Péndulo balístico

Péndulo utilizado para medir el impulso de una bala.

Un péndulo balístico verde

Animación de un péndulo balístico

El péndulo balístico es un dispositivo que permite medir el momento de una bala y, a partir del cual, es posible calcular la velocidad y la energía cinética . Los péndulos balísticos han quedado prácticamente obsoletos gracias a los cronógrafos modernos , que permiten medir directamente la velocidad del proyectil.

Aunque el péndulo balístico se considera obsoleto, se mantuvo en uso durante un período de tiempo significativo y condujo a grandes avances en la ciencia de la balística . El péndulo balístico todavía se encuentra en las aulas de física hoy en día, debido a su simplicidad y utilidad para demostrar propiedades de momento y energía. A diferencia de otros métodos para medir la velocidad de una bala, los cálculos básicos para un péndulo balístico no requieren ninguna medición de tiempo, sino que se basan solo en medidas de masa y distancia. ^[1]

Además de sus usos principales para medir la velocidad de un proyectil o el retroceso de un arma, el péndulo balístico se puede utilizar para medir cualquier transferencia de momento. Por ejemplo, un péndulo balístico fue utilizado por el físico CV Boys para medir la elasticidad de las pelotas de golf , ^[2] y por el físico Peter Guthrie Tait para medir el efecto que tenía el giro en la distancia recorrida por una pelota de golf. ^{[3] [4]}

Historia

Péndulo balístico (1911)

El péndulo balístico fue inventado en 1742 por el matemático inglés Benjamin Robins (1707-1751), y publicado en su libro Nuevos principios de artillería , que revolucionó la ciencia de la balística, ya que proporcionó la primera forma de medir con precisión la velocidad de una bala. ^{[2] [5]}

Robins utilizó el péndulo balístico para medir la velocidad de un proyectil de dos maneras. La primera consistía en unir el arma al péndulo y medir el retroceso . Como el momento del arma es igual al momento del material expulsado y como el proyectil era (en esos experimentos) la gran mayoría de la masa del material expulsado, se podía aproximar la velocidad de la bala. El segundo método, más preciso, consistía en medir directamente el momento de la bala disparándola contra el péndulo. Robins experimentó con balas de mosquete de alrededor de una onza de masa (28 g), mientras que otros contemporáneos utilizaron sus métodos con balas de cañón de una a tres libras (0,5 a 1,4 kg). ^[6]

El trabajo original de Robins utilizaba un péndulo de hierro pesado , revestido de madera, para atrapar la bala. Las reproducciones modernas, utilizadas como demostraciones en las clases de física, generalmente utilizan un peso pesado suspendido de un brazo muy fino y liviano, e ignoran la masa del brazo del péndulo. El péndulo de hierro pesado de Robins no permitía esto, y el enfoque matemático de Robins era ligeramente más complejo. Utilizó el período de oscilación y la masa del péndulo (ambos medidos con la bala incluida) para calcular la inercia rotacional del péndulo, que luego se utilizó en los cálculos. Robins también utilizó un trozo de cinta , sujetado sin apretar con una abrazadera, para medir el recorrido del péndulo. El péndulo dibujaba una longitud de cinta igual a la cuerda del recorrido del péndulo. ^[7]

El primer sistema que sustituyó a los péndulos balísticos con medidas directas de la velocidad de los proyectiles se inventó en 1808, durante las guerras napoleónicas , y utilizaba un eje que giraba rápidamente a una velocidad conocida con dos discos de papel sobre él; la bala se disparaba a través de los discos, paralelos al eje, y la diferencia angular en los puntos de impacto proporcionaba un tiempo transcurrido a lo largo de la distancia entre los discos. Una medida directa de relojería electromecánica apareció en 1848, con un reloj accionado por resorte que se ponía en marcha y se detenía mediante electroimanes, cuya corriente se interrumpía cuando la bala pasaba a través de dos mallas de cables finos, lo que proporcionaba de nuevo el tiempo necesario para recorrer la distancia dada. ^[2]

Derivaciones físicas

La mayoría de los libros de texto de física ofrecen un método simplificado para calcular la velocidad de la bala, que utiliza la masa de la bala y el péndulo, así como la altura del recorrido del péndulo, para calcular la cantidad de energía y momento en el sistema formado por el péndulo y la bala. Los cálculos de Robins eran mucho más complejos y utilizaban una medida del período de oscilación para determinar la inercia rotacional del sistema.

Derivación simple

Comenzamos con el movimiento del sistema bala-péndulo desde el instante en que el péndulo es golpeado por la bala.

Dados , la aceleración debida a la gravedad, y , la altura final del péndulo, es posible calcular la velocidad inicial del sistema bala-péndulo utilizando la conservación de la energía mecánica (energía cinética + energía potencial). Sea esta velocidad inicial denotada por . Supongamos que las masas de la bala y el péndulo son y respectivamente. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle m_{b}}$ ${\displaystyle m_{p}}$

La energía cinética inicial del sistema. ${\displaystyle K_{initial}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(m_{b}+m_{p})\cdot v_{1}^{2}}$

Tomando la altura inicial del péndulo como referencia de energía potencial , la energía potencial final cuando el sistema bala-péndulo se detiene está dada por ${\displaystyle (U_{initial}=0)}$ ${\displaystyle (K_{final}=0)}$ ${\displaystyle U_{final}=(m_{b}+m_{p})\cdot g\cdot h}$

Entonces, por la conservación de la energía mecánica, tenemos: ^[8]

${\displaystyle K_{initial}=U_{final}\,}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(m_{b}+m_{p})\cdot v_{1}^{2}=(m_{b}+m_{p})\cdot g\cdot h}$

Resuelva la velocidad para obtener: ${\displaystyle v_{1}={\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$

Ahora podemos utilizar la conservación del momento para el sistema bala-péndulo para obtener la velocidad de la bala, , antes de que impacte el péndulo. Igualando el momento de la bala antes de que impacte el péndulo con el del sistema bala-péndulo tan pronto como la bala impacta el péndulo (y utilizando lo anterior), obtenemos: ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle v_{1}={\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$

${\displaystyle m_{\textrm {b}}\cdot v_{0}=(m_{\textrm {b}}+m_{\textrm {p}})\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$

Resolviendo para : ${\displaystyle v_{0}}$

${\displaystyle v_{0}={\frac {(m_{\textrm {b}}+m_{\textrm {p}})\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}{m_{\textrm {b}}}}=\left(1+{\frac {m_{\textrm {p}}}{m_{\textrm {b}}}}\right)\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}$

• Caso de prueba con pistola de aire comprimido y rifle de aire comprimido
• Crosman 1377, calibre .177, peso del perdigón 0,5 gramos, peso del bloque 45 gramos
• 
  Crosman 1377, energía 10,6 julios (10 especificados), velocidad inicial 206 metros por segundo
• Ekol Ultimate, calibre .25, peso del perdigón 1,15 gramos, peso del bloque 80 gramos
• 
  Ekol Ultimate: energía 26,6 julios (30 especificados), velocidad inicial 215 metros por segundo

La fórmula de Robin

El libro original de Robins tenía algunas suposiciones omitidas en la fórmula; por ejemplo, no incluía una corrección para tener en cuenta un impacto de bala que no coincidía con el centro de masa del péndulo. Una fórmula actualizada, con esta omisión corregida, fue publicada en Philosophical Transactions of the Royal Society el año siguiente. El matemático suizo Leonhard Euler , que desconocía esta corrección, corrigió de forma independiente esta omisión en su traducción alemana anotada del libro. ^[6] La fórmula corregida, que aparece en una edición de 1786 del libro, fue:

${\displaystyle v=614.58gc\cdot {\frac {p+b}{birn}}}$

dónde:

• ${\displaystyle v}$es la velocidad de la pelota en unidades por segundo
• ${\displaystyle b}$es la masa de la pelota
• ${\displaystyle p}$es la masa del péndulo
• ${\displaystyle g}$es la distancia desde el pivote hasta el centro de gravedad
• ${\displaystyle i}$es la distancia desde el pivote hasta el punto de impacto de la pelota
• ${\displaystyle c}$es la cuerda, medida con la cinta descrita en el aparato de Robins
• ${\displaystyle r}$es el radio, o distancia desde el pivote de la fijación de la cinta
• ${\displaystyle n}$es el número de oscilaciones que hace el péndulo en un minuto

Los petirrojos usaban pies para la longitud y onzas para la masa, aunque se pueden sustituir por otras unidades, como pulgadas o libras, siempre que se mantenga la consistencia. ^[7]

Fórmula de Poisson

El matemático francés Siméon Denis Poisson derivó una fórmula basada en la inercia rotacional similar a la de Robins y la publicó en The Mécanique Physique para medir la velocidad de la bala utilizando el retroceso del arma:

${\displaystyle mvcf=Mbk'{\sqrt {gh}}}$

dónde:

• ${\displaystyle m}$es la masa de la bala
• ${\displaystyle v}$es la velocidad de la bala
• ${\displaystyle c}$es la distancia desde el pivote hasta la cinta
• ${\displaystyle f}$es la distancia desde el eje del orificio hasta el punto de pivote
• ${\displaystyle M}$es la masa combinada del cañón y el péndulo
• ${\displaystyle b}$¿La cuerda se mide con la cinta?
• ${\displaystyle k'}$es el radio desde el pivote hasta el centro de masa del cañón y el péndulo (medido por oscilación, según Robins)
• ${\displaystyle g}$es aceleración gravitacional
• ${\displaystyle h}$es la distancia desde el centro de masa del péndulo hasta el pivote

${\displaystyle k'}$se puede calcular con la ecuación:

${\displaystyle T=\pi {\sqrt {\frac {k'^{2}}{gh}}}}$

Donde es la mitad del período de oscilación. ^[6] ${\displaystyle T}$

El péndulo balístico de Ackley

PO Ackley describió cómo construir y utilizar un péndulo balístico en 1962. El péndulo de Ackley utilizaba un mecanismo de paralelogramo, con un tamaño estandarizado que permitía un medio simplificado de calcular la velocidad. ^[9]

El péndulo de Ackley utilizaba brazos de péndulo de exactamente 66,25 pulgadas (168,3 cm) de longitud, de superficie de apoyo a superficie de apoyo, y utilizaba tensores ubicados en el medio de los brazos para proporcionar un medio de ajustar la longitud del brazo con precisión. Ackley también recomienda masas para el cuerpo del péndulo para varios calibres; 50 libras (22,7 kg) para rimfire hasta el .22 Hornet , 90 libras (40,9 kg) para .222 Remington hasta .35 Whelen y 150 libras (68,2 kg) para calibres de rifle magnum. El péndulo está hecho de un tubo de metal pesado, soldado en un extremo y empaquetado con papel y arena para detener la bala. El extremo abierto del péndulo estaba cubierto con una lámina de goma, para permitir que la bala entrara y evitar que el material se filtrara. ^[9]

Para utilizar el péndulo, se coloca un dispositivo para medir la distancia horizontal de su oscilación, como una varilla ligera que se empuja hacia atrás por la parte trasera del péndulo a medida que se mueve. El tirador se sienta al menos a 15 pies (5 m) de distancia del péndulo (para reducir los efectos de la explosión del cañón sobre el péndulo) y se dispara una bala hacia el péndulo. Para calcular la velocidad de la bala dada la oscilación horizontal, se utiliza la siguiente fórmula: ^[9]

${\displaystyle V={\frac {Mp}{Mb}}0.2018D}$

dónde:

• ${\displaystyle V}$es la velocidad de la bala, en pies por segundo
• ${\displaystyle Mp}$es la masa del péndulo, en granos
• ${\displaystyle Mb}$es la masa de la bala, en granos
• ${\displaystyle D}$es el recorrido horizontal del péndulo, en pulgadas

Para realizar cálculos más precisos, se realizan una serie de cambios, tanto en la construcción como en el uso del péndulo. Los cambios de construcción implican la adición de una pequeña caja en la parte superior del péndulo. Antes de pesar el péndulo, la caja se llena con una cantidad de balas del tipo que se está midiendo. Por cada disparo realizado, se puede sacar una bala de la caja, manteniendo así constante la masa del péndulo. El cambio de medición implica medir el período del péndulo. Se hace oscilar el péndulo y se mide el número de oscilaciones completas durante un largo período de tiempo, de cinco a diez minutos. El tiempo se divide por el número de oscilaciones para obtener el período. Una vez hecho esto, la fórmula genera una constante más precisa para reemplazar el valor 0,2018 en la ecuación anterior. Al igual que antes, la velocidad de la bala se calcula utilizando la fórmula: ^[9] ${\displaystyle C={\frac {pi}{T12}}}$

${\displaystyle V={\frac {Mp}{Mb}}CD}$

Referencias

1. "Péndulo balístico". Enciclopedia Británica .
2. Jervis-Smith, Frederick John (1911). "Cronógrafo"  . En Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica . Vol. 6 (11.ª ed.). Cambridge University Press. pág. 302.
3. Gustaf Hjalmar Eneström (1903). Biblioteca Matemática. BG Teubner.
4. Artículos científicos de Peter Guthrie Tait, vol. 2. Cambridge University Press. 1900. pág. 374.
5. Benjamin Robins (1742). Nuevos principios de artillería. pág. 25.
6. Edward John Routh (1905). La parte elemental de Un tratado sobre la dinámica de un sistema de cuerpos rígidos . Macmillan.
7. Benjamin Robins; James Wilson; Charles Hutton (1805). Nuevos principios de artillería. F. Wingrave.
8. "Péndulo balístico". Universidad Estatal de Georgia .
9. PO Ackley (1962). Manual para tiradores y recargadores, volumen I. Plaza Publishing., páginas 191-195

Bibliografía

• Benjamin Robins, James Wilson, Charles Hutton (1805). Nuevos principios de artillería . F. Wingrave.
• "Péndulo balístico". Enciclopedia Británica

Enlaces externos

• Calculadora de péndulo balístico
• Péndulo balístico demostrado por Walter Lewin