Péndulo cónico

Reloj de péndulo cónico monumental de Farcot, 1878

Un péndulo cónico consiste en un peso (o pesa ) fijado al extremo de una cuerda o varilla suspendida de un pivote. Su construcción es similar a la de un péndulo ordinario ; sin embargo, en lugar de oscilar hacia adelante y hacia atrás a lo largo de un arco circular, la masa de un péndulo cónico se mueve a velocidad constante en un círculo o elipse con la cuerda (o varilla) trazando un cono . El péndulo cónico fue estudiado por primera vez por el científico inglés Robert Hooke alrededor de 1660 ^[1] como modelo para el movimiento orbital de los planetas . ^[2] En 1673, el científico holandés Christiaan Huygens calculó su período, utilizando su nuevo concepto de fuerza centrífuga en su libro Horologium Oscillatorium . Posteriormente se utilizó como elemento de cronometraje en algunos relojes mecánicos y otros dispositivos de cronometraje. ^{[3] [4]}

Usos

Durante el siglo XIX, los péndulos cónicos se utilizaban como elemento de cronometraje en algunos mecanismos de cronometraje donde se requería un movimiento suave, a diferencia del movimiento inevitablemente entrecortado que proporcionaban los péndulos ordinarios. ^[4] Dos ejemplos fueron los mecanismos para girar las lentes de los faros para barrer sus rayos a través del mar, y los motores de ubicación de los telescopios de montura ecuatorial , para permitir que el telescopio siga una estrella suavemente a través del cielo mientras la Tierra gira. ^[3]

Uno de los usos más importantes del péndulo cónico fue el gobernador de bola de aire ( gobernador centrífugo ) inventado por James Watt en 1788, que regulaba la velocidad de las máquinas de vapor durante la Era del Vapor en el siglo XIX.

Algunos juegos de patio de recreo, incluido el tenis tótem y el tetherball , utilizan una pelota unida a un poste mediante una cuerda que funciona como un péndulo cónico, aunque en el tetherball el péndulo se acorta a medida que la cuerda se enrolla alrededor del poste. Algunas atracciones de parques de atracciones también actúan como péndulos cónicos.

Análisis

Considere un péndulo cónico que consta de una masa de masa m que gira sin fricción en un círculo con rapidez constante v sobre una cuerda de longitud L formando un ángulo θ con la vertical.

Hay dos fuerzas que actúan sobre la pesa:

• la tensión T en la cuerda, que se ejerce a lo largo de la línea de la cuerda y actúa hacia el punto de suspensión.
• el peso de la pesa hacia abajo mg , donde m es la masa de la pesa y g es la aceleración gravitacional local .

La fuerza ejercida por la cuerda se puede descomponer en una componente horizontal, T  sin( θ ), hacia el centro del círculo, y una componente vertical, T  cos( θ ), en dirección hacia arriba. Según la segunda ley de Newton , la componente horizontal de la tensión en la cuerda le da a la pesa una aceleración centrípeta hacia el centro del círculo:

${\displaystyle T\sin \theta ={\frac {mv^{2}}{r}}\,}$

Péndulo cónico cuya masa se desplaza en un círculo horizontal de radio r . La pesa tiene masa m y está suspendida de una cuerda de longitud L. La fuerza de tensión de la cuerda que actúa sobre la pesa es el vector T y el peso de la pesa es el vector mg .

Como no hay aceleración en la dirección vertical, la componente vertical de la tensión en la cuerda es igual y opuesta al peso de la pesa:

${\displaystyle T\cos \theta =mg\,}$

Estas dos ecuaciones pueden resolverse para T / m e igualarse, eliminando así T y m y obteniendo la aceleración centrípeta:

${\displaystyle {g\tan \theta }={\frac {v^{2}}{r}}}$

Un pequeño reordenamiento da:

${\displaystyle {\frac {g}{\cos \theta }}={\frac {v^{2}}{r\sin \theta }}}$

Dado que la velocidad de la pesa del péndulo es constante, se puede expresar como la circunferencia 2 πr dividida por el tiempo t requerido para una revolución de la pesa:

${\displaystyle v={\frac {2\pi r}{t}}}$

Sustituyendo v en el lado derecho de esta ecuación en la ecuación anterior, encontramos:

${\displaystyle {\frac {g}{\cos \theta }}={\frac {({\frac {2\pi r}{t}})^{2}}{r\sin \theta }}={\frac {(2\pi )^{2}r}{t^{2}\sin \theta }}}$

Usando la identidad trigonométrica tan( θ ) = sin( θ ) / cos( θ ) y resolviendo para t , el tiempo requerido para que la pesa recorra una revolución es

${\displaystyle t=2\pi {\sqrt {\frac {r}{g\tan \theta }}}}$

En un experimento práctico, r varía y no es tan fácil de medir como la longitud constante de la cuerda L. r se puede eliminar de la ecuación observando que r , h y L forman un triángulo rectángulo, siendo θ el ángulo entre el cateto h y la hipotenusa L (ver diagrama). Por lo tanto,

${\displaystyle r=L\sin \theta \,}$

Sustituyendo este valor por r se obtiene una fórmula cuyo único parámetro variable es el ángulo de suspensión  θ : ^[5]

${\displaystyle \,t=2\pi {\sqrt {\frac {L\cos \theta }{g}}}\,}$

Para ángulos pequeños θ , cos( θ ) ≈ 1; en ese caso

${\displaystyle t\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}$

de modo que para ángulos pequeños el período t de un péndulo cónico es igual al período de un péndulo ordinario de la misma longitud. Además, el período para ángulos pequeños es aproximadamente independiente de los cambios en el ángulo θ . Esto significa que el período de rotación es aproximadamente independiente de la fuerza aplicada para mantenerlo girando. Esta propiedad, llamada isocronismo, se comparte con los péndulos ordinarios y hace que ambos tipos de péndulos sean útiles para medir el tiempo.

Ver también

• Las tres leyes del movimiento de Newton
• Péndulo
• Péndulo (matemáticas)

Referencias

1. O'Connor, JJ; EF Robertson (agosto de 2002). "Robert Hooke". Biografías, Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas . Facultad de Matemáticas y Estadística, Univ. de St. Andrews, Escocia . Consultado el 21 de febrero de 2009 .
2. Nauenberg, Michael (2006). "La contribución fundamental de Robert Hooke a la dinámica orbital". Robert Hooke: Estudios del tricentenario . Publicación Ashgate. págs. 17-19. ISBN 0-7546-5365-X.
3. Beckett, Edmund (Lord Grimsthorpe) (1874). Un tratado rudimentario sobre relojes, relojes y campanas, 6ª ed. Londres: Lockwood & Co. págs. 22-26.
4. "Reloj". Encyclopædia Britannica, novena edición . vol. 6. Henry G. Allen Co. 1890. pág. 15 . Consultado el 25 de febrero de 2008 .
5. Serway, Raymond (1986). Física para científicos e ingenieros, segunda ed . Publicaciones de Saunders College. pag. 109.ISBN​ 0-03-004534-7.

enlaces externos

• Una simulación interactiva en Java de un péndulo cónico.