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Cadena de Markov Montecarlo

En estadística , los métodos de cadena de Markov Monte Carlo ( MCMC ) comprenden una clase de algoritmos para muestrear a partir de una distribución de probabilidad . Al construir una cadena de Markov que tiene la distribución deseada como distribución de equilibrio , se puede obtener una muestra de la distribución deseada registrando los estados de la cadena. Cuantos más pasos se incluyan, más se acercará la distribución de la muestra a la distribución real deseada. Existen varios algoritmos para construir cadenas, incluido el algoritmo Metropolis-Hastings .

Dominios de aplicación

Los métodos MCMC se utilizan principalmente para calcular aproximaciones numéricas de integrales multidimensionales , por ejemplo en estadística bayesiana , física computacional , [1] biología computacional [2] y lingüística computacional . [3] [4]

En estadística bayesiana, el reciente desarrollo de métodos MCMC ha hecho posible calcular grandes modelos jerárquicos que requieren integraciones de cientos a miles de parámetros desconocidos. [5]

En el muestreo de eventos raros , también se utilizan para generar muestras que pueblan gradualmente la región de falla rara. [ cita necesaria ]

Explicación general

"Convergencia del algoritmo Metropolis-Hastings" . La cadena de Markov Monte Carlo intenta aproximar la distribución azul con la distribución naranja.

Los métodos Monte Carlo de la cadena de Markov crean muestras a partir de una variable aleatoria continua , con una densidad de probabilidad proporcional a una función conocida. Estas muestras se pueden utilizar para evaluar una integral sobre esa variable, como su valor esperado o varianza .

En la práctica, generalmente se desarrolla un conjunto de cadenas, a partir de un conjunto de puntos elegidos arbitrariamente y suficientemente distantes entre sí. Estas cadenas son procesos estocásticos de "caminantes" que se mueven aleatoriamente según un algoritmo que busca lugares con una contribución razonablemente alta a la integral para pasar a continuación, asignándoles mayores probabilidades.

Los métodos de paseo aleatorio Monte Carlo son una especie de simulación aleatoria o método de Monte Carlo . Sin embargo, mientras que las muestras aleatorias del integrando utilizadas en una integración de Monte Carlo convencional son estadísticamente independientes , las utilizadas en MCMC están autocorrelacionadas . Las correlaciones de muestras introducen la necesidad de utilizar el teorema del límite central de la cadena de Markov al estimar el error de los valores medios.

Estos algoritmos crean cadenas de Markov de modo que tengan una distribución de equilibrio proporcional a la función dada.

Reducir la correlación

Si bien los métodos MCMC se crearon para abordar problemas multidimensionales mejor que los algoritmos genéricos de Monte Carlo, cuando el número de dimensiones aumenta, también tienden a sufrir la maldición de la dimensionalidad : las regiones de mayor probabilidad tienden a estirarse y perderse en un volumen de espacio cada vez mayor. que poco aporta a la integral. Una forma de abordar este problema podría ser acortar los pasos del caminante, de modo que no intente continuamente salir de la región de mayor probabilidad, aunque de esta manera el proceso estaría altamente autocorrelacionado y sería costoso (es decir, se necesitarían muchos pasos para una localización precisa). resultado). Métodos más sofisticados como el Hamiltoniano Monte Carlo y el algoritmo de Wang y Landau utilizan varias formas de reducir esta autocorrelación, logrando al mismo tiempo mantener el proceso en las regiones que dan una mayor contribución a la integral. Estos algoritmos suelen basarse en una teoría más complicada y son más difíciles de implementar, pero suelen converger más rápido.

Ejemplos

Caminata aleatoria

Métodos de partículas interactivas.

Las metodologías MCMC interactivas son una clase de métodos de partículas de campo medio para obtener muestras aleatorias de una secuencia de distribuciones de probabilidad con un nivel creciente de complejidad de muestreo. [12] Estos modelos probabilísticos incluyen modelos de estado del espacio de trayectoria con horizonte temporal creciente, distribuciones posteriores con secuencia de observaciones parciales, conjuntos de niveles de restricción crecientes para distribuciones condicionales, programas de temperatura decrecientes asociados con algunas distribuciones de Boltzmann-Gibbs y muchos otros. En principio, cualquier muestreador Monte Carlo de cadena de Markov se puede convertir en un muestreador Monte Carlo de cadena de Markov interactivo. Estos muestreadores Monte Carlo de cadena de Markov que interactúan se pueden interpretar como una forma de ejecutar en paralelo una secuencia de muestreadores Monte Carlo de cadena de Markov. Por ejemplo, los algoritmos de recocido simulados que interactúan se basan en movimientos independientes de Metropolis-Hastings que interactúan secuencialmente con un mecanismo de tipo selección-remuestreo. A diferencia de los métodos tradicionales de Monte Carlo de cadena de Markov, el parámetro de precisión de esta clase de muestreadores Monte Carlo de cadena de Markov que interactúan solo está relacionado con el número de muestreadores Monte Carlo de cadena de Markov que interactúan. Estas metodologías avanzadas de partículas pertenecen a la clase de modelos de partículas de Feynman-Kac, [13] [14] también llamados Monte Carlo secuencial o métodos de filtro de partículas en las comunidades de procesamiento de señales y inferencia bayesiana . [15] Los métodos de Monte Carlo de cadena de Markov que interactúan también se pueden interpretar como un algoritmo de partículas genéticas de selección de mutaciones con mutaciones de Monte Carlo de cadena de Markov.

Cadena de Markov cuasi-Monte Carlo (MCQMC) [16] [17]

Es bien conocida la ventaja de secuencias de baja discrepancia en lugar de números aleatorios para el muestreo Monte Carlo independiente simple. [18] Este procedimiento, conocido como método Quasi-Monte Carlo (QMC), [19] produce un error de integración que decae a un ritmo superior al obtenido mediante el muestreo IID, por la desigualdad de Koksma-Hlawka . Empíricamente permite reducir tanto el error de estimación como el tiempo de convergencia en un orden de magnitud. [ cita necesaria ] El método Array-RQMC combina la simulación aleatoria de cadenas cuasi-Monte Carlo y Markov simulando cadenas simultáneamente de manera que la distribución empírica de los estados en cualquier paso dado sea una mejor aproximación de la verdadera distribución de la cadena que con MCMC ordinario. [20] En experimentos empíricos, la varianza del promedio de una función del estado a veces converge a una tasa o incluso más rápido, en lugar de la tasa de Monte Carlo. [21]

Convergencia

Normalmente no resulta difícil construir una cadena de Markov con las propiedades deseadas. El problema más difícil es determinar cuántos pasos se necesitan para converger a la distribución estacionaria dentro de un error aceptable. [22] Una buena cadena tendrá una mezcla rápida : la distribución estacionaria se alcanza rápidamente a partir de una posición arbitraria. Un método empírico estándar para evaluar la convergencia es ejecutar varias cadenas de Markov simuladas independientes y verificar que la relación entre las varianzas entre cadenas e intracadenas para todos los parámetros muestreados sea cercana a 1. [22] [23]

Normalmente, el muestreo Monte Carlo de la cadena de Markov solo puede aproximarse a la distribución objetivo, ya que siempre hay algún efecto residual de la posición inicial. Los algoritmos más sofisticados basados ​​en la cadena de Markov Monte Carlo, como el acoplamiento del pasado, pueden producir muestras exactas, a costa de cálculos adicionales y un tiempo de ejecución ilimitado (aunque finito en expectativas) .

Muchos métodos de Monte Carlo de paseo aleatorio se mueven alrededor de la distribución de equilibrio en pasos relativamente pequeños, sin tendencia a que los pasos avancen en la misma dirección. Estos métodos son fáciles de implementar y analizar, pero desafortunadamente el caminante puede tardar mucho tiempo en explorar todo el espacio. El caminante a menudo retrocederá y cubrirá el terreno ya recorrido.

Una consideración más detallada de la convergencia se encuentra en el teorema del límite central de la cadena de Markov . Véase [24] para una discusión de la teoría relacionada con la convergencia y la estacionariedad del algoritmo de Metropolis-Hastings.

Software

Varios programas de software proporcionan capacidades de muestreo MCMC, por ejemplo:

Ver también

Referencias

Citas

  1. ^ Kasim, MF; Bott, AFA; Tzeferacos, P.; Cordero, DQ; Gregorio, G.; Vinko, SM (septiembre de 2019). "Recuperación de campos de radiografía de protones sin perfiles de origen". Revisión física E. 100 (3): 033208. arXiv : 1905.12934 . Código bibliográfico : 2019PhRvE.100c3208K. doi : 10.1103/PhysRevE.100.033208. PMID  31639953. S2CID  170078861.
  2. ^ Gupta, Ankur; Rawlings, James B. (abril de 2014). "Comparación de métodos de estimación de parámetros en modelos cinéticos químicos estocásticos: ejemplos en biología de sistemas". Revista AIChE . 60 (4): 1253–1268. doi :10.1002/aic.14409. PMC 4946376 . PMID  27429455. 
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Fuentes

Otras lecturas