En matemáticas, una matriz ortogonal (más específicamente, una matriz ortogonal de nivel fijo ) es una "tabla" (matriz) cuyas entradas provienen de un conjunto finito fijo de símbolos (por ejemplo, {1,2,..., v } ), organizado de tal manera que hay un número entero t de modo que para cada selección de t columnas de la tabla, todas las t - tuplas ordenadas de los símbolos, formadas tomando las entradas en cada fila restringidas a estas columnas, aparecen iguales numero de veces. El número t se llama fuerza de la matriz ortogonal. Aquí hay dos ejemplos:
El ejemplo de la izquierda es el de una matriz ortogonal con conjunto de símbolos {1,2} y fuerza 2. Observe que los cuatro pares ordenados (2-tuplas) formados por las filas restringidas a la primera y tercera columnas, a saber (1,1 ), (2,1), (1,2) y (2,2), son todos los pares ordenados posibles del conjunto de dos elementos y cada uno aparece exactamente una vez. La segunda y tercera columnas darían (1,1), (2,1), (2,2) y (1,2); Nuevamente, todos los pares ordenados posibles aparecen cada uno una vez. La misma afirmación sería válida si se hubieran utilizado las columnas primera y segunda. Por tanto, se trata de una matriz ortogonal de fuerza dos.
En el ejemplo de la derecha, [1] las filas restringidas a las tres primeras columnas contienen los 8 posibles tripletes ordenados que constan de 0 y 1, cada uno de los cuales aparece una vez. Lo mismo se aplica a cualquier otra elección de tres columnas. Por tanto, se trata de un conjunto ortogonal de fuerza 3.
Una matriz ortogonal de niveles mixtos es aquella en la que cada columna puede tener un número diferente de símbolos. A continuación se ofrece un ejemplo.
Los conjuntos ortogonales generalizan, en forma tabular, la idea de cuadrados latinos mutuamente ortogonales . Estos arreglos tienen muchas conexiones con otros diseños combinatorios y tienen aplicaciones en el diseño estadístico de experimentos , teoría de codificación , criptografía y varios tipos de pruebas de software .
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Para t ≤ k , una matriz ortogonal de tipo ( N, k, v, t ) – una OA( N, k, v, t ) para abreviar – es una matriz N × k cuyas entradas se eligen de un conjunto X con v puntos (un v -set ) tal que en cada subconjunto de t columnas de la matriz, cada t -tupla de puntos de X se repite el mismo número de veces. El número de repeticiones suele denominarse λ.
En muchas aplicaciones, estos parámetros reciben los siguientes nombres:
La definición de fuerza conduce a la relación de parámetros.
Una matriz ortogonal es simple si no contiene filas repetidas. ( Las submatrices de t columnas pueden tener filas repetidas, como en el ejemplo de OA(18, 7, 3, 2) que se muestra en esta sección).
Una matriz ortogonal es lineal si X es un campo finito F q de orden q ( q una potencia prima) y las filas de la matriz forman un subespacio del espacio vectorial ( F q ) k . [2] El ejemplo de la derecha en la introducción es lineal sobre el campo F 2 . Cada matriz ortogonal lineal es simple.
En una matriz ortogonal de niveles mixtos, los símbolos en las columnas se pueden elegir de diferentes conjuntos que tengan diferentes números de puntos, como en el siguiente ejemplo: [3]
Esta matriz tiene fuerza 2:
Por lo tanto, puede denotarse como OA(8, 5, 2 4 4 1 , 2), como se analiza a continuación. La expresión 2 4 4 1 indica que cuatro factores tienen 2 niveles y uno tiene 4 niveles.
Como en este ejemplo, no existe un único "índice" o número de repetición λ en una matriz ortogonal de nivel mixto de fuerza t : cada submatriz de t columnas puede tener una λ diferente.
Los términos simétrico y asimétrico a veces se utilizan para nivel fijo y nivel mixto . Aquí la simetría se refiere a la propiedad de que todos los factores tienen el mismo número de niveles, no a la "forma" de la matriz: una matriz ortogonal simétrica casi nunca es una matriz simétrica .
La notación OA( N, k, v, t ) a veces se contrae de modo que uno puede, por ejemplo, escribir simplemente OA( k, v ), [4] siempre que el texto deje claro los valores de los parámetros no declarados. En la otra dirección, se puede ampliar para matrices de niveles mixtos. Aquí se escribiría OA( N, k, v 1 ···v k , t ), donde la columna i tiene v i niveles. Esta notación generalmente se acorta cuando se repiten los valores v , de modo que se escribe OA(8, 5, 2 4 4 1 , 2) para el ejemplo al final de la última sección, en lugar de OA(8, 5, 2·2 ·2·2·4, 2). De manera similar, se puede acortar OA( N, k, v, t ) a OA( N, v k , t ) para matrices de nivel fijo.
Esta notación OA no incluye explícitamente el índice λ, pero λ puede recuperarse de los otros parámetros mediante la relación N = λ v t . Esto es efectivo cuando todos los parámetros tienen valores numéricos específicos, pero menos cuando se pretende una clase de matrices ortogonales. Por ejemplo, cuando se indica la clase de matrices que tienen resistencia t = 2 e índice λ=1, la notación OA( N, k, v, 2 ) es insuficiente para determinar λ por sí sola. Esto normalmente se soluciona escribiendo OA( v 2 , k, v, 2) en su lugar. Si bien las notaciones que incluyen explícitamente el parámetro λ no tienen este problema, no pueden extenderse fácilmente para denotar matrices de niveles mixtos.
Algunos autores definen un OA ( N, k, v, t ) como k × N en lugar de N × k . En tales casos, la fuerza de la matriz se define en términos de un subconjunto de t filas en lugar de columnas.
Excepto por el prefijo OA, la notación OA( N, k, v, t ) es la misma que la introducida por Rao. [5] Si bien esta notación es muy común, no es universal. Hedayat, Sloane y Stufken [6] lo recomiendan como estándar, pero enumeran ocho alternativas encontradas en la literatura y hay otras. [8]
Un ejemplo de OA(16, 5, 4, 2); un diseño de fuerza 2, 4 niveles de índice 1 con 16 carreras:
Un ejemplo de OA(27, 5, 3, 2) (escrito como transposición para facilitar la visualización): [9]
Este ejemplo tiene índice λ = 3.
Una matriz que consta de todas las k -tuplas de un v -conjunto, dispuestas de modo que las k -tuplas sean filas, automáticamente ( "trivialmente" ) tiene fuerza k , al igual que un OA ( v k , k, v, k ). Cualquier OA( N, k, v, k ) se consideraría trivial ya que dichas matrices se construyen fácilmente simplemente enumerando todas las k -tuplas del conjunto v λ veces.
Un OA( n 2 , 3, n , 2) es equivalente a un cuadrado latino de orden n . Para k ≤ n +1, un OA( n 2 , k, n , 2) es equivalente a un conjunto de k − 2 cuadrados latinos mutuamente ortogonales de orden n . Estas matrices ortogonales de índice uno y fuerza 2 también se conocen como diseños cuadrados hipergrecolatinos en la literatura estadística.
Sea A una matriz ortogonal de fuerza 2, índice 1 en un n -conjunto de elementos, identificado con el conjunto de números naturales {1,..., n }. Elija y corrija, en orden, dos columnas de A , llamadas columnas de indexación . Debido a que la fuerza es 2 y el índice es 1, todos los pares ordenados ( i , j ) con 1 ≤ i , j ≤ n aparecen exactamente una vez en las filas de las columnas de indexación. Aquí i y j indexarán a su vez las filas y columnas de un cuadrado n × n . Tome cualquier otra columna de A y llene la celda ( i , j ) de este cuadrado con la entrada que está en esta columna de A y en la fila de A cuyas columnas de indexación contienen ( i , j ). El cuadrado resultante es un cuadrado latino de orden n . Por ejemplo, considere este OA(9, 4, 3, 2):
Al elegir las columnas 3 y 4 (en ese orden) como columnas de indexación, la primera columna produce el cuadrado latino
mientras que la segunda columna produce el cuadrado latino
Estos dos cuadrados, además, son ortogonales entre sí. En general, los cuadrados latinos producidos de esta manera a partir de una matriz ortogonal serán cuadrados latinos ortogonales, por lo que las k − 2 columnas distintas de las columnas de indexación producirán un conjunto de k − 2 cuadrados latinos mutuamente ortogonales .
Esta construcción es completamente reversible y, por lo tanto, se pueden construir matrices ortogonales de fuerza 2, índice 1 a partir de conjuntos de cuadrados latinos mutuamente ortogonales. [10]
Las matrices ortogonales proporcionan una forma uniforme de describir estos diversos objetos que son de interés en el diseño estadístico de experimentos .
Como se mencionó en la sección anterior, un cuadrado latino de orden n puede considerarse como un OA ( n 2 , 3, n , 2). En realidad, la matriz ortogonal puede conducir a seis cuadrados latinos, ya que cualquier par ordenado de columnas distintas puede usarse como columnas de indexación. Sin embargo, todos estos son isotópicos y se consideran equivalentes. Para ser más concretos, siempre asumiremos que las dos primeras columnas en su orden natural se utilizan como columnas de indexación.
En la literatura estadística, un cubo latino es una matriz tridimensional n × n × n que consta de n capas, cada una con n filas y n columnas, de modo que los n elementos distintos que aparecen se repiten n 2 veces y se organizan de manera que en cada En una capa paralela a cada uno de los tres pares de caras opuestas del cubo aparecen todos los n elementos distintos y cada uno se repite exactamente n veces en esa capa. [11]
Tenga en cuenta que con esta definición una capa de un cubo latino no tiene por qué ser un cuadrado latino. De hecho, ninguna fila, columna o archivo (las celdas de una posición particular en las diferentes capas) necesita ser una permutación de los n símbolos. [12]
Un cubo latino de orden n es equivalente a un OA ( n 3 , 4, n , 2). [9]
Dos cubos latinos de orden n son ortogonales si, entre los n 3 pares de elementos elegidos de las celdas correspondientes de los dos cubos, cada par ordenado distinto de elementos aparece exactamente n veces. Un conjunto de k - 3 cubos latinos mutuamente ortogonales de orden n es equivalente a un OA ( n 3 , k, n , 2). [9] Un ejemplo de un par de cubos latinos mutuamente ortogonales de orden tres se dio como OA(27, 5, 3, 2) en la sección de Ejemplos anterior.
A diferencia del caso de los cuadrados latinos, en los que no hay restricciones, las columnas de indexación de la representación de matriz ortogonal de un cubo latino deben seleccionarse para formar un OA ( n 3 , 3, n , 3).
Un hipercubo latino m -dimensional de orden n de la r ésima clase es una matriz n × n × ... × n m -dimensional que tiene n r elementos distintos, cada uno repetido n m − r veces, y tal que cada elemento ocurre exactamente n m − r − 1 veces en cada uno de sus m conjuntos de n subespacios lineales (o "capas") paralelos ( m − 1) dimensionales. Dos hipercubos latinos del mismo orden n y clase r con la propiedad de que, cuando uno se superpone al otro, cada elemento de uno ocurre exactamente n m − 2 r veces con cada elemento del otro, se dice que son ortogonales. . [13]
Un conjunto de k − m hipercubos latinos m -dimensionales mutuamente ortogonales de orden n es equivalente a un OA ( n m , k, n, 2), donde las columnas de indexación forman un OA ( n m , m, n, m ).
Los conceptos de cuadrados latinos y cuadrados latinos mutuamente ortogonales fueron generalizados a cubos e hipercubos latinos, y a cubos e hipercubos latinos ortogonales por Kishen (1942). [14] Rao (1946) generalizó estos resultados a conjuntos de fuerza t . La noción actual de matriz ortogonal como una generalización de estas ideas, debida al legendario científico CR Rao , aparece en Rao (1947), [15] y su generalización a matrices de niveles mixtos apareció en 1973. [16]
Rao inicialmente utilizó el término "matriz" sin modificador y lo definió como simplemente un subconjunto de todas las combinaciones de tratamientos: una matriz simple . La posibilidad de arreglos no simples surgió naturalmente al hacer combinaciones de tratamientos con las filas de una matriz. Hedayat, Sloane y Stufken [17] atribuyen a K. Bush [18] el término "matriz ortogonal".
Existe una OA( 4λ, 4λ − 1, 2, 2) si y sólo si existe una matriz de Hadamard de orden 4 λ . [19] Para proceder en una dirección, sea H una matriz de Hadamard de orden 4 m en forma estandarizada (las entradas de la primera fila y columna son todas +1). Elimine la primera fila y realice la transposición para obtener la matriz ortogonal deseada. [20] El siguiente ejemplo ilustra esto. (La construcción inversa es similar).
La matriz de Hadamard estandarizada de orden 8 a continuación (±1 entradas indicadas solo por signo),
produce el OA(8, 7, 2, 2): [21]
Utilizando las columnas 1, 2 y 4 como columnas de indexación, las columnas restantes producen cuatro cubos latinos mutuamente ortogonales de orden 2.
Sea C ⊆ ( F q ) n , un código lineal de dimensión m con distancia mínima d . Entonces C ⊥ (el complemento ortogonal del subespacio vectorial C ) es un OA (lineal) ( q n-m , n, q, d − 1 ) donde
λ = q n − m − d + 1 . [22]
El intercambio de secretos (también llamado división de secretos ) consiste en métodos para distribuir un secreto entre un grupo de participantes, a cada uno de los cuales se le asigna una parte del secreto. El secreto sólo puede reconstruirse cuando se combina un número suficiente de acciones, posiblemente de diferentes tipos; Las acciones individuales no sirven por sí solas. Un esquema de intercambio de secretos es perfecto si cada grupo de participantes que no cumple con los criterios para obtener el secreto no tiene conocimiento adicional de cuál es el secreto que un individuo sin compartir.
En un tipo de esquema de intercambio secreto hay un crupier y n jugadores . El crupier entrega partes de un secreto a los jugadores, pero sólo cuando se cumplan condiciones específicas los jugadores podrán reconstruir el secreto. El crupier logra esto dándole a cada jugador una parte de tal manera que cualquier grupo de t (para el umbral ) o más jugadores puedan juntos reconstruir el secreto, pero ningún grupo de menos de t jugadores puede hacerlo. Un sistema de este tipo se denomina esquema de umbral ( t , n ).
Se puede utilizar un OA ( v t , n+1, v, t ) para construir un esquema de umbral ( t , n ) perfecto. [23]
Un experimento factorial es un experimento estructurado estadísticamente en el que se aplican varios factores (niveles de riego, antibióticos, fertilizantes, etc.) a cada unidad experimental en un número finito de niveles , que pueden ser cuantitativos o cualitativos. [24] En un experimento factorial completo es necesario probar todas las combinaciones de niveles de los factores. En un diseño factorial fraccionado sólo se utiliza un subconjunto de combinaciones de tratamientos.
Se puede utilizar una matriz ortogonal para diseñar un experimento factorial fraccionario. Las columnas representan los diversos factores y las entradas son los niveles en los que se observan los factores. Una ejecución experimental es una fila de una matriz ortogonal, es decir, una combinación específica de niveles de factores. La fuerza de la matriz determina la resolución del diseño fraccionario. Cuando se utiliza uno de estos diseños, las unidades de tratamiento y el orden de los ensayos deben ser aleatorios tanto como lo permita el diseño. Por ejemplo, una recomendación es que se seleccione aleatoriamente una matriz ortogonal de tamaño adecuado entre las disponibles y que luego el orden de ejecución sea aleatorio.
Los diseños de niveles mixtos ocurren naturalmente en el entorno estadístico.
Los conjuntos ortogonales jugaron un papel central en el desarrollo de los métodos Taguchi por Genichi Taguchi , que tuvo lugar durante su visita al Instituto de Estadística de la India a principios de los años cincuenta. Sus métodos fueron aplicados y adoptados con éxito por las industrias japonesa e india y posteriormente también fueron adoptados por la industria estadounidense, aunque con algunas reservas [ cita requerida ] . El catálogo de Taguchi [25] contiene matrices de nivel fijo y mixto.
La prueba de matriz ortogonal es una técnica de prueba de caja negra que es una forma estadística y sistemática de prueba de software . [26] [27] Se utiliza cuando el número de entradas al sistema es relativamente pequeño, pero demasiado grande para permitir pruebas exhaustivas de cada entrada posible a los sistemas . [26] Es particularmente eficaz para encontrar errores asociados con una lógica defectuosa dentro de los sistemas de software informático . [26] Las matrices ortogonales se pueden aplicar en pruebas de interfaz de usuario , pruebas de sistemas , pruebas de regresión y pruebas de rendimiento . Las permutaciones de los niveles de factores que comprenden un solo tratamiento se eligen de manera que sus respuestas no estén correlacionadas y, por lo tanto, cada tratamiento proporcione una información única . El efecto neto de organizar el experimento en tales tratamientos es que se recopila la misma información en el mínimo número de experimentos .
Numerosos artículos sobre la utilización de matrices ortogonales para pruebas de sistemas y software.
{{cite book}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )
Este artículo incorpora material de dominio público del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología.