matriz de vandermonde

Concepto matemático

En álgebra lineal , una matriz de Vandermonde , llamada así en honor a Alexandre-Théophile Vandermonde , es una matriz con los términos de una progresión geométrica en cada fila: una matriz ${\displaystyle (m+1)\times (n+1)}$

${\displaystyle V=V(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{m})={\begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{m}&x_{m}^{2}&\dots &x_{m}^{n}\end{bmatrix}}}$

con entradas , la j ^-ésima potencia del número , para todos los índices de base cero y . ^[1] Algunos autores definen la matriz de Vandermonde como la transpuesta de la matriz anterior. ^{[2] [3]} ${\displaystyle V_{i,j}=x_{i}^{j}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

El determinante de una matriz de Vandermonde cuadrada (cuando ) se llama determinante de Vandermonde o polinomio de Vandermonde . Su valor es: ${\displaystyle n=m}$

${\displaystyle \det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).}$

Esto es distinto de cero si y sólo si todos son distintos (no hay dos iguales), lo que hace que la matriz de Vandermonde sea invertible . ${\displaystyle x_{i}}$

Aplicaciones

El problema de interpolación polinómica consiste en encontrar un polinomio que satisfaga puntos de datos dados . Este problema se puede reformular en términos de álgebra lineal mediante la matriz de Vandermonde, de la siguiente manera. calcula los valores de en los puntos mediante una multiplicación de matrices , donde es el vector de coeficientes y es el vector de valores (ambos escritos como vectores de columna): ${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}}$ ${\displaystyle p(x_{0})=y_{0},\ldots ,p(x_{m})=y_{m}}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{m},y_{m})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle x=x_{0},\ x_{1},\dots ,\ x_{m}}$ ${\displaystyle Va=y}$ ${\displaystyle a=(a_{0},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle y=(y_{0},\ldots ,y_{m})=(p(x_{0}),\ldots ,p(x_{m}))}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{m}&x_{m}^{2}&\dots &x_{m}^{n}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p(x_{0})\\p(x_{1})\\\vdots \\p(x_{m})\end{bmatrix}}.}$$

Vmatriz invertibleVy^[4] ${\displaystyle n=m}$ ${\displaystyle x_{0},\dots ,\ x_{n}}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Va=y}$

${\displaystyle a=V^{-1}y}$.

Es decir, la aplicación de coeficientes a valores de polinomios es una aplicación lineal biyectiva con matriz V , y el problema de interpolación tiene una solución única. Este resultado se llama teorema de unisolvencia y es un caso especial del teorema chino del resto para polinomios .

En estadística , la ecuación significa que la matriz de Vandermonde es la matriz de diseño de regresión polinómica . ${\displaystyle Va=y}$

En análisis numérico , resolver la ecuación ingenuamente mediante eliminación gaussiana da como resultado un algoritmo con complejidad temporal O ( n ³ ). Explotando la estructura de la matriz de Vandermonde, se puede utilizar el método de diferencias divididas de Newton ^[5] (o la fórmula de interpolación de Lagrange ^{[6] [7]} ) para resolver la ecuación en tiempo O( n ² ), que también proporciona la factorización UL de . El algoritmo resultante produce soluciones extremadamente precisas, incluso si está mal condicionado . ^[2] (Ver interpolación polinomial ). ${\displaystyle Va=y}$ ${\displaystyle V^{-1}}$ ${\displaystyle V}$

El determinante de Vandermonde se utiliza en la teoría de la representación del grupo simétrico . ^[8]

Cuando los valores pertenecen a un campo finito , el determinante de Vandermonde también se llama determinante de Moore y tiene propiedades que son importantes en la teoría de los códigos BCH y los códigos de corrección de errores de Reed-Solomon . ${\displaystyle x_{i}}$

La transformada discreta de Fourier se define mediante una matriz de Vandermonde específica, la matriz DFT , donde se eligen como raíces ^enésimas de la unidad . La transformada rápida de Fourier calcula el producto de esta matriz con un vector en tiempo O( n log ² n ). ^[9] ${\displaystyle x_{i}}$

En la teoría física del efecto Hall cuántico , el determinante de Vandermonde muestra que la función de onda de Laughlin con factor de llenado 1 es igual a un determinante de Slater . Esto ya no es cierto para factores de llenado diferentes de 1 en el efecto Hall cuántico fraccionario .

En la geometría de los poliedros , la matriz de Vandermonde proporciona el volumen normalizado de caras arbitrarias de politopos cíclicos . Específicamente, si es una cara del politopo cíclico correspondiente a , entonces ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F=C_{d}(t_{i_{1}},\dots ,t_{i_{k+1}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C_{d}(T)\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle T=\{t_{1}<\cdots <t_{N}\}\subset \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \mathrm {nvol} (F)={\frac {1}{k!}}\prod _{1\leq m<n\leq k+1}{(t_{i_{n}}-t_{i_{m}})}.}$$

Determinante

El determinante de una matriz de Vandermonde cuadrada se llama polinomio de Vandermonde o determinante de Vandermonde . Su valor es el polinomio.

${\displaystyle \det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})}$

que es distinto de cero si y sólo si todos son distintos. ${\displaystyle x_{i}}$

El determinante de Vandermonde antiguamente a veces se llamaba discriminante , pero en la terminología actual el discriminante de un polinomio es el cuadrado del determinante de Vandermonde de las raíces . El determinante de Vandermonde es una forma alterna en , lo que significa que intercambiar dos cambia el signo y, por lo tanto, depende del orden de . Por el contrario, el discriminante no depende de ningún orden, por lo que la teoría de Galois implica que el discriminante es una función polinómica de los coeficientes de . ${\displaystyle p(x)=(x-x_{0})\cdots (x-x_{n})}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \det(V)}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \det(V)^{2}}$ ${\displaystyle p(x)}$

La fórmula determinante se demuestra a continuación de tres maneras. El primero utiliza propiedades polinomiales, especialmente la propiedad única de factorización de los polinomios multivariados . Aunque conceptualmente simple, involucra conceptos no elementales de álgebra abstracta . La segunda prueba se basa en los conceptos de álgebra lineal de cambio de base en un espacio vectorial y el determinante de una aplicación lineal . En el proceso, calcula la descomposición LU de la matriz de Vandermonde. La tercera prueba es más elemental pero más complicada y utiliza sólo operaciones elementales de filas y columnas .

Primera prueba: propiedades polinomiales

La primera prueba se basa en las propiedades de los polinomios.

Según la fórmula de Leibniz , es un polinomio en el , con coeficientes enteros. Todas las entradas de la -ésima columna tienen grado total . Así, nuevamente según la fórmula de Leibniz, todos los términos del determinante tienen grado total ${\displaystyle \det(V)}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle (i-1)}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle 0+1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}};}$

(es decir, el determinante es un polinomio homogéneo de este grado).

Si, por , se sustituye por , se obtiene una matriz con dos filas iguales, que por lo tanto tiene un determinante cero. Así, considerar el determinante como univariante en el teorema del factor implica que es divisor de. De ello se deduce que para todo y , es divisor de ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle x_{i},}$ ${\displaystyle x_{j}-x_{i}}$ ${\displaystyle \det(V).}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle x_{j}-x_{i}}$ ${\displaystyle \det(V).}$

Esto ahora se reforzará para demostrar que el producto de todos esos divisores de es un divisor de De hecho, sea un polinomio con como factor, entonces para algún polinomio If es otro factor de entonces se vuelve cero después de la sustitución de por If el factor se vuelve cero después de esta sustitución, ya que el factor permanece distinto de cero. Entonces, según el teorema del factor, divide y divide ${\displaystyle \det(V)}$ ${\displaystyle \det(V).}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{j}}$ ${\displaystyle p=(x_{i}-x_{j})\,q,}$ ${\displaystyle q.}$ ${\displaystyle x_{k}-x_{l}}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{l}.}$ ${\displaystyle \{x_{i},x_{j}\}\neq \{x_{k},x_{l}\},}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{j}}$ ${\displaystyle x_{k}-x_{l}}$ ${\displaystyle q,}$ ${\displaystyle (x_{i}-x_{j})\,(x_{k}-x_{l})}$ ${\displaystyle p.}$

Iterando este proceso comenzando desde uno se obtiene que es divisible por el producto de todos los que son ${\displaystyle \det(V),}$ ${\displaystyle \det(V)}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{j}}$ ${\displaystyle i<j;}$

${\displaystyle \det(V)=Q\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}),}$

donde es un polinomio. Como producto de todos y tienen el mismo grado , el polinomio es, en realidad, una constante. Esta constante es uno, porque el producto de las diagonales de es , que también es el monomio que se obtiene tomando el primer término de todos los factores en Esto demuestra que y finaliza la prueba. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle x_{j}-x_{i}}$ ${\displaystyle \det(V)}$ ${\displaystyle n(n+1)/2}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x_{1}x_{2}^{2}\cdots x_{n}^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).}$ ${\displaystyle Q=1,}$

${\displaystyle \det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).}$

Segunda prueba: mapas lineales

Sea F un campo que contiene todo y el espacio vectorial F de los polinomios de grado menor o igual a n con coeficientes en F . Dejar ${\displaystyle x_{i},}$ ${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle \varphi :P_{n}\to F^{n+1}}$

ser el mapa lineal definido por

${\displaystyle p(x)\mapsto (p(x_{0}),p(x_{1}),\ldots ,p(x_{n}))}$.

La matriz de Vandermonde es la matriz de con respecto a las bases canónicas de y ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle F^{n+1}.}$

Cambiar la base de equivale a multiplicar la matriz de Vandermonde por una matriz de cambio de base M (desde la derecha). Esto no cambia el determinante, si el determinante de M es ${\displaystyle P_{n}}$1 .

Los polinomios , , ,…, son mónicos de grados respectivos 0, 1,…, n . Su matriz sobre la base del monomio es una matriz triangular superior U (si los monomios están ordenados en grados crecientes), con todas las entradas diagonales iguales a uno. Esta matriz es, por tanto, una matriz de cambio de base del determinante uno. La matriz de sobre esta nueva base es ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x-x_{0}}$ ${\displaystyle (x-x_{0})(x-x_{1})}$ ${\displaystyle (x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{n-1})}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&\ldots &0\\1&x_{1}-x_{0}&0&\ldots &0\\1&x_{2}-x_{0}&(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}-x_{0}&(x_{n}-x_{0})(x_{n}-x_{1})&\ldots &(x_{n}-x_{0})(x_{n}-x_{1})\cdots (x_{n}-x_{n-1})\end{bmatrix}}}$.

Por tanto, el determinante de Vandermonde es igual al determinante de esta matriz, que es el producto de sus entradas diagonales.

Esto prueba la igualdad deseada. Además, la descomposición LU de V se obtiene como . ${\displaystyle V=LU^{-1}}$

Tercera prueba: operaciones de fila y columna

La tercera prueba se basa en el hecho de que si se suma a una columna de una matriz el producto por un escalar de otra columna, el determinante permanece sin cambios.

Entonces, al restar a cada columna, excepto a la primera, la columna anterior multiplicada por , el determinante no cambia. (Estas restas deben hacerse comenzando desde las últimas columnas, para restar una columna que aún no ha sido modificada). Esto da la matriz ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}1&0&0&0&\cdots &0\\1&x_{1}-x_{0}&x_{1}(x_{1}-x_{0})&x_{1}^{2}(x_{1}-x_{0})&\cdots &x_{1}^{n-1}(x_{1}-x_{0})\\1&x_{2}-x_{0}&x_{2}(x_{2}-x_{0})&x_{2}^{2}(x_{2}-x_{0})&\cdots &x_{2}^{n-1}(x_{2}-x_{0})\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}-x_{0}&x_{n}(x_{n}-x_{0})&x_{n}^{2}(x_{n}-x_{0})&\cdots &x_{n}^{n-1}(x_{n}-x_{0})\\\end{bmatrix}}}$

Aplicando la fórmula de expansión de Laplace a lo largo de la primera fila, obtenemos , con ${\displaystyle \det(V)=\det(B)}$

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}x_{1}-x_{0}&x_{1}(x_{1}-x_{0})&x_{1}^{2}(x_{1}-x_{0})&\cdots &x_{1}^{n-1}(x_{1}-x_{0})\\x_{2}-x_{0}&x_{2}(x_{2}-x_{0})&x_{2}^{2}(x_{2}-x_{0})&\cdots &x_{2}^{n-1}(x_{2}-x_{0})\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n}-x_{0}&x_{n}(x_{n}-x_{0})&x_{n}^{2}(x_{n}-x_{0})&\cdots &x_{n}^{n-1}(x_{n}-x_{0})\\\end{bmatrix}}}$

Como todas las entradas en la fila -ésima de tienen un factor de , se pueden eliminar estos factores y obtener ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x_{i+1}-x_{0}}$

${\displaystyle \det(V)=(x_{1}-x_{0})(x_{2}-x_{0})\cdots (x_{n}-x_{0}){\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\\\end{vmatrix}}=\prod _{1<i\leq n}(x_{i}-x_{0})\det(V')}$,

donde hay una matriz de Vandermonde en . Al iterar este proceso en esta matriz de Vandermonde más pequeña, eventualmente se obtiene la expresión deseada de como producto de todo eso . ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle \det(V)}$ ${\displaystyle x_{j}-x_{i}}$ ${\displaystyle i<j}$

Rango de la matriz de Vandermonde

• Una matriz de Vandermonde rectangular de m × n tal que m ≤ n tiene rango m si y sólo si todos los x _i son distintos.
• Una matriz de Vandermonde rectangular de m × n tal que m ≥ n tiene rango n si y solo si hay n de x _i que son distintos.
• Una matriz cuadrada de Vandermonde es invertible si y sólo si las x _i son distintas. Se conoce una fórmula explícita para lo inverso (ver más abajo). ^{[10] [3] [11]}

Matriz de Vandermonde inversa

Como se explicó anteriormente en Aplicaciones, el problema de interpolación polinomial para satisfacer es equivalente a la ecuación matricial , que tiene la solución única . Existen otras fórmulas conocidas que resuelven el problema de interpolación, las cuales deben ser equivalentes a la única , por lo que deben dar fórmulas explícitas para la matriz inversa . En particular, la interpolación de Lagrange muestra que las columnas de la matriz inversa ${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}}$ ${\displaystyle p(x_{0})=y_{0},\ldots ,p(x_{n})=y_{n}}$ ${\displaystyle Va=y}$ ${\displaystyle a=V^{-1}y}$ ${\displaystyle a=V^{-1}y}$ ${\displaystyle V^{-1}}$

$${\displaystyle V^{-1}={\begin{bmatrix}1&x_{0}&\dots &x_{0}^{n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\[.5em]1&x_{n}&\dots &x_{n}^{n}\end{bmatrix}}^{-1}=L={\begin{bmatrix}L_{00}&\!\!\!\!\cdots \!\!\!\!&L_{0n}\\\vdots &&\vdots \\L_{n0}&\!\!\!\!\cdots \!\!\!\!&L_{nn}\end{bmatrix}}}$$

son los coeficientes de los polinomios de Lagrange

${\displaystyle L_{j}(x)=L_{0j}+L_{1j}x+\cdots +L_{nj}x^{n}=\prod _{0\leq i\leq n \atop i\neq j}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}={\frac {f(x)}{(x-x_{j})\,f'(x_{j})}}\,,}$

dónde . Esto se demuestra fácilmente: los polinomios satisfacen claramente mientras , por lo que podemos calcular el producto , la matriz identidad. ${\displaystyle f(x)=(x-x_{0})\cdots (x-x_{n})}$ ${\displaystyle L_{j}(x_{i})=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle L_{j}(x_{j})=1}$ ${\displaystyle VL=[L_{j}(x_{i})]_{i,j=0}^{n}=I}$

Matrices confluentes de Vandermonde

Como se describió anteriormente, una matriz de Vandermonde describe el problema de interpolación de álgebra lineal para encontrar los coeficientes de un polinomio de grado basado en los valores , donde hay puntos distintos . Si no son distintos, entonces este problema no tiene una solución única (y la matriz de Vandermonde correspondiente es singular). Sin embargo, si especificamos los valores de las derivadas en los puntos repetidos, entonces el problema puede tener una solución única. Por ejemplo, el problema ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle p(x_{1}),\,...,\,p(x_{n})}$ ${\displaystyle x_{1},\,...,\,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle {\begin{cases}p(0)=y_{1}\\p'(0)=y_{2}\\p(1)=y_{3}\end{cases}}}$

donde , tiene una solución única para todos . En general, supongamos que son números (no necesariamente distintos) y supongamos, por simplicidad, que valores iguales son adyacentes: ${\displaystyle p(x)=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}}$ ${\displaystyle y_{1}\neq y_{3}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$

${\displaystyle x_{1}=\cdots =x_{m_{1}},\ x_{m_{1}+1}=\cdots =x_{m_{2}},\ \ldots ,\ x_{m_{k-1}+1}=\cdots =x_{m_{k}}}$

donde y son distintos. Entonces el problema de interpolación correspondiente es ${\displaystyle m_{1}<m_{2}<\cdots <m_{k}=n,}$ ${\displaystyle x_{m_{1}},\ldots ,x_{m_{k}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}p(x_{m_{1}})=y_{1},&p'(x_{m_{1}})=y_{2},&\ldots ,&p^{(m_{1}-1)}(x_{m_{1}})=y_{m_{1}},\\p(x_{m_{2}})=y_{m_{1}+1},&p'(x_{m_{2}})=y_{m_{1}+2},&\ldots ,&p^{(m_{2}-m_{1}-1)}(x_{m_{2}})=y_{m_{2}},\\\qquad \vdots &&&\qquad \vdots \\p(x_{m_{k}})=y_{m_{k-1}+1},&p'(x_{m_{k}})=y_{m_{k-1}+2},&\ldots ,&p^{(m_{k}-m_{k-1}-1)}(x_{m_{k}})=y_{m_{k}}.\end{cases}}}$

La matriz correspondiente a este problema se denomina matriz de Vandermonde confluente y se expresa de la siguiente manera. Si , entonces para un único (que denota ). Dejamos ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$ ${\displaystyle m_{\ell }<i\leq m_{\ell +1}}$ ${\displaystyle 0\leq \ell \leq k-1}$ ${\displaystyle m_{0}=0}$

${\displaystyle V_{i,j}={\begin{cases}0&{\text{if }}j<i-m_{\ell },\\[6pt]{\dfrac {(j-1)!}{(j-(i-m_{\ell }))!}}x_{i}^{j-(i-m_{\ell })}&{\text{if }}j\geq i-m_{\ell }.\end{cases}}}$

Esta generalización de la matriz de Vandermonde la hace no singular , de modo que existe una solución única para el sistema de ecuaciones y posee la mayoría de las demás propiedades de la matriz de Vandermonde. Sus filas son derivadas (de algún orden) de las filas originales de Vandermonde.

Otra forma de derivar esta fórmula es tomando un límite de la matriz de Vandermonde como aproximación entre sí. Por ejemplo, para obtener el caso de , reste la primera fila de la segunda en la matriz de Vandermonde original y sea : esto produce la fila correspondiente en la matriz de Vandermonde confluente. De esto se deriva el problema de interpolación generalizada con valores dados y derivadas como límite del caso original con puntos distintos: dar es similar a dar para pequeños . Los geómetras han estudiado el problema de rastrear puntos confluentes a lo largo de sus líneas tangentes, lo que se conoce como compacitificación del espacio de configuración . ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$ ${\displaystyle x_{2}\to x_{1}}$ ${\displaystyle p(x_{i}),p'(x_{i})}$ ${\displaystyle p(x_{i}),p(x_{i}+\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Ver también

• Matriz complementaria § Diagonalizabilidad
• Polinomio de Schur : una generalización
• Matriz alternativa
• polinomio de Lagrange
• Wronskiano
• Lista de matrices
• Determinante de Moore sobre un campo finito
• Las fórmulas de Vieta

Referencias

1. Roger A. Horn y Charles R. Johnson (1991), Temas de análisis matricial , Cambridge University Press. Consulte la Sección 6.1 .
2. Golub, Gene H.; Préstamo de Van, Charles F. (2013). Cálculos matriciales (4ª ed.). Prensa de la Universidad Johns Hopkins. págs. 203-207. ISBN 978-1-4214-0859-0.
3. Macon, N.; A. Spitzbart (febrero de 1958). "Inversas de las matrices de Vandermonde". El Mensual Matemático Estadounidense . 65 (2): 95-100. doi :10.2307/2308881. JSTOR  2308881.
4. François Viète (1540-1603), Fórmulas de Vieta, https://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_matrix/Vieta%27s_formulas
5. Björck, Å.; Pereyra, V. (1970). "Solución de sistemas de ecuaciones de Vandermonde". Sociedad Matemática Estadounidense . 24 (112): 893–903. doi : 10.1090/S0025-5718-1970-0290541-1 . S2CID  122006253.
6. Prensa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 2.8.1. Matrices de Vandermonde". Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
7. Inversa de Vandermonde Matrix (2018), https://proofwiki.org/wiki/Vandermonde_matrix/Inverse_of_Vandermonde_Matrix
8. Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. SEÑOR  1153249. OCLC  246650103. La lección 4 revisa la teoría de la representación de grupos simétricos, incluido el papel del determinante de Vandermonde .
9. Gauthier, J. "Evaluación rápida multipunto en n puntos arbitrarios". Universidad Simon Fraser, Tecnología. Representante (2017).
10. Turner, L. Richard (agosto de 1966). Inversa de la matriz de Vandermonde con aplicaciones (PDF) .
11. "Inversa de la matriz de Vandermonde". 2018.

Otras lecturas

• Ycart, Bernard (2013), "Un caso de eponimia matemática: el determinante de Vandermonde", Revue d'Histoire des Mathématiques , 13 , arXiv : 1204.4716 , Bibcode :2012arXiv1204.4716Y.

enlaces externos

• Matriz de Vandermonde en ProofWiki