunto de sensores para realizar la tarea de estimación. El procesamiento de matrices se utiliza en radar , sonar , exploración sísmica, antiinterferencias y comunicaciones inalámbricas . Una de las principales ventajas de utilizar el procesamiento de matrices junto con una serie de sensores es que ocupa menos espacio. Los problemas asociados con el procesamiento de matrices incluyen la cantidad de fuentes utilizadas, su dirección de llegada y las formas de onda de sus señales . ^{[1] [2] [3] [4]}

Matriz de sensores

Hay cuatro supuestos en el procesamiento de matrices. La primera suposición es que existe una propagación uniforme en todas las direcciones del medio isotrópico y no dispersivo. La segunda suposición es que para el procesamiento de conjuntos de campo lejano, el radio de propagación es mucho mayor que el tamaño del conjunto y que existe una propagación de ondas planas. La tercera suposición es que hay una señal y un ruido blanco promedio cero, lo que muestra falta de correlación. Finalmente, el último supuesto es que no hay acoplamiento y la calibración es perfecta. ^[1]

Aplicaciones

El objetivo final del procesamiento de señales de conjuntos de sensores es estimar los valores de los parámetros utilizando la información temporal y espacial disponible, recopilada mediante el muestreo de un campo de ondas con un conjunto de antenas que tienen una descripción geométrica precisa. El procesamiento de los datos y la información capturados se realiza bajo el supuesto de que el campo de onda es generado por un número finito de fuentes de señal (emisores) y contiene información sobre los parámetros de la señal que caracterizan y describen las fuentes. Hay muchas aplicaciones relacionadas con la formulación del problema anterior, donde se debe especificar el número de fuentes, sus direcciones y ubicaciones. Para motivar al lector, se discutirán algunas de las aplicaciones más importantes relacionadas con el procesamiento de matrices.

• Sistemas de radar y sonar:

El concepto de procesamiento de matrices estaba estrechamente vinculado a los sistemas de radar y sonar que representan las aplicaciones clásicas del procesamiento de matrices. El conjunto de antenas se utiliza en estos sistemas para determinar la(s) ubicación(es) de la(s) fuente(s), cancelar interferencias y suprimir el desorden del suelo. Los sistemas de radar se utilizan básicamente para detectar objetos mediante ondas de radio. Se puede especificar el alcance, la altitud, la velocidad y la dirección de los objetos. Los sistemas de radar comenzaron como equipos militares y luego ingresaron al mundo civil. En aplicaciones de radar se pueden utilizar diferentes modos, uno de estos modos es el modo activo. En este modo, el sistema basado en un conjunto de antenas irradia pulsos y escucha los retornos. Al utilizar los rendimientos, es posible estimar parámetros como la velocidad, el alcance y las DOA (dirección de llegada) del objetivo de interés. Utilizando los conjuntos de escucha pasiva de campo lejano, sólo se pueden estimar los DOA. Los sistemas de sonar (navegación y alcance por sonido) utilizan ondas sonoras que se propagan bajo el agua para detectar objetos sobre o debajo de la superficie del agua. Se pueden definir dos tipos de sistemas de sonar el activo y el pasivo. En el sonar activo, el sistema emite pulsos de sonido y escucha los retornos que se utilizarán para estimar los parámetros. En el sonar pasivo, el sistema esencialmente escucha los sonidos emitidos por los objetos objetivo. Es muy importante notar la diferencia entre el sistema de radar que usa ondas de radio y el sistema de sonar que usa ondas de sonido, la razón por la cual el sonar usa ondas de sonido es porque las ondas de sonido viajan más lejos en el agua que el radar y las ondas de luz. En el sonar pasivo, el conjunto receptor tiene la capacidad de detectar objetos distantes y sus ubicaciones. Los conjuntos deformables se utilizan generalmente en sistemas de sonar donde la antena generalmente se coloca bajo el agua. En el sonar activo, el sistema de sonar emite ondas sonoras (energía acústica) y luego escucha y monitorea cualquier eco existente (las ondas reflejadas). Las ondas sonoras reflejadas se pueden utilizar para estimar parámetros, como la velocidad, la posición y la dirección, etc. Las dificultades y limitaciones de los sistemas de sonar en comparación con los sistemas de radar surgieron del hecho de que la velocidad de propagación de las ondas sonoras bajo el agua es más lenta que las ondas de radio. . Otra fuente de limitación son las elevadas pérdidas de propagación y dispersión. A pesar de todas estas limitaciones y dificultades, el sistema de sonar sigue siendo una técnica confiable para estimar el alcance, la distancia, la posición y otros parámetros para aplicaciones submarinas. ^{[3] [5]}

Sistema de radar

NORSAR es una instalación de investigación geocientífica independiente fundada en Noruega en 1968. Desde entonces, NORSAR ha estado trabajando con procesamiento de matrices para medir la actividad sísmica en todo el mundo. ^[6] Actualmente están trabajando en un Sistema de Monitoreo Internacional que comprenderá 50 estaciones sismológicas primarias y 120 auxiliares en todo el mundo. NORSAR trabaja en curso para mejorar el procesamiento de matrices para mejorar el monitoreo de la actividad sísmica no solo en Noruega sino en todo el mundo. ^[7]

• Comunicaciones (inalámbricas)

La comunicación se puede definir como el proceso de intercambio de información entre dos o más partes. Las últimas dos décadas fueron testigos de un rápido crecimiento de los sistemas de comunicación inalámbrica. Este éxito es el resultado de los avances en la teoría de la comunicación y el proceso de diseño de baja disipación de potencia. En general, la comunicación (telecomunicaciones) se puede realizar por medios tecnológicos ya sea a través de señales eléctricas (comunicación por cable) u ondas electromagnéticas (comunicación inalámbrica). Los conjuntos de antenas han surgido como una tecnología de soporte para aumentar la eficiencia de uso del espectro y mejorar la precisión de los sistemas de comunicación inalámbrica mediante la utilización de la dimensión espacial además de las dimensiones clásicas de tiempo y frecuencia. En la comunicación inalámbrica se han utilizado técnicas de estimación y procesamiento de matrices. Durante la última década estas técnicas fueron reexploradas como candidatas ideales para ser la solución a numerosos problemas en la comunicación inalámbrica. En la comunicación inalámbrica, los problemas que afectan la calidad y el rendimiento del sistema pueden provenir de diferentes fuentes. El modelo de comunicación multiusuario –medio acceso múltiple- y multipath –propagación de señales a través de múltiples caminos de dispersión en canales inalámbricos- es uno de los modelos de comunicación más extendidos en la comunicación inalámbrica (comunicación móvil).

Problema de comunicación multiruta en sistemas de comunicación inalámbrica.

En el caso de un entorno de comunicación multiusuario, la existencia de multiusuario aumenta la posibilidad de interferencia entre usuarios que puede afectar negativamente la calidad y el rendimiento del sistema. En los sistemas de comunicaciones móviles, el problema de trayectos múltiples es uno de los problemas básicos con los que tienen que lidiar las estaciones base. Las estaciones base han estado utilizando la diversidad espacial para combatir el desvanecimiento debido a los severos trayectos múltiples. Las estaciones base utilizan un conjunto de antenas de varios elementos para lograr una mayor selectividad, lo que se denomina formación de haces . El conjunto de recepción se puede dirigir en dirección a un usuario a la vez, evitando al mismo tiempo la interferencia de otros usuarios.

• Aplicaciones médicas

Las técnicas de procesamiento de matrices recibieron mucha atención en aplicaciones médicas e industriales. En aplicaciones médicas, el campo del procesamiento de imágenes médicas fue uno de los campos básicos que utiliza el procesamiento de matrices. Otras aplicaciones médicas que utilizan procesamiento de matrices: tratamiento de enfermedades, seguimiento de formas de onda que tienen información sobre el estado de los órganos internos, por ejemplo, el corazón, localización y análisis de la actividad cerebral mediante el uso de matrices de sensores biomagnéticos. ^[8]

• Procesamiento de matrices para mejorar el habla

La mejora y el procesamiento del habla representan otro campo que se ha visto afectado por la nueva era del procesamiento de matrices. La mayoría de los sistemas frontales acústicos se convirtieron en sistemas completamente automáticos (por ejemplo, teléfonos). Sin embargo, el entorno operativo de estos sistemas contiene una combinación de otras fuentes acústicas; Los ruidos externos, así como los acoplamientos acústicos de las señales de los altavoces, abruman y atenúan la señal de voz deseada. Además de estas fuentes externas, la intensidad de la señal deseada se reduce debido a la distancia relativa entre el altavoz y los micrófonos. Las técnicas de procesamiento de matrices han abierto nuevas oportunidades en el procesamiento del habla para atenuar el ruido y el eco sin degradar la calidad ni afectar negativamente a la señal del habla. En general, se pueden utilizar técnicas de procesamiento de matrices en el procesamiento de voz para reducir la potencia de cálculo (número de cálculos) y mejorar la calidad del sistema (el rendimiento). Representar la señal como una suma de subbandas y adaptar filtros de cancelación para las señales de subbandas puede reducir la potencia de cálculo demandada y conducir a un sistema de mayor rendimiento. Depender de múltiples canales de entrada permite diseñar sistemas de mayor calidad en comparación con los sistemas que usan un solo canal y resolver problemas como la localización, seguimiento y separación de fuentes, que no se pueden lograr en el caso de usar un solo canal. ^[9]

• Procesamiento de matrices en aplicaciones de astronomía

El entorno astronómico contiene una mezcla de señales y ruidos externos que afectan la calidad de las señales deseadas. La mayoría de las aplicaciones de procesamiento de matrices en astronomía están relacionadas con el procesamiento de imágenes. La matriz se utiliza para lograr una mayor calidad que no se puede lograr utilizando un solo canal. La alta calidad de la imagen facilita el análisis cuantitativo y la comparación con imágenes en otras longitudes de onda. En general, los conjuntos astronómicos se pueden dividir en dos clases: la clase de formación de haces y la clase de correlación. La formación de haces es una técnica de procesamiento de señales que produce haces de matriz sumada desde una dirección de interés, utilizada básicamente en la transmisión o recepción de señales direccionales. La idea básica es combinar elementos en una matriz en fase de modo que algunas señales experimenten inferencia destructiva y otras experimenten inferencia constructiva. Los conjuntos de correlación proporcionan imágenes de todo el patrón de haz primario de un solo elemento, calculadas fuera de línea a partir de registros de todas las correlaciones posibles entre las antenas, por pares.

Una antena del Allen Telescope Array

• Otras aplicaciones

Además de estas aplicaciones, se han desarrollado muchas aplicaciones basadas en técnicas de procesamiento de matrices: formación de haces acústicos para aplicaciones de audífonos, separación ciega infradeterminada de fuentes mediante matrices acústicas, matriz de imágenes por ultrasonido digital 3D/4D, antenas inteligentes, radar de apertura sintética, bajo el agua. imágenes acústicas y conjuntos de sensores químicos...etc. ^{[3] [4] [5]}

Modelo general y formulación de problemas.

Considere un sistema que consta de un conjunto de r sensores arbitrarios que tienen ubicaciones y direcciones arbitrarias (características direccionales) que reciben señales generadas por q fuentes de banda estrecha de frecuencia central conocida ω y ubicaciones θ1, θ2, θ3, θ4... θq. . dado que las señales son de banda estrecha, el retardo de propagación a través del conjunto es mucho menor que el recíproco del ancho de banda de la señal y se deduce que al utilizar una representación envolvente compleja, la salida del conjunto se puede expresar (por el sentido de superposición) como: ^{[3] [5] [8]}
${\displaystyle \textstyle x(t)=\sum _{K=1}^{q}a(\theta _{k})s_{k}(t)+n(t)}$

Dónde:

• ${\displaystyle x(t)}$es el vector de las señales recibidas por los sensores de la matriz,
• ${\displaystyle s_{k}(t)}$es la señal emitida por la k-ésima fuente recibida en el sensor de frecuencia 1 de la matriz,
• ${\displaystyle a(\theta _{k})}$es el vector de dirección de la matriz hacia la dirección ( ), ${\displaystyle \theta _{k}}$
• τi(θk): es el retardo de propagación entre el primer y el iésimo sensor para una forma de onda procedente de la dirección (θk),
• ${\displaystyle n(t)}$es el vector de ruido.

La misma ecuación también se puede expresar en forma de vectores:
${\displaystyle \textstyle \mathbf {x} (t)=A(\theta )s(t)+n(t)}$

Si asumimos ahora que se toman M instantáneas en los instantes t1, t2...tM, los datos se pueden expresar como:
${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {A} (\theta )\mathbf {S} +\mathbf {N} }$

Donde X y N son las matrices r × M y S es q × M:
${\displaystyle \mathbf {X} =[x(t_{1}),......,x(t_{M})]}$
${\displaystyle \mathbf {N} =[n(t_{1}),......,n(t_{M})]}$
${\displaystyle \mathbf {S} =[s(t_{1}),......,s(t_{M})]}$

Definición del problema
“El objetivo es estimar los DOA θ1, θ2, θ3, θ4…θq de las fuentes a partir de la instantánea M de la matriz x(t1)… x(tM). En otras palabras, lo que nos interesa es estimar los DOA de las señales del emisor que inciden en el conjunto receptor, cuando se le da un conjunto de datos finito {x(t)} observado en t=1, 2... M. Esto se hará básicamente usando el estadísticas de datos de segundo orden” ^{[5] [8]}

Para resolver este problema (para garantizar que existe una solución válida), ¿tenemos que agregar condiciones o supuestos sobre el entorno operativo y/o el modelo utilizado? Dado que se utilizan muchos parámetros para especificar el sistema, como la cantidad de fuentes, la cantidad de elementos de la matriz, etc. ¿Existen condiciones que deban cumplirse primero? Para lograr este objetivo queremos hacer las siguientes suposiciones: ^{[1] [3] [5]}

1. El número de señales es conocido y es menor que el número de sensores, q < r .
2. El conjunto de cualesquiera q vectores de dirección es linealmente independiente.
3. Medio isotrópico y no dispersivo – Propagación uniforme en todas las direcciones.
4. Cero ruido blanco medio y señal, no correlacionados.
5. Campo lejano.

a. Radio de propagación >> tamaño de la matriz.

b. Propagación de ondas planas.

A lo largo de este estudio, se supondrá que se considera conocido el número de señales subyacentes, q, en el proceso observado. Sin embargo, existen técnicas buenas y consistentes para estimar este valor incluso si no se conoce.

Técnicas de estimación

En general, las técnicas de estimación de parámetros se pueden clasificar en: métodos basados ​​en espectros y métodos basados ​​en paramétricos . En el primero, se forma alguna función espectral del parámetro o parámetros de interés. Las ubicaciones de los picos más altos (separados) de la función en cuestión se registran como estimaciones DOA. Las técnicas paramétricas, por otro lado, requieren una búsqueda simultánea de todos los parámetros de interés. La ventaja básica de utilizar el enfoque paramétrico en comparación con el enfoque espectral es la precisión, aunque a expensas de una mayor complejidad computacional. ^{[1] [3] [5]}

Soluciones basadas en espectros

Las soluciones algorítmicas basadas en espectros se pueden clasificar además en técnicas de formación de haces y técnicas basadas en el subespacio.

Técnica de formación de haces

El primer método utilizado para especificar y localizar automáticamente las fuentes de señal mediante conjuntos de antenas fue la técnica de formación de haces. La idea detrás de la formación de haces es muy simple: dirigir la matriz en una dirección a la vez y medir la potencia de salida. Los lugares de dirección donde tenemos la potencia máxima producen las estimaciones de DOA. La respuesta del conjunto se controla formando una combinación lineal de las salidas del sensor. ^{[3] [5] [8]} Descripción general del enfoque Donde Rx es la matriz de covarianza de la muestra . Diferentes enfoques de formación de haces corresponden a diferentes elecciones del vector de ponderación F. Las ventajas de utilizar la técnica de formación de haces son la simplicidad, la facilidad de uso y la comprensión. Si bien la desventaja de utilizar esta técnica es la baja resolución.

${\displaystyle \textstyle 1.\ R_{x}={\frac {1}{M}}\sum _{t=1}^{M}\mathbf {x} (t)\mathbf {x} ^{*}(t)}$
${\displaystyle \textstyle 2.\ Calculate\ B(W_{i})=F^{*}R_{x}F(W_{i})}$
${\displaystyle \textstyle 3.\ Find\ Peaks\ of\ B(W_{i})\ for\ all\ possible\ w_{i}'s.}$
${\displaystyle \textstyle 4.\ Calculate\ \theta _{k},\ i=1,....q.}$

Técnica basada en el subespacio

Muchos métodos espectrales en el pasado han recurrido a la descomposición espectral de una matriz de covarianza para llevar a cabo el análisis. Se produjo un avance muy importante cuando se invocó explícitamente la estructura propia de la matriz de covarianza y sus propiedades intrínsecas se utilizaron directamente para proporcionar una solución a un problema de estimación subyacente para un proceso observado determinado. Una clase de técnicas de estimación espectral espacial se basa en la descomposición de valores propios de la matriz de covarianza espacial. La razón detrás de este enfoque es que se quiere enfatizar las opciones para el vector de dirección a(θ) que corresponden a las direcciones de la señal. El método explota la propiedad de que las direcciones de llegada determinan la estructura propia de la matriz.
El tremendo interés en los métodos basados ​​en el subespacio se debe principalmente a la introducción del algoritmo MUSIC (Clasificación de Señales Múltiples) . MUSIC se presentó originalmente como un estimador de DOA, luego se ha devuelto con éxito al problema de análisis espectral/identificación de sistemas con su desarrollo posterior. ^{[3] [5] [8]}

Descripción general del enfoque donde se encuentra la matriz de vectores propios de ruido.
${\displaystyle \textstyle 1.\ Subspace\ decomposition\ by\ performing\ eigenvalue\ decomposition:}$
${\displaystyle \textstyle R_{x}=\mathbf {A} \mathbf {R} _{s}\mathbf {A} ^{*}+\sigma ^{2}I=\sum _{k=1}^{M}\lambda _{k}e_{k}r_{k}^{*}}$
${\displaystyle \textstyle 2.\ span\{\mathbf {A} \}=spane\{e1,....,e_{d}\}=span\{\mathbf {E} _{s}\}.}$
${\displaystyle \textstyle 3.\ Check\ which\ a(\theta )\ \epsilon span\{\mathbf {E} _{s}\}\ or\ \mathbf {P} _{A}a(\theta )\ or\ P_{\mathbf {A} }^{\perp }a(\theta ),\ where\ \mathbf {P} _{A}\ is\ a\ projection\ matrix.}$
${\displaystyle \textstyle 4.\ Search\ for\ all\ possible\ \theta \ such\ that:\left|P_{\mathbf {A} }^{\perp }a(\theta )\right|^{2}=0\ or\ M(\theta )={\frac {1}{P_{A}a(\theta )}}=\infty }$
${\displaystyle \textstyle 5.\ After\ EVD\ of\ R_{x}:}$
${\displaystyle \textstyle P_{A}^{\perp }=I-E_{s}E_{s}^{*}=E_{n}E_{n}^{*}}$
${\displaystyle E_{n}=[e_{d}+1,....,e_{M}]}$

Los enfoques del espectro de MÚSICA utilizan una realización única del proceso estocástico que se representa mediante las instantáneas x (t), t=1, 2 ...M. Las estimaciones de MUSIC son consistentes y convergen con las fuentes reales a medida que el número de instantáneas crece hasta el infinito. Un inconveniente básico del enfoque MUSIC es su sensibilidad a los errores del modelo. En MÚSICA se requiere un costoso procedimiento de calibración y es muy sensible a errores en el procedimiento de calibración. El costo de la calibración aumenta a medida que aumenta el número de parámetros que definen el conjunto de matrices.

Soluciones basadas en paramétricos

Si bien los métodos basados ​​en espectros presentados en la sección anterior son computacionalmente atractivos, no siempre arrojan suficiente precisión. En particular, para los casos en los que tenemos señales altamente correlacionadas, el rendimiento de los métodos basados ​​en espectros puede ser insuficiente. Una alternativa es explotar más plenamente el modelo de datos subyacente, lo que lleva a los llamados métodos de procesamiento de matrices paramétricas. El costo de utilizar estos métodos para aumentar la eficiencia es que los algoritmos normalmente requieren una búsqueda multidimensional para encontrar las estimaciones. El enfoque basado en modelos más utilizado en el procesamiento de señales es la técnica de máxima verosimilitud (ML). Este método requiere un marco estadístico para el proceso de generación de datos. Al aplicar la técnica ML al problema de procesamiento de matrices, se han considerado dos métodos principales dependiendo del supuesto del modelo de datos de señal. Según el Stochastic ML, las señales se modelan como procesos aleatorios gaussianos. Por otro lado, en el ML determinista las señales se consideran cantidades deterministas desconocidas que deben estimarse junto con la dirección de llegada. ^{[3] [5] [8]}

Enfoque de aprendizaje automático estocástico

El método estocástico de máxima verosimilitud se obtiene modelando las formas de onda de la señal como un proceso aleatorio gaussiano bajo el supuesto de que el proceso x(t) es un proceso gaussiano estacionario, de media cero, que está completamente descrito por su matriz de covarianza de segundo orden. Este modelo es razonable si las mediciones se obtienen filtrando señales de banda ancha utilizando un filtro de paso de banda estrecho. Descripción general del enfoque

${\displaystyle \textstyle 1.\ Find\ W_{K}\ to\ minimize:}$
${\displaystyle \textstyle min_{a^{*}(\theta _{k}w_{k}=1)}\ E\{\left|W_{k}X(t)\right|^{2}\}}$
${\displaystyle \textstyle =min_{a^{*}(\theta _{k}w_{k}=1)}\ W_{k}^{*}R_{k}W_{k}}$
${\displaystyle \textstyle 2.\ Use\ the\ langrange\ method:}$
${\displaystyle \textstyle min_{a^{*}(\theta _{k}w_{k}=1)}\ E\{\left|W_{k}X(t)\right|^{2}\}}$
${\displaystyle \textstyle =min_{a^{*}(\theta _{k}w_{k}=1)}\ W_{k}^{*}R_{k}W_{k}+2\mu (a^{*}(\theta _{k})w_{k}\Leftrightarrow 1)}$
${\displaystyle \textstyle 3.\ Differentiating\ it,\ we\ obtain}$
${\displaystyle \textstyle R_{x}w_{k}=\mu a(\theta _{k}),\ or\ W_{k}=\mu R_{x}^{-1}a(\theta _{k})}$
${\displaystyle \textstyle 4.\ since}$
${\displaystyle \textstyle a^{*}(\theta _{k})W_{k}=\mu a(\theta _{k})^{*}R_{x}^{-1}a(\theta _{k})=1}$
${\displaystyle \textstyle Then}$
${\displaystyle \textstyle \mu =a(\theta _{k})^{*}R_{x}^{-1}a(\theta _{k})}$
${\displaystyle \textstyle 5.\ Capon's\ Beamformer}$
${\displaystyle \textstyle W_{k}=R_{x}^{-1}a(\theta _{k})/(a^{*}(\theta _{k})R_{x}^{-1}a(\theta _{k}))}$

Enfoque determinista de ML

Si bien se puede considerar que el ruido de fondo y del receptor en el modelo de datos supuesto emana de un gran número de fuentes de ruido independientes, normalmente no ocurre lo mismo con las señales del emisor. Por lo tanto, parece natural modelar el ruido como un proceso aleatorio blanco gaussiano estacionario, mientras que las formas de onda de la señal son deterministas (arbitrarias) y desconocidas. Según el ML determinista, las señales se consideran cantidades deterministas desconocidas que deben estimarse junto con la dirección de llegada. Este es un modelo natural para aplicaciones de comunicación digital donde las señales están lejos de ser variables aleatorias normales y donde la estimación de la señal es de igual interés. ^{[3] [4]}

Espectrómetro de correlación

El problema de calcular la correlación por pares como función de la frecuencia se puede resolver mediante dos formas matemáticamente equivalentes pero distintas. Mediante el uso de la Transformada Discreta de Fourier (DFT) es posible analizar señales tanto en el dominio del tiempo como en el dominio espectral. El primer enfoque es la correlación "XF" porque primero correlaciona antenas (la operación "X") utilizando una convolución de "retraso" en el dominio del tiempo y luego calcula el espectro (la operación "F") para cada línea de base resultante. El segundo enfoque "FX" aprovecha el hecho de que la convolución es equivalente a la multiplicación en el dominio de Fourier. Primero calcula el espectro para cada antena individual (la operación F) y luego multiplica por pares todas las antenas para cada canal espectral (la operación X). Un correlador FX tiene una ventaja sobre los correlacionadores XF en que la complejidad computacional es O (N ² ). Por lo tanto, los correlacionadores FX son más eficientes para matrices más grandes. ^[10]

Los espectrómetros de correlación como el interferómetro de Michelson varían el desfase de tiempo entre las señales y obtienen el espectro de potencia de las señales de entrada. El espectro de potencia de una señal está relacionado con su función de autocorrelación mediante una transformada de Fourier: ^[11] ${\displaystyle S_{\text{XX}}(f)}$

donde la función de autocorrelación para la señal X en función del retardo de tiempo es ${\displaystyle R_{\text{XX}}(\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$

La espectroscopía de correlación cruzada con interferometría espacial es posible simplemente sustituyendo una señal por voltaje en la ecuación II para producir la correlación cruzada y el espectro cruzado . ${\displaystyle V_{Y}(t)}$ ${\displaystyle R_{\text{XY}}(\tau )}$ ${\displaystyle S_{\text{XY}}(f)}$

Ejemplo: filtrado espacial

En radioastronomía, se deben mitigar las interferencias de RF para detectar y observar cualquier objeto y evento significativo en el cielo nocturno.

Un conjunto de radiotelescopios con una onda de radio entrante e interferencia de RF

Proyectando la interferencia

Para un conjunto de radiotelescopios con una firma espacial de la fuente de interferencia que no es una función conocida de la dirección de la interferencia y su variación temporal, la matriz de covarianza de la señal toma la forma: ${\displaystyle \mathbf {a} }$

${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R} _{v}+\sigma _{s}^{2}\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\dagger }+\sigma _{n}^{2}\mathbf {I} }$

donde es la matriz de covarianza de visibilidades (fuentes), es la potencia de la fuente de interferencia, es la potencia del ruido y denota la transpuesta hermitiana. Se puede construir una matriz de proyección que, cuando se multiplica por la izquierda y la derecha por la matriz de covarianza de la señal, reducirá el término de interferencia a cero. ${\displaystyle \mathbf {R} _{v}}$ ${\displaystyle \sigma _{s}^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{n}^{2}}$ ${\displaystyle \dagger }$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{a}^{\perp }}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{a}^{\perp }=\mathbf {I} -\mathbf {a} (\mathbf {a} ^{\dagger }\mathbf {a} )^{-1}\mathbf {a} ^{\dagger }}$

Entonces la matriz de covarianza de señal modificada queda:

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {R} }}=\mathbf {P} _{a}^{\perp }\mathbf {R} \mathbf {P} _{a}^{\perp }=\mathbf {P} _{a}^{\perp }\mathbf {R} _{v}\mathbf {P} _{a}^{\perp }+\sigma _{n}^{2}\mathbf {P} _{a}^{\perp }}$

Dado que generalmente no se conoce, se puede construir utilizando la descomposición propia de , en particular la matriz que contiene una base ortonormal del subespacio de ruido, que es el complemento ortogonal de . Las desventajas de este enfoque incluyen alterar la matriz de covarianza de visibilidades y colorear el término de ruido blanco. ^[12] ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{a}^{\perp }}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$

Blanqueamiento espacial

Este esquema intenta hacer que el término interferencia más ruido sea espectralmente blanco. Para hacer esto, izquierda y derecha se multiplican con factores de raíz cuadrada inversa de los términos de interferencia más ruido. ${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {R} }}=(\sigma _{s}^{2}\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\dagger }+\sigma _{n}^{2}\mathbf {I} )^{-{\frac {1}{2}}}\mathbf {R} (\sigma _{s}^{2}\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\dagger }+\sigma _{n}^{2}\mathbf {I} )^{-{\frac {1}{2}}}}$

El cálculo requiere manipulaciones matriciales rigurosas, pero da como resultado una expresión de la forma:

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {R} }}=(\cdot )^{-{\frac {1}{2}}}\mathbf {R} _{v}(\cdot )^{-{\frac {1}{2}}}+\mathbf {I} }$

Este enfoque requiere manipulaciones de matrices mucho más intensivas desde el punto de vista computacional y nuevamente se altera la matriz de covarianza de visibilidades. ^[13]

Resta de estimación de interferencia

Como se desconoce, la mejor estimación es el vector propio dominante de la descomposición propia de , y de la misma manera la mejor estimación de la potencia de interferencia es , donde es el valor propio dominante de . Se puede restar el término de interferencia de la matriz de covarianza de la señal: ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{\dagger }}$ ${\displaystyle \sigma _{s}^{2}\approx \lambda _{1}-\sigma _{n}^{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {R} }}=\mathbf {R} -\sigma _{s}^{2}\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\dagger }}$

Multiplicando por derecha e izquierda : ${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {R} }}\approx (\mathbf {I} -\alpha \mathbf {u} _{1}\mathbf {u} _{1}^{\dagger })\mathbf {R} (\mathbf {I} -\alpha \mathbf {u} _{1}\mathbf {u} _{1}^{\dagger })=\mathbf {R} -\mathbf {u} _{1}\mathbf {u} _{1}^{\dagger }\lambda _{1}(2\alpha -\alpha ^{2})}$

donde seleccionando el adecuado . Este esquema requiere una estimación precisa del término de interferencia, pero no altera el término de ruido ni de las fuentes. ^[14] ${\displaystyle \lambda _{1}(2\alpha -\alpha ^{2})\approx \sigma _{s}^{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$

Resumen

La técnica de procesamiento de matrices representa un gran avance en el procesamiento de señales. Se presentan muchas aplicaciones y problemas que se pueden resolver utilizando técnicas de procesamiento de matrices. Además de estas aplicaciones, en los próximos años aumentará el número de aplicaciones que incluyen una forma de procesamiento de señales en matriz. Se espera que la importancia del procesamiento de matrices crezca a medida que la automatización se vuelva más común en el entorno y las aplicaciones industriales; los avances adicionales en el procesamiento de señales digitales y los sistemas de procesamiento de señales digitales también respaldarán los altos requisitos de cálculo exigidos por algunas de las técnicas de estimación.

En este artículo enfatizamos la importancia del procesamiento de matrices enumerando las aplicaciones más importantes que incluyen algún tipo de técnica de procesamiento de matrices. Describimos brevemente las diferentes clasificaciones de enfoques basados ​​en procesamiento de matrices, espectrales y paramétricos. Se tratan algunos de los algoritmos más importantes y también se explican y analizan las ventajas y desventajas de estos algoritmos.

Ver también

• Matriz en fases
• Procesamiento adaptativo espacio-temporal
• Periodograma
• Filtro coincidente
• El método de Welch.
• El método de Bartlett.
• SAMV

Referencias

1. Torlak, M. Procesamiento de matrices espaciales. Seminario de Procesamiento de Señales e Imágenes. Universidad de Texas en Austin.
2. J Li, Peter Stoica (Eds) (2009). Procesamiento de señales de radar MIMO . Estados Unidos: J Wiley & Sons.
3. Peter Stoica , R Moisés (2005). Análisis Espectral de Señales (PDF) . Nueva Jersey: Prentice Hall.
4. J Li, Peter Stoica (Eds) (2006). Robusta formación de haces adaptativa . Estados Unidos: J Wiley & Sons.
5. Singh, Hema; Jha, RakeshMohan (2012), Tendencias en el procesamiento de matrices adaptativas
6. "Acerca de nosotros". NORSAR. Archivado desde el original el 20 de junio de 2013 . Consultado el 6 de junio de 2013 .
7. "Mejora del procesamiento de matrices IMS". Norsar.no. Archivado desde el original el 21 de agosto de 2012 . Consultado el 6 de agosto de 2012 .
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