Operador hipoelíptico

En la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , un operador diferencial parcial definido en un subconjunto abierto ${\displaystyle P}$

${\displaystyle U\subset {\mathbb {R} }^{n}}$

Se llama hipoelíptica si para cada distribución definida en un subconjunto abierto tal que es ( suave ), también debe ser . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle V\subset U}$ ${\displaystyle Pu}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

Si esta afirmación es válida con reemplazado por real-analítico , entonces se dice que es analíticamente hipoelíptica . ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle P}$

Todo operador elíptico con coeficientes es hipoelíptico. En particular, el laplaciano es un ejemplo de operador hipoelíptico (el laplaciano también es analíticamente hipoelíptico). Además, el operador para la ecuación del calor ( ) ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle P(u)=u_{t}-k\,\Delta u\,}$

${\displaystyle P=\partial _{t}-k\,\Delta _{x}\,}$

(donde ) es hipoelíptica pero no elíptica. Sin embargo, el operador para la ecuación de onda ( ) ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle P(u)=u_{tt}-c^{2}\,\Delta u\,}$

${\displaystyle P=\partial _{t}^{2}-c^{2}\,\Delta _{x}\,}$

(donde ) no es hipoelíptico. ${\displaystyle c\neq 0}$

Referencias

• Shimakura, Norio (1992). Operadores diferenciales parciales de tipo elíptico: traducidos por Norio Shimakura . American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-4556-X.
• Egorov, Yu. V.; Schulze, Bert-Wolfgang (1997). Operadores pseudodiferenciales, singularidades, aplicaciones . Birkhäuser. ISBN 3-7643-5484-4.
• Vladimirov, V. S. (2002). Métodos de la teoría de funciones generalizadas . Taylor & Francis. ISBN 0-415-27356-0.
• Folland, GB (2009). Análisis de Fourier y sus aplicaciones . AMS. ISBN 978-0-8218-4790-9.

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