Logaritmo natural

Logaritmo a la base de la constante matemática e

El logaritmo natural de un número es su logaritmo a la base de la constante matemática e , que es un número irracional y trascendental aproximadamente igual a2.718 281 828 459 . ^[1] El logaritmo natural de x generalmente se escribe como ln x , log _e x o, a veces, si la base e está implícita, simplemente log x . ^{[2] [3]} A veces se agregan paréntesis para mayor claridad, dando ln( x ) , log _e ( x ) o log( x ) . Esto se hace particularmente cuando el argumento del logaritmo no es un símbolo único, para evitar ambigüedades.

El logaritmo natural de x es la potencia a la que habría que elevar e para igualar x . Por ejemplo, ln 7,5 es 2,0149... , porque e ^2,0149... = 7,5 . El logaritmo natural de e mismo, ln e , es 1 , porque e ¹ = e , mientras que el logaritmo natural de 1 es 0 , ya que e ⁰ = 1 .

El logaritmo natural se puede definir para cualquier número real positivo a como el área bajo la curva y = 1/ x de 1 a a ^[4] (siendo el área negativa cuando 0 < a < 1 ). La simplicidad de esta definición, que coincide con muchas otras fórmulas que involucran el logaritmo natural, lleva al término "natural". La definición de logaritmo natural puede ampliarse para dar valores de logaritmo para números negativos y para todos los números complejos distintos de cero , aunque esto conduce a una función multivaluada : consulte logaritmo complejo para obtener más información.

La función logaritmo natural, si se considera una función de valor real de una variable real positiva, es la función inversa de la función exponencial , lo que lleva a las identidades:

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\ln x}&=x\qquad {\text{ if }}x\in \mathbb {R} _{+}\\\ln e^{x}&=x\qquad {\text{ if }}x\in \mathbb {R} \end{aligned}}}$$

Como todos los logaritmos, el logaritmo natural transforma la multiplicación de números positivos en suma: ^[5]

$${\displaystyle \ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y~.}$$

Los logaritmos se pueden definir para cualquier base positiva distinta de 1, no solo e . Sin embargo, los logaritmos en otras bases difieren sólo por un multiplicador constante del logaritmo natural, y pueden definirse en términos de este último . ${\displaystyle \log _{b}x=\ln x/\ln b=\ln x\cdot \log _{b}e}$

Los logaritmos son útiles para resolver ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente de alguna otra cantidad. Por ejemplo, los logaritmos se utilizan para resolver la vida media , la constante de desintegración o el tiempo desconocido en problemas de desintegración exponencial . Son importantes en muchas ramas de las matemáticas y disciplinas científicas, y se utilizan para resolver problemas que involucran interés compuesto .

Historia

El concepto de logaritmo natural fue elaborado por Gregoire de Saint-Vincent y Alphonse Antonio de Sarasa antes de 1649. ^[6] Su trabajo implicó la cuadratura de la hipérbola con ecuación xy = 1 , mediante la determinación del área de los sectores hiperbólicos . Su solución generó la necesaria función " logaritmo hiperbólico " , que tenía las propiedades ahora asociadas con el logaritmo natural.

Una de las primeras menciones del logaritmo natural fue la de Nicholas Mercator en su obra Logarithmotechnia , publicada en 1668, ^[7] aunque el profesor de matemáticas John Speidell ya había compilado una tabla de lo que en realidad eran logaritmos naturales en 1619. [ ^8] Se ha dicho que los logaritmos de Speidell estaban en la base e , pero esto no es del todo cierto debido a complicaciones con la expresión de los valores como números enteros . ^{[8] : 152}

Convenciones de notación

Las notaciones ln x y log _e x se refieren inequívocamente al logaritmo natural de x , y log x sin una base explícita también puede referirse al logaritmo natural. Este uso es común en matemáticas, junto con algunos contextos científicos, así como en muchos lenguajes de programación . ^{[nb 1]} Sin embargo, en algunos otros contextos, como la química , log x se puede utilizar para indicar el logaritmo común (en base 10) . También puede referirse al logaritmo binario (base 2) en el contexto de la informática , particularmente en el contexto de la complejidad del tiempo .

Definiciones

El logaritmo natural se puede definir de varias formas equivalentes.

Inversa de exponencial

La definición más general es como la función inversa de , de modo que . Debido a que es positiva e invertible para cualquier entrada real , esta definición de está bien definida para cualquier x positiva . Para los números complejos , no es invertible, al igual que una función multivaluada . Para crear una función adecuada de salida única , necesitamos restringirla a una rama principal particular , a menudo denotada por . Como función inversa de , se puede definir invirtiendo la definición habitual de : ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle e^{\ln(x)}=x}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ln(x)}$ ${\displaystyle e^{z}}$ ${\displaystyle \ln(z)}$ ${\displaystyle \ln(z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ln} (z)}$ ${\displaystyle e^{z}}$ ${\displaystyle \ln(z)}$ ${\displaystyle e^{z}}$

$${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}$$

$${\displaystyle \ln(z)=\lim _{n\to \infty }n\cdot ({\sqrt[{n}]{z}}-1)}$$

n

Definición integral

ln a como el área de la región sombreada bajo la curva f ( x ) = 1/ x de 1 a a . Si a es menor que 1 , el área se considera negativa.

El área bajo la hipérbola satisface la regla del logaritmo. Aquí A ( s , t ) denota el área bajo la hipérbola entre s y t .

El logaritmo natural de un número real positivo a se puede definir como el área bajo la gráfica de la hipérbola con ecuación y = 1/ x entre x = 1 y x = a . Esta es la integral ^[4]

$${\displaystyle \ln a=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.}$$

aun área negativa ${\displaystyle (0,1)}$

Esta función es un logaritmo porque satisface la propiedad multiplicativa fundamental de un logaritmo: ^[5]

$${\displaystyle \ln(ab)=\ln a+\ln b.}$$

Esto se puede demostrar dividiendo la integral que define a ln ab en dos partes y luego haciendo la sustitución de la variable x = at (entonces dx = a dt ) en la segunda parte, de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln ab=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}}a\,dt\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\,dt\\[5pt]&=\ln a+\ln b.\end{aligned}}}$$

En términos elementales, esto es simplemente escalar en 1/ a en la dirección horizontal y en a en la dirección vertical. El área no cambia bajo esta transformación, pero la región entre a y ab se reconfigura. Debido a que la función a /( ax ) es igual a la función 1/ x , el área resultante es precisamente ln b .

El número e puede entonces definirse como el único número real a tal que ln a = 1 .

El logaritmo natural también tiene una representación integral impropia, ^[9] que puede derivarse con el teorema de Fubini de la siguiente manera:

$${\displaystyle \ln \left(x\right)=\int _{1}^{x}{\frac {1}{u}}du=\int _{1}^{x}\int _{0}^{\infty }e^{-tu}\ dt\ du=\int _{0}^{\infty }\int _{1}^{x}e^{-tu}\ du\ dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}-e^{-tx}}{t}}dt}$$

Propiedades

El logaritmo natural tiene las siguientes propiedades matemáticas:

• ${\displaystyle \ln 1=0}$
• ${\displaystyle \ln e=1}$
• ${\displaystyle \ln(xy)=\ln x+\ln y\quad {\text{for }}\;x>0\;{\text{and }}\;y>0}$
• ${\displaystyle \ln(x/y)=\ln x-\ln y}$
• ${\displaystyle \ln(x^{y})=y\ln x\quad {\text{for }}\;x>0}$
• ${\displaystyle \ln x<\ln y\quad {\text{for }}\;0<x<y}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}{\frac {x^{\alpha }-1}{\alpha }}=\ln x\quad {\text{for }}\;x>0}$
• ${\displaystyle {\frac {x-1}{x}}\leq \ln x\leq x-1\quad {\text{for}}\quad x>0}$
• ${\displaystyle \ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\text{for}}\quad x\geq 0\;{\text{and }}\;\alpha \geq 1}$

Derivado

La derivada del logaritmo natural como función con valores reales sobre los reales positivos viene dada por ^[4]

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}$$

La forma de establecer esta derivada del logaritmo natural depende de cómo se define de primera mano. Si el logaritmo natural se define como la integral

$${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt,}$$

teorema fundamental del cálculo

Por otro lado, si el logaritmo natural se define como la inversa de la función exponencial (natural), entonces la derivada (para x > 0 ) se puede encontrar usando las propiedades del logaritmo y una definición de la función exponencial.

A partir de la definición del número, la función exponencial se puede definir como ${\displaystyle e=\lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u},}$

$${\displaystyle e^{x}=\lim _{u\to 0}(1+u)^{x/u}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h},}$$

${\displaystyle u=hx,h={\frac {u}{x}}.}$

Luego se puede encontrar la derivada a partir de los primeros principios.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\ln x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)\right]\\&=\lim _{h\to 0}\left[\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\right]\quad &&{\text{all above for logarithmic properties}}\\&=\ln \left[\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\right]\quad &&{\text{for continuity of the logarithm}}\\&=\ln e^{1/x}\quad &&{\text{for the definition of }}e^{x}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h}\\&={\frac {1}{x}}\quad &&{\text{for the definition of the ln as inverse function.}}\end{aligned}}}$$

Además, tenemos:

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln ax={\frac {d}{dx}}(\ln a+\ln x)={\frac {d}{dx}}\ln a+{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}$$

entonces, a diferencia de su función inversa , una constante en la función no altera el diferencial. ${\displaystyle e^{ax}}$

Serie

Los polinomios de Taylor para ln(1 + x ) solo proporcionan aproximaciones precisas en el rango −1 < x ≤ 1 . Más allá de algún x > 1 , los polinomios de Taylor de mayor grado son aproximaciones cada vez peores .

Dado que el logaritmo natural no está definido en 0, en sí mismo no tiene una serie de Maclaurin , a diferencia de muchas otras funciones elementales. En lugar de ello, se buscan expansiones de Taylor alrededor de otros puntos. Por ejemplo, si entonces ^[10] ${\displaystyle \ln(x)}$ ${\displaystyle \vert x-1\vert \leq 1{\text{ and }}x\neq 0,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln x&=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\int _{0}^{x-1}{\frac {1}{1+u}}\,du\\&=\int _{0}^{x-1}(1-u+u^{2}-u^{3}+\cdots )\,du\\&=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(x-1)^{k}}{k}}.\end{aligned}}}$$

Esta es la serie de Taylor para alrededor de 1. Un cambio de variables produce la serie de Mercator : ${\displaystyle \ln x}$

$${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}x^{k}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,}$$

${\displaystyle |x|\leq 1}$ ${\displaystyle x\neq -1.}$

Leonhard Euler , ^[11] sin tener en cuenta , aplicó sin embargo esta serie para demostrar que la serie armónica es igual al logaritmo natural de ; es decir, el logaritmo del infinito. Hoy en día, de manera más formal, se puede demostrar que la serie armónica truncada en N está cerca del logaritmo de N , cuando N es grande, con la diferencia convergiendo a la constante de Euler-Mascheroni . ${\displaystyle x\neq -1}$ ${\displaystyle x=-1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{1-1}}}$

La figura es una gráfica de ln(1 + x ) y algunos de sus polinomios de Taylor alrededor de 0. Estas aproximaciones convergen a la función sólo en la región −1 < x ≤ 1 ; fuera de esta región, los polinomios de Taylor de mayor grado pasan a peores aproximaciones de la función.

Un caso especial útil para enteros positivos n , tomando , es: ${\displaystyle x={\tfrac {1}{n}}}$

$${\displaystyle \ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{kn^{k}}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n^{2}}}+{\frac {1}{3n^{3}}}-{\frac {1}{4n^{4}}}+\cdots }$$

Si entonces ${\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq 1/2,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&=-\ln \left({\frac {1}{x}}\right)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}({\frac {1}{x}}-1)^{k}}{k}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(x-1)^{k}}{kx^{k}}}\\&={\frac {x-1}{x}}+{\frac {(x-1)^{2}}{2x^{2}}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3x^{3}}}+{\frac {(x-1)^{4}}{4x^{4}}}+\cdots \end{aligned}}}$$

Ahora, tomando como números enteros positivos n , obtenemos: ${\displaystyle x={\tfrac {n+1}{n}}}$

$${\displaystyle \ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(n+1)^{k}}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{2(n+1)^{2}}}+{\frac {1}{3(n+1)^{3}}}+{\frac {1}{4(n+1)^{4}}}+\cdots }$$

Si entonces ${\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq 0{\text{ and }}x\neq 0,}$

$${\displaystyle \ln(x)=\ln \left({\frac {2x}{2}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\frac {x-1}{x+1}}}{1-{\frac {x-1}{x+1}}}}\right)=\ln \left(1+{\frac {x-1}{x+1}}\right)-\ln \left(1-{\frac {x-1}{x+1}}\right).}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+y)-\ln(1-y)&=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}\left((-1)^{i-1}y^{i}-(-1)^{i-1}(-y)^{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right)\\&=y\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i-1}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right){\overset {i-1\to 2k}{=}}\;2y\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{2k}}{2k+1}},\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{k}\\&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}{\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{2}+\cdots \right).\end{aligned}}}$$

n ${\displaystyle x={\tfrac {n+1}{n}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)&={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)((2n+1)^{2})^{k}}}\\&=2\left({\frac {1}{2n+1}}+{\frac {1}{3(2n+1)^{3}}}+{\frac {1}{5(2n+1)^{5}}}+\cdots \right).\end{aligned}}}$$

Esta es, con diferencia, la convergencia más rápida de la serie descrita aquí.

El logaritmo natural también se puede expresar como un producto infinito: ^[12]

$${\displaystyle \ln(x)=(x-1)\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{2^{k}}]{x}}}}\right)}$$

Dos ejemplos podrían ser:

$${\displaystyle \ln(2)=\left({\frac {2}{1+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{2}}}}\right)...}$$

$${\displaystyle \pi =(2i+2)\left({\frac {2}{1+{\sqrt {i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{i}}}}\right)...}$$

De esta identidad, podemos obtener fácilmente que:

$${\displaystyle {\frac {1}{\ln(x)}}={\frac {x}{x-1}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2^{-k}x^{2^{-k}}}{1+x^{2^{-k}}}}}$$

Por ejemplo:

$${\displaystyle {\frac {1}{\ln(2)}}=2-{\frac {\sqrt {2}}{2+2{\sqrt {2}}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{4+4{\sqrt[{4}]{2}}}}-{\frac {\sqrt[{8}]{2}}{8+8{\sqrt[{8}]{2}}}}\cdots }$$

El logaritmo natural en la integración.

El logaritmo natural permite una integración sencilla de funciones de la forma : una antiderivada de g ( x ) viene dada por . Este es el caso debido a la regla de la cadena y al siguiente hecho: ${\displaystyle g(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}}$ ${\displaystyle \ln(|f(x)|)}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left|x\right|={\frac {1}{x}},\ \ x\neq 0}$$

En otras palabras, al integrar en un intervalo de la recta real que no incluye a , entonces ${\displaystyle x=0}$

$${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C}$$

Cconstante arbitraria de integración^[13]

Asimismo, cuando la integral está sobre un intervalo donde , ${\displaystyle f(x)\neq 0}$

$${\displaystyle \int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.}$$

Por ejemplo, considere la integral de sobre un intervalo que no incluye puntos donde es infinito: ${\displaystyle \tan(x)}$ ${\displaystyle \tan(x)}$

$${\displaystyle \int \tan x\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx=-\int {\frac {{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos x}}\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C=\ln \left|\sec x\right|+C.}$$

El logaritmo natural se puede integrar mediante integración por partes :

$${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C.}$$

Dejar:

$${\displaystyle u=\ln x\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}}$$

$${\displaystyle dv=dx\Rightarrow v=x}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln x\,dx&=x\ln x-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln x-\int 1\,dx\\&=x\ln x-x+C\end{aligned}}}$$

Computación eficiente

Cuando x > 1 , cuanto más cerca esté el valor de x de 1, más rápida será la tasa de convergencia de su serie de Taylor centrada en 1. Las identidades asociadas con el logaritmo se pueden aprovechar para explotar esto: ${\displaystyle \ln(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 123.456&=\ln(1.23456\cdot 10^{2})\\&=\ln 1.23456+\ln(10^{2})\\&=\ln 1.23456+2\ln 10\\&\approx \ln 1.23456+2\cdot 2.3025851.\end{aligned}}}$$

Estas técnicas se utilizaban antes que las calculadoras, consultando tablas numéricas y realizando manipulaciones como las anteriores.

Logaritmo natural de 10

El logaritmo natural de 10, aproximadamente igual a2.302 585 09 , ^[14] juega un papel, por ejemplo, en el cálculo de logaritmos naturales de números representados en notación científica , como una mantisa multiplicada por una potencia de 10:

$${\displaystyle \ln(a\cdot 10^{n})=\ln a+n\ln 10.}$$

Esto significa que uno puede calcular efectivamente los logaritmos de números con magnitud muy grande o muy pequeña usando los logaritmos de un conjunto relativamente pequeño de decimales en el rango [1, 10) .

Alta precisión

Para calcular el logaritmo natural con muchos dígitos de precisión, el método de la serie de Taylor no es eficiente ya que la convergencia es lenta. Especialmente si x está cerca de 1, una buena alternativa es utilizar el método de Halley o el método de Newton para invertir la función exponencial, porque la serie de la función exponencial converge más rápidamente. Para encontrar el valor de y usando el método de Halley, o equivalentemente usando el método de Newton, la iteración se simplifica a ${\displaystyle \exp(y)-x=0}$ ${\displaystyle \exp {\Bigl (}{\frac {y}{2}}{\Bigr )}-x\exp {\Bigl (}-{\frac {y}{2}}{\Bigr )}=0}$

$${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+2\cdot {\frac {x-\exp(y_{n})}{x+\exp(y_{n})}}}$$

convergencia cúbica ${\displaystyle \ln(x)}$

Otra alternativa para cálculos de altísima precisión es la fórmula ^{[15] [16]}

$${\displaystyle \ln x\approx {\frac {\pi }{2M(1,4/s)}}-m\ln 2,}$$

Mmedia aritmético-geométrica4/ s

$${\displaystyle s=x2^{m}>2^{p/2},}$$

mpmπ ${\displaystyle \ln 2}$

$${\displaystyle \ln x={\frac {\pi }{M\left(\theta _{2}^{2}(1/x),\theta _{3}^{2}(1/x)\right)}},\quad x\in (1,\infty )}$$

dónde

$${\displaystyle \theta _{2}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{(n+1/2)^{2}},\quad \theta _{3}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{n^{2}}}$$

funciones theta de Jacobi^[17]

Basado en una propuesta de William Kahan e implementado por primera vez en la calculadora Hewlett-Packard HP-41C en 1979 (mencionada únicamente como "LN1" en la pantalla), algunas calculadoras, sistemas operativos (por ejemplo Berkeley UNIX 4.3BSD ^[18] ), los sistemas de álgebra informática y los lenguajes de programación (por ejemplo, C99 ^[19] ) proporcionan una función especial de logaritmo natural más 1 , denominada alternativamente LNP1 , ^{[20] [21]} o log1p ^[19] para dar resultados más precisos para logaritmos cercanos a cero. pasando argumentos x , también cercanos a cero, a una función log1p( x ) , que devuelve el valor ln(1+ x ) , en lugar de pasar un valor y cercano a 1 a una función que devuelve ln( y ) . ^{[19] [20] [21]} La función log1p evita en la aritmética de punto flotante una casi cancelación del término absoluto 1 con el segundo término de la expansión de Taylor del logaritmo natural. Esto mantiene el argumento, el resultado y los pasos intermedios cerca de cero, donde se pueden representar con mayor precisión como números de punto flotante. ^{[20] [21]}

Además de la base e , el estándar IEEE 754-2008 define funciones logarítmicas similares cerca de 1 para logaritmos binarios y decimales : log ₂ (1 + x ) y log ₁₀ (1 + x ) .

También existen funciones inversas similares denominadas " expm1 ", ^[19] "expm" ^{[20] [21]} o "exp1m", todas con el significado de expm1( x ) = exp( x ) − 1 . ^{[nota 2]}

Una identidad en términos de la tangente hiperbólica inversa ,

$${\displaystyle \mathrm {log1p} (x)=\log(1+x)=2~\mathrm {artanh} \left({\frac {x}{2+x}}\right)\,,}$$

xlog1p( x )

Complejidad computacional

La complejidad computacional de calcular el logaritmo natural utilizando la media aritmético-geométrica (para los dos métodos anteriores) es . Aquí, n es el número de dígitos de precisión con los que se evaluará el logaritmo natural, y M ( n ) es la complejidad computacional de multiplicar dos números de n dígitos. ${\displaystyle {\text{O}}{\bigl (}M(n)\ln n{\bigr )}}$

fracciones continuas

Si bien no hay fracciones continuas simples disponibles, existen varias fracciones continuas generalizadas , que incluyen:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\[5pt]&={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\[5pt]&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}$$

Estas fracciones continuas, en particular la última, convergen rápidamente para valores cercanos a 1. Sin embargo, los logaritmos naturales de números mucho mayores se pueden calcular fácilmente sumando repetidamente los de números más pequeños, con una convergencia igualmente rápida.

Por ejemplo, dado que 2 = 1,25 ³ × 1,024, el logaritmo natural de 2 se puede calcular como:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 2&=3\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[8pt]&={\cfrac {6}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {6}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}}$$

Además, dado que 10 = 1,25 ¹⁰ × 1,024 ³ , incluso el logaritmo natural de 10 se puede calcular de manera similar como:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 10&=10\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+3\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[10pt]&={\cfrac {20}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {18}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\ln(x)}}={\frac {2x}{x^{2}-1}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {x^{2}+1}{4x}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {x^{2}+1}{4x}}}}}}\ldots }$$

Por ejemplo:

$${\displaystyle {\frac {1}{\ln(2)}}={\frac {4}{3}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{8}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{8}}}}}}\ldots }$$

Logaritmos complejos

La función exponencial se puede extender a una función que da un número complejo como e ^z para cualquier número complejo arbitrario z ; simplemente use la serie infinita con x =z complejo. Esta función exponencial se puede invertir para formar un logaritmo complejo que presenta la mayoría de las propiedades del logaritmo ordinario. Hay dos dificultades involucradas: ningún x tiene e ^x = 0 ; y resulta que e ^{2 iπ} = 1 = e ⁰ . Dado que la propiedad multiplicativa todavía funciona para la función exponencial compleja, e ^z = e ^{z +2 kiπ} , para todos los complejos z y enteros  k .

Por lo tanto, el logaritmo no se puede definir para todo el plano complejo , e incluso entonces tiene varios valores : cualquier logaritmo complejo se puede convertir en un logaritmo "equivalente" sumando cualquier múltiplo entero de 2 iπ a voluntad. El logaritmo complejo sólo puede tener un valor único en el plano de corte . Por ejemplo, en yo =yo/2o5 iπ/2o -3 iπ/2, etc.; y aunque i ⁴ = 1, 4 ln i se puede definir como 2 iπ , o 10 iπ o −6 iπ , y así sucesivamente.

• Gráficos de la función logaritmo natural en el plano complejo ( rama principal )
• 
  z = Re(ln( x + yi ))
• 
  z = | (Estoy(ln( x + yi ))) |
• 
  z = | (ln( x + yi )) |
• 
  Superposición de los tres gráficos anteriores.

Ver también

• Aproximación de exponentes naturales (log base e)
• Logaritmo iterado
• logaritmo napieriano
• Lista de identidades logarítmicas
• Logaritmo de una matriz
• Coordenadas logarítmicas de un elemento de un grupo de Lie.
• Diferenciación logarítmica
• Función integral logarítmica
• Nicholas Mercator : primero en utilizar el término logaritmo natural
• Polilogaritmo
• Función de von Mangoldt

Notas

1. Incluyendo C , C++ , SAS , MATLAB , Mathematica , Fortran y algunos dialectos BÁSICOS
2. Para conocer un enfoque similar para reducir los errores de redondeo de los cálculos para ciertos valores de entrada, consulte funciones trigonométricas como versine , vercosine , coversine , covercosine , haversine , havercosine , hacoversine , hacovercosine , exsecante y excosecante .

Referencias

1. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A001113 (Expansión decimal de e)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
2. GH Hardy y EM Wright, Introducción a la teoría de los números, 4.ª edición, Oxford 1975, nota a pie de página del párrafo 1.7: " log x es, por supuesto, el logaritmo 'naperiano' de x, en base e. 'Común' los logaritmos no tienen ningún interés matemático ".
3. Mortimer, Robert G. (2005). Matemáticas para la química física (3ª ed.). Prensa académica . pag. 9.ISBN​ 0-12-508347-5.Extracto de la página 9
4. Weisstein, Eric W. "Logaritmo natural". mathworld.wolfram.com . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
5. "Reglas, ejemplos y fórmulas". Logaritmo. Enciclopedia Británica . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
6. Quemar, RP (2001). Alfonso Antonio de Sarasa y los Logaritmos . Historia Matemática . págs. 28:1–17.
7. O'Connor, JJ; Robertson, EF (septiembre de 2001). "El número e". El archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas . Consultado el 2 de febrero de 2009 .
8. Cajori, Florian (1991). Una historia de las matemáticas (5ª ed.). Librería AMS. pag. 152.ISBN​ 0-8218-2102-4.
9. Una representación integral impropia del logaritmo natural. , recuperado el 24 de septiembre de 2022
10. ""Expansiones logarítmicas "en Math2.org".
11. Leonhard Euler , Introducción en Analysin Infinitorum. Tomus Primus. Bousquet, Lausana 1748. Ejemplo 1, p. 228; quoque en: Opera Omnia, Series Prima, Opera Mathematica, Volumen Octavum, Teubner 1922
12. RUFFA, Antonio. «UN PROCEDIMIENTO PARA GENERAR IDENTIDADES EN SERIES INFINITAS» (PDF) . Revista Internacional de Matemáticas y Ciencias Matemáticas . Revista Internacional de Matemáticas y Ciencias Matemáticas . Consultado el 27 de febrero de 2022 .(Página 3654, ecuación 2.6)
13. Para obtener una prueba detallada, consulte, por ejemplo: George B. Thomas, Jr y Ross L. Finney, Calculus and Analytic Geometry , quinta edición, Addison-Wesley 1979, sección 6-5, páginas 305-306.
14. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A002392 (Expansión decimal del logaritmo natural de 10)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
15. Sasaki, T.; Canadá, Y. (1982). "Evaluación de precisión múltiple prácticamente rápida de log (x)". Revista de Procesamiento de Información . 5 (4): 247–250 . Consultado el 30 de marzo de 2011 .
16. Ahrendt, Timm (1999). "Cálculos rápidos de la función exponencial". Estática 99 . Apuntes de conferencias sobre informática. 1564 : 302–312. doi :10.1007/3-540-49116-3_28. ISBN 978-3-540-65691-3.
17. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.página 225
18. Beebe, Nelson HF (22 de agosto de 2017). "Capítulo 10.4. Logaritmo cercano a uno". Manual de computación de funciones matemáticas: programación utilizando la biblioteca de software portátil MathCW (1 ed.). Salt Lake City, UT, EE.UU.: Springer International Publishing AG . págs. 290–292. doi :10.1007/978-3-319-64110-2. ISBN 978-3-319-64109-6. LCCN  2017947446. S2CID  30244721. En 1987, Berkeley UNIX 4.3BSD introdujo la función log1p()
19. Beebe, Nelson HF (9 de julio de 2002). "Cálculo de expm1 = exp(x)−1" (PDF) . 1.00. Salt Lake City, Utah, EE.UU.: Departamento de Matemáticas, Centro de Computación Científica, Universidad de Utah . Consultado el 2 de noviembre de 2015 .
20. HP Serie 48G - Manual de referencia del usuario avanzado (AUR) (4 ed.). Hewlett Packard . Diciembre de 1994 [1993]. HP 00048-90136, 0-88698-01574-2 . Consultado el 6 de septiembre de 2015 .
21. Manual de referencia del usuario avanzado (AUR) de la calculadora gráfica HP 50g / 49g+ / 48gII (2 ed.). Hewlett Packard . 2009-07-14 [2005]. HP F2228-90010 . Consultado el 10 de octubre de 2015 .PDF con capacidad de búsqueda