Multiplete

En física y particularmente en física de partículas , un multiplete es el espacio de estados para los grados de libertad "internos" de una partícula, es decir, los grados de libertad asociados a una partícula en sí misma, en oposición a los grados de libertad "externos", como la posición de la partícula en el espacio. Ejemplos de tales grados de libertad son el estado de espín de una partícula en mecánica cuántica, o el estado de color , isospín e hipercarga de las partículas en el modelo estándar de física de partículas. Formalmente, describimos este espacio de estados mediante un espacio vectorial que lleva la acción de un grupo de simetrías continuas.

Formulación matemática

Matemáticamente, los multipletes se describen a través de representaciones de un grupo de Lie o su álgebra de Lie correspondiente , y generalmente se utilizan para referirse a representaciones irreducibles (irreps, para abreviar).

A nivel de grupo, este es un triplete donde ${\displaystyle (V,G,\rho )}$

• ${\displaystyle V}$es un espacio vectorial sobre un campo (en el sentido algebraico) , generalmente tomado como o ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• ${\displaystyle G}$es un grupo de Lie. Suele ser un grupo de Lie compacto.
• ${\displaystyle \rho }$es un homomorfismo de grupo , es decir, una función del grupo en el espacio de funciones lineales invertibles en . Esta función debe conservar la estructura del grupo: pues tenemos . ${\displaystyle G\rightarrow {\text{GL}}(V)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G,}$ ${\displaystyle \rho (g_{1}\cdot g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2})}$

A nivel de álgebra, esto es un triplete , donde ${\displaystyle (V,{\mathfrak {g}},\rho )}$

• ${\displaystyle V}$Es como antes.
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un álgebra de Lie. A menudo es un álgebra de Lie de dimensión finita sobre o . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• ${\displaystyle \rho }$es un homomorfismo del álgebra de Lie . Se trata de una función lineal que conserva el corchete de Lie: porque tenemos . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V)}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2}\in {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle \rho ([X_{1},X_{2}])=[\rho (X_{1}),\rho (X_{2})]}$

El símbolo se utiliza tanto para las álgebras de Lie como para los grupos de Lie ya que, al menos en la dimensión finita, existe una correspondencia bien entendida entre los grupos de Lie y las álgebras de Lie. ${\displaystyle \rho }$

En matemáticas, es común referirse al homomorfismo como la representación, por ejemplo en la oración "consideremos una representación ", y al espacio vectorial como "espacio de representación". En física, a veces se hace referencia al espacio vectorial como la representación, por ejemplo en la oración "modelamos la partícula como transformándose en la representación singlete", o incluso para referirse a un campo cuántico que toma valores en tal representación, y a las partículas físicas que son modeladas por tal campo cuántico. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle V}$

Para una representación irreducible, an - plet se refiere a una representación irreducible dimensional. Generalmente, un grupo puede tener múltiples representaciones no isomórficas de la misma dimensión, por lo que esto no caracteriza completamente la representación. Una excepción es que tiene exactamente una representación irreducible de dimensión para cada entero no negativo . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Por ejemplo, considere el espacio tridimensional real, . El grupo de rotaciones 3D SO(3) actúa naturalmente en este espacio como un grupo de matrices. Esta realización explícita del grupo de rotación se conoce como la representación fundamental , por lo que es un espacio de representación. Los datos completos de la representación son . Dado que la dimensión de este espacio de representación es 3, esto se conoce como la representación triplete para , y es común denotarla como . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle \rho _{\text{fund}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},{\text{SO(3)}},\rho _{\text{fund}})}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(3)}$ ${\displaystyle \mathbf {3} }$

Aplicación a la física teórica

Para las aplicaciones a la física teórica, podemos limitar nuestra atención a la teoría de la representación de un puñado de grupos físicamente importantes. Muchos de ellos tienen una teoría de la representación bien entendida:

• ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$: Parte del grupo de calibración del modelo estándar y del grupo de calibración de las teorías del electromagnetismo. Los Irreps son todos unidimensionales y están indexados por números enteros , dados explícitamente por . El índice puede entenderse como el número de vueltas del mapa. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \rho _{n}:{\text{U}}(1)\rightarrow {\text{GL}}(\mathbb {C} );e^{i\theta }\mapsto e^{in\theta }}$
• ${\displaystyle {\text{SU}}(2)\cong {\text{Spin}}(3)}$: Parte del grupo de calibración del modelo estándar. Los Irreps se indexan mediante números enteros no negativos en , con que describe la dimensión de la representación o, con la normalización adecuada, el peso más alto de la representación. En física, es una convención común etiquetarlos con semienteros en su lugar. Consulte Teoría de representación de SU(2) . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle {\text{SO}}(3)}$: El grupo de rotaciones del espacio 3D. Las irreps son las irreps de dimensión impar de ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$
• ${\displaystyle {\text{SU}}(3)}$: Parte del grupo de calibración del modelo estándar. Los Irreps son pares indexados de números enteros no negativos que describen el peso más alto de la representación. Consulte los coeficientes de Clebsch-Gordan para SU(3) . ${\displaystyle (m,n)}$
• ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$: El grupo de Lorentz , las simetrías lineales del espacio-tiempo plano. Todas las representaciones surgen como representaciones de su grupo de espín correspondiente. Véase Teoría de la representación del grupo de Lorentz .
• ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\cong {\text{Spin}}(1,3)}$:El grupo de espín de . Los Irreps están indexados por pares de números enteros no negativos , indexando la dimensión de la representación. ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$ ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$
• ${\displaystyle {\text{E}}(1,3)\cong \mathbb {R} ^{1,3}\rtimes {\text{SO}}(1,3)}$: El grupo de Poincaré de isometrías del espacio-tiempo plano. Esto puede entenderse en términos de la teoría de representación de los grupos antes mencionados. Véase la clasificación de Wigner .

Todos estos grupos aparecen en la teoría del modelo estándar. Para las teorías que amplían estas simetrías, se podría considerar la teoría de la representación de algunos otros grupos:

• Simetría conforme: Para el espacio pseudo-euclidiano, las simetrías se describen mediante el grupo conforme . ${\displaystyle {\text{Conf}}(p,q)\cong O(p,q)/\mathbb {Z} _{2}}$
• Supersimetría: Simetría descrita por un supergrupo.
• Teorías de gran unificación: grupos de gauge que contienen el grupo de gauge del modelo estándar como subgrupo. Los candidatos propuestos incluyen y . ${\displaystyle {\text{SU}}(5),{\text{SO}}(10)}$ ${\displaystyle {\text{E}}_{6}}$

Física

Teoría cuántica de campos

En física cuántica, la noción matemática se aplica generalmente a representaciones del grupo de calibración . Por ejemplo, una teoría de calibración tendrá multipletes que son campos cuya representación de está determinada por el único número semientero , el isospín. Dado que las representaciones irreducibles son isomorfas a la potencia simétrica n de la representación fundamental, cada campo tiene índices internos simetrizados. ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle s=:n/2}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Los campos también se transforman bajo representaciones del grupo de Lorentz , o más generalmente su grupo de espín que puede identificarse con debido a un isomorfismo excepcional . Los ejemplos incluyen campos escalares , comúnmente denotados , que se transforman en la representación trivial, campos vectoriales (estrictamente, esto podría etiquetarse con mayor precisión como un campo covector), que se transforma como un 4-vector, y campos de espinores como los espinores de Dirac o Weyl que se transforman en representaciones de . Un espinor de Weyl diestro se transforma en la representación fundamental, , de . ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$ ${\displaystyle {\text{Spin}}(1,3)}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Tenga en cuenta que, además del grupo de Lorentz, un campo puede transformarse bajo la acción de un grupo de calibración. Por ejemplo, un campo escalar , donde es un punto del espacio-tiempo, podría tener un estado de isospín que tome valores en la representación fundamental de . Entonces es una función vectorial del espacio-tiempo, pero aún se lo conoce como un campo escalar, ya que se transforma trivialmente bajo las transformaciones de Lorentz. ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

En la teoría cuántica de campos, las diferentes partículas se corresponden una a una con campos calibrados que se transforman en representaciones irreducibles del grupo interno y de Lorentz. Por lo tanto, un multiplete también ha llegado a describir una colección de partículas subatómicas descritas por estas representaciones.

Ejemplos

El ejemplo más conocido es un multiplete de espín , que describe simetrías de una representación de grupo de un subgrupo SU(2) del álgebra de Lorentz , que se utiliza para definir la cuantificación del espín. Un singlete de espín es una representación trivial, un doblete de espín es una representación fundamental y un triplete de espín está en la representación vectorial o en la representación adjunta .

En QCD , los quarks están en un multiplete de SU(3) , específicamente la representación fundamental tridimensional.

Otros usos

Espectroscopia

En espectroscopia, en particular en espectroscopia gamma y espectroscopia de rayos X , un multiplete es un grupo de líneas espectrales relacionadas o irresolubles . Cuando el número de líneas no resueltas es pequeño, se las suele denominar específicamente picos dobletes o tripletes, mientras que el multiplete se utiliza para describir grupos de picos en cualquier número.

Referencias

• Georgi, H. (1999). Álgebras de Lie en física de partículas: del isospín a las teorías unificadas (1.ª ed.). CRC Press. https://doi.org/10.1201/9780429499210

Véase también

• Hipercarga
• Isospín
• Giro (física)
• Representación grupal
• Multiplicidad (química)