función gaussiana

función matemática

En matemáticas , una función gaussiana , a menudo denominada simplemente gaussiana , es una función de la forma base

$${\displaystyle f(x)=\exp(-x^{2})}$$

$${\displaystyle f(x)=a\exp \left(-{\frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}\right)}$$

reales arbitrarias abcCarl Friedrich Gaussgráficacurva de campanaabcdesviación estándar , a veces llamada ancho RMS

Las funciones gaussianas se utilizan a menudo para representar la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria distribuida normalmente con valor esperado μ = b y varianza σ ² = c ² . En este caso, el Gaussiano es de la forma ^[1]

$${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}\right).}$$

Las funciones gaussianas se utilizan ampliamente en estadística para describir las distribuciones normales , en el procesamiento de señales para definir filtros gaussianos , en el procesamiento de imágenes donde se utilizan gaussianas bidimensionales para los desenfoques gaussianos y en matemáticas para resolver ecuaciones de calor y ecuaciones de difusión y para definir Weierstrass. transformar .

Propiedades

Las funciones gaussianas surgen al componer la función exponencial con una función cuadrática cóncava :

$${\displaystyle f(x)=\exp(\alpha x^{2}+\beta x+\gamma ),}$$

• ${\displaystyle \alpha =-1/2c^{2},}$
• ${\displaystyle \beta =b/c^{2},}$
• ${\displaystyle \gamma =\ln a-(b^{2}/2c^{2}).}$

(Nota: en , no confundir con ) ${\displaystyle \ln a,a=1/(\sigma {\sqrt {2\pi }})}$ ${\displaystyle \alpha =-1/2c^{2},}$

Las funciones gaussianas son, por tanto, aquellas funciones cuyo logaritmo es una función cuadrática cóncava.

El parámetro c está relacionado con el ancho total a la mitad del máximo (FWHM) del pico según

$${\displaystyle {\text{FWHM}}=2{\sqrt {2\ln 2}}\,c\approx 2.35482\,c.}$$

La función puede entonces expresarse en términos de FWHM, representado por w :

$${\displaystyle f(x)=ae^{-4(\ln 2)(x-b)^{2}/w^{2}}.}$$

Alternativamente, el parámetro c se puede interpretar diciendo que los dos puntos de inflexión de la función ocurren en x = b ± c .

El ancho total en la décima parte del máximo (FWTM) para un gaussiano podría ser de interés y es

$${\displaystyle {\text{FWTM}}=2{\sqrt {2\ln 10}}\,c\approx 4.29193\,c.}$$

Las funciones gaussianas son analíticas y su límite cuando x → ∞ es 0 (para el caso anterior de b = 0 ).

Las funciones gaussianas se encuentran entre aquellas funciones que son elementales pero carecen de antiderivadas elementales ; la integral de la función gaussiana es la función de error :

$${\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {erf} x+C.}$$

Sin embargo, sus integrales impropias sobre toda la recta real se pueden evaluar exactamente, utilizando la integral gaussiana.

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }},}$$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/(2c^{2})}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\pi }}.}$$

Curvas gaussianas normalizadas con valor esperado μ y varianza σ ² . Los parámetros correspondientes son , b = μ y c = σ . ${\textstyle a={\tfrac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}}$

Esta integral es 1 si y sólo si (la constante de normalización ), y en este caso la gaussiana es la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria normalmente distribuida con valor esperado μ = b y varianza σ ² = c ² : ${\textstyle a={\tfrac {1}{c{\sqrt {2\pi }}}}}$

$${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left({\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).}$$

Estas gaussianas se representan en la figura adjunta.

Las funciones gaussianas centradas en cero minimizan el principio de incertidumbre de Fourier ^{[ se necesita aclaración ]} .

El producto de dos funciones gaussianas es gaussiano, y la convolución de dos funciones gaussianas también es gaussiana, siendo la varianza la suma de las varianzas originales: . Sin embargo, el producto de dos funciones de densidad de probabilidad (PDF) gaussianas no es, en general, una PDF gaussiana. ${\displaystyle c^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}$

Tomando la transformada de Fourier (convención unitaria de frecuencia angular) de una función gaussiana con parámetros a = 1 , b = 0 yc se obtiene otra función gaussiana, con parámetros , b = 0 y . ^[2] Entonces, en particular, las funciones gaussianas con b = 0 y se mantienen fijas mediante la transformada de Fourier (son funciones propias de la transformada de Fourier con valor propio 1). Una realización física es la del patrón de difracción : por ejemplo, una diapositiva fotográfica cuya transmitancia tiene una variación gaussiana es también una función gaussiana. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 1/c}$ ${\displaystyle c=1}$

El hecho de que la función gaussiana sea una función propia de la transformada continua de Fourier nos permite derivar la siguiente identidad interesante ^{[ se necesita aclaración ] a partir de la} fórmula de suma de Poisson :

$${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-\pi \cdot \left({\frac {k}{c}}\right)^{2}\right)=c\cdot \sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-\pi \cdot (kc)^{2}\right).}$$

Integral de una función gaussiana

La integral de una función gaussiana arbitraria es

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }a\,e^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}\,dx={\sqrt {2}}a\,|c|\,{\sqrt {\pi }}.}$$

Una forma alternativa es

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }k\,e^{-fx^{2}+gx+h}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }k\,e^{-f{\big (}x-g/(2f){\big )}^{2}+g^{2}/(4f)+h}\,dx=k\,{\sqrt {\frac {\pi }{f}}}\,\exp \left({\frac {g^{2}}{4f}}+h\right),}$$

f

Relación con la integral gaussiana estándar

la integral

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}\,dx}$$

reales abcintegral gaussianaaxy = x − b

$${\displaystyle a\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}/2c^{2}}\,dy,}$$

${\displaystyle z=y/{\sqrt {2c^{2}}}}$

$${\displaystyle a{\sqrt {2c^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-z^{2}}\,dz.}$$

Luego, usando la identidad integral gaussiana

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-z^{2}}\,dz={\sqrt {\pi }},}$$

tenemos

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-(x-b)^{2}/2c^{2}}\,dx=a{\sqrt {2\pi c^{2}}}.}$$

Función gaussiana bidimensional

Gráfico 3D de una función gaussiana con un dominio bidimensional

Forma básica:

$${\displaystyle f(x,y)=\exp(-x^{2}-y^{2})}$$

En dos dimensiones, la potencia a la que se eleva e en la función gaussiana es cualquier forma cuadrática definida negativa. En consecuencia, los conjuntos de niveles del gaussiano siempre serán elipses.

Un ejemplo particular de una función gaussiana bidimensional es

$${\displaystyle f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}}}\right)\right).}$$

Aquí el coeficiente A es la amplitud, x ₀ ,  y ₀ es el centro y σ _x ,  σ _y son las extensiones x e y de la mancha. La figura de la derecha se creó usando A = 1, x ₀ = 0, y ₀ = 0, σ _x = σ _y = 1.

El volumen bajo la función gaussiana está dado por

$${\displaystyle V=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dx\,dy=2\pi A\sigma _{X}\sigma _{Y}.}$$

En general, una función gaussiana elíptica bidimensional se expresa como

$${\displaystyle f(x,y)=A\exp {\Big (}-{\big (}a(x-x_{0})^{2}+2b(x-x_{0})(y-y_{0})+c(y-y_{0})^{2}{\big )}{\Big )},}$$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}}}$$

positivo-definido

Usando esta formulación, la figura de la derecha se puede crear usando A = 1 , ( x ₀ , y ₀ ) = (0, 0) , a = c = 1/2 , b = 0 .

Significado de los parámetros de la ecuación general.

Para la forma general de la ecuación, el coeficiente A es la altura del pico y ( x ₀ , y ₀ ) es el centro de la masa.

si establecemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {\cos ^{2}\theta }{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{2\sigma _{Y}^{2}}},\\b&=-{\frac {\sin \theta \cos \theta }{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\sin \theta \cos \theta }{2\sigma _{Y}^{2}}},\\c&={\frac {\sin ^{2}\theta }{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{2\sigma _{Y}^{2}}},\end{aligned}}}$$

b^[3] ${\displaystyle \theta }$

Para recuperar los coeficientes , y de , y utilizar ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sigma _{X}}$ ${\displaystyle \sigma _{Y}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &={\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2b}{a-c}}\right),\quad \theta \in [-45,45],\\\sigma _{X}^{2}&={\frac {1}{2(a\cdot \cos ^{2}\theta +2b\cdot \cos \theta \sin \theta +c\cdot \sin ^{2}\theta )}},\\\sigma _{Y}^{2}&={\frac {1}{2(a\cdot \sin ^{2}\theta -2b\cdot \cos \theta \sin \theta +c\cdot \cos ^{2}\theta )}}.\end{aligned}}}$

Se pueden ver ejemplos de rotaciones de manchas gaussianas en los siguientes ejemplos:

Usando el siguiente código de Octave , se puede ver fácilmente el efecto de cambiar los parámetros:

Un  =  1 ; x0  =  0 ;  y0  =  0 ;sigma_X  =  1 ; sigma_Y  =  2 ;[ X ,  Y ]  =  meshgrid ( - 5 :. 1 : 5 ,  - 5 :. 1 : 5 );para  theta  =  0 : pi / 100 : pi  a  =  cos ( theta ) ^ 2  /  ( 2  *  sigma_X ^ 2 )  +  sin ( theta ) ^ 2  /  ( 2  *  sigma_Y ^ 2 );  b  =  pecado ( 2  *  theta )  /  ( 4  *  sigma_X ^ 2 )  -  pecado ( 2  *  theta )  /  ( 4  *  sigma_Y ^ 2 );  c  =  pecado ( theta ) ^ 2  /  ( 2  *  sigma_X ^ 2 )  +  cos ( theta ) ^ 2  /  ( 2  *  sigma_Y ^ 2 ); Z  =  A  *  exp ( - ( a  *  ( X  -  x0 ) .^ 2  +  2  *  b  *  ( X  -  x0 )  .*  ( Y  -  y0 )  +  c  *  ( Y  -  y0 ) .^ 2 )); navegar ( X ,  Y ,  Z );  intermediario de sombreado  ; ver ( - 36 , 36 ) esperar a que presione el botón finalizar   

Estas funciones se utilizan a menudo en el procesamiento de imágenes y en modelos computacionales de la función del sistema visual ; consulte los artículos sobre escala espacial y adaptación de formas afines .

Véase también distribución normal multivariada .

Función gaussiana o supergaussiana de orden superior

Se puede adoptar una formulación más general de una función gaussiana con una parte superior plana y una caída gaussiana elevando el contenido del exponente a una potencia : ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle f(x)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}\right)^{P}\right).}$$

Esta función se conoce como función supergaussiana y se utiliza a menudo para la formulación de haces gaussianos. ^[4] Esta función también se puede expresar en términos del ancho total a la mitad del máximo (FWHM), representado por w :

$${\displaystyle f(x)=A\exp \left(-\ln 2\left(4{\frac {(x-x_{0})^{2}}{w^{2}}}\right)^{P}\right).}$$

En una formulación bidimensional, una función gaussiana a lo largo de y se puede combinar ^[5] con potencialmente diferentes y para formar una distribución gaussiana rectangular: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle P_{X}}$ ${\displaystyle P_{Y}}$

$${\displaystyle f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}\right)^{P_{X}}-\left({\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}}}\right)^{P_{Y}}\right).}$$

$${\displaystyle f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}}}\right)^{P}\right)}$$

Función gaussiana multidimensional

En un espacio dimensional, una función gaussiana se puede definir como ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle f(x)=\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx),}$$

definida positivatransposición de matriz ${\displaystyle x={\begin{bmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {}^{\mathsf {T}}}$

La integral de esta función gaussiana en todo el espacio dimensional viene dada como ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx)\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det C}}}.}$$

Se puede calcular fácilmente diagonalizando la matriz y cambiando las variables de integración a los vectores propios de . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

De manera más general, una función gaussiana desplazada se define como

$${\displaystyle f(x)=\exp(-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x),}$$

${\displaystyle s={\begin{bmatrix}s_{1}&\cdots &s_{n}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\mathsf {T}}=C}$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det {C}}}}\exp \left({\frac {1}{4}}v^{\mathsf {T}}C^{-1}v\right)\equiv {\mathcal {M}}.}$$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}(a^{\mathsf {T}}x)\,dx=(a^{T}u)\cdot {\mathcal {M}},{\text{ where }}u={\frac {1}{2}}C^{-1}v.}$$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}(x^{\mathsf {T}}Dx)\,dx=\left(u^{\mathsf {T}}Du+{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (DC^{-1})\right)\cdot {\mathcal {M}}.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}C'x+s'^{\mathsf {T}}x}\left(-{\frac {\partial }{\partial x}}\Lambda {\frac {\partial }{\partial x}}\right)e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x}\,dx\\&\qquad =\left(2\operatorname {tr} (C'\Lambda CB^{-1})+4u^{\mathsf {T}}C'\Lambda Cu-2u^{\mathsf {T}}(C'\Lambda s+C\Lambda s')+s'^{\mathsf {T}}\Lambda s\right)\cdot {\mathcal {M}},\end{aligned}}}$$

${\textstyle u={\frac {1}{2}}B^{-1}v,\ v=s+s',\ B=C+C'.}$

Estimación de parámetros

Varios campos, como la fotometría estelar , la caracterización del haz gaussiano y la espectroscopia de líneas de emisión/absorción, funcionan con funciones gaussianas muestreadas y necesitan estimar con precisión los parámetros de altura, posición y ancho de la función. Hay tres parámetros desconocidos para una función gaussiana 1D ( a , b , c ) y cinco para una función gaussiana 2D . ${\displaystyle (A;x_{0},y_{0};\sigma _{X},\sigma _{Y})}$

El método más común para estimar los parámetros gaussianos es tomar el logaritmo de los datos y ajustar una parábola al conjunto de datos resultante. ^{[6] [7]} Si bien esto proporciona un procedimiento simple de ajuste de curvas , el algoritmo resultante puede estar sesgado al ponderar excesivamente valores de datos pequeños, lo que puede producir grandes errores en la estimación del perfil. Se puede compensar parcialmente este problema mediante la estimación de mínimos cuadrados ponderados , reduciendo el peso de los valores de datos pequeños, pero esto también puede estar sesgado al permitir que la cola del gaussiano domine el ajuste. Para eliminar el sesgo, se puede utilizar un procedimiento de mínimos cuadrados reponderado iterativamente , en el que las ponderaciones se actualizan en cada iteración. ^[7] También es posible realizar una regresión no lineal directamente sobre los datos, sin involucrar la transformación logarítmica de datos ; Para obtener más opciones, consulte Ajuste de distribución de probabilidad .

Precisión de parámetros

Una vez que se tiene un algoritmo para estimar los parámetros de la función gaussiana, también es importante saber qué tan precisas son esas estimaciones. Cualquier algoritmo de estimación de mínimos cuadrados puede proporcionar estimaciones numéricas para la varianza de cada parámetro (es decir, la varianza de la altura, posición y ancho estimados de la función). También se puede utilizar la teoría de límites de Cramér-Rao para obtener una expresión analítica para el límite inferior de las varianzas de los parámetros, dadas ciertas suposiciones sobre los datos. ^{[8] [9]}

1. El ruido en el perfil medido es iid gaussiano o tiene distribución de Poisson .
2. El espacio entre cada muestreo (es decir, la distancia entre los píxeles que miden los datos) es uniforme.
3. El pico está "bien muestreado", de modo que menos del 10 % del área o volumen bajo el pico (área si es un gaussiano 1D, volumen si es un gaussiano 2D) se encuentra fuera de la región de medición.
4. El ancho del pico es mucho mayor que la distancia entre las ubicaciones de las muestras (es decir, los píxeles del detector deben ser al menos 5 veces más pequeños que el FWHM gaussiano).

Cuando se satisfacen estos supuestos, se aplica la siguiente matriz de covarianza K para los parámetros del perfil 1D , y bajo ruido gaussiano iid y bajo ruido de Poisson: ^[8] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle \mathbf {K} _{\text{Gauss}}={\frac {\sigma ^{2}}{{\sqrt {\pi }}\delta _{X}Q^{2}}}{\begin{pmatrix}{\frac {3}{2c}}&0&{\frac {-1}{a}}\\0&{\frac {2c}{a^{2}}}&0\\{\frac {-1}{a}}&0&{\frac {2c}{a^{2}}}\end{pmatrix}}\ ,\qquad \mathbf {K} _{\text{Poiss}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\begin{pmatrix}{\frac {3a}{2c}}&0&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {c}{a}}&0\\-{\frac {1}{2}}&0&{\frac {c}{2a}}\end{pmatrix}}\ ,}$$

${\displaystyle \delta _{X}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (a)&={\frac {3\sigma ^{2}}{2{\sqrt {\pi }}\,\delta _{X}Q^{2}c}}\\\operatorname {var} (b)&={\frac {2\sigma ^{2}c}{\delta _{X}{\sqrt {\pi }}\,Q^{2}a^{2}}}\\\operatorname {var} (c)&={\frac {2\sigma ^{2}c}{\delta _{X}{\sqrt {\pi }}\,Q^{2}a^{2}}}\end{aligned}}}$$

y en el caso del ruido de Poisson,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (a)&={\frac {3a}{2{\sqrt {2\pi }}\,c}}\\\operatorname {var} (b)&={\frac {c}{{\sqrt {2\pi }}\,a}}\\\operatorname {var} (c)&={\frac {c}{2{\sqrt {2\pi }}\,a}}.\end{aligned}}}$$

Para los parámetros del perfil 2D que dan la amplitud , posición y ancho del perfil, se aplican las siguientes matrices de covarianza: ^[9] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle (\sigma _{X},\sigma _{Y})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {K} _{\text{Gauss}}={\frac {\sigma ^{2}}{\pi \delta _{X}\delta _{Y}Q^{2}}}&{\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}&0&0&{\frac {-1}{A\sigma _{Y}}}&{\frac {-1}{A\sigma _{X}}}\\0&{\frac {2\sigma _{X}}{A^{2}\sigma _{Y}}}&0&0&0\\0&0&{\frac {2\sigma _{Y}}{A^{2}\sigma _{X}}}&0&0\\{\frac {-1}{A\sigma _{y}}}&0&0&{\frac {2\sigma _{X}}{A^{2}\sigma _{y}}}&0\\{\frac {-1}{A\sigma _{X}}}&0&0&0&{\frac {2\sigma _{Y}}{A^{2}\sigma _{X}}}\end{pmatrix}}\\[6pt]\mathbf {K} _{\operatorname {Poisson} }={\frac {1}{2\pi }}&{\begin{pmatrix}{\frac {3A}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}&0&0&{\frac {-1}{\sigma _{Y}}}&{\frac {-1}{\sigma _{X}}}\\0&{\frac {\sigma _{X}}{A\sigma _{Y}}}&0&0&0\\0&0&{\frac {\sigma _{Y}}{A\sigma _{X}}}&0&0\\{\frac {-1}{\sigma _{Y}}}&0&0&{\frac {2\sigma _{X}}{3A\sigma _{Y}}}&{\frac {1}{3A}}\\{\frac {-1}{\sigma _{X}}}&0&0&{\frac {1}{3A}}&{\frac {2\sigma _{Y}}{3A\sigma _{X}}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Gaussiano discreto

El núcleo gaussiano discreto (sólido), comparado con el núcleo gaussiano muestreado (discontinuo) para escalas ${\displaystyle t=0.5,1,2,4.}$

Se puede pedir un análogo discreto del gaussiano; esto es necesario en aplicaciones discretas, particularmente en el procesamiento de señales digitales . Una respuesta simple es muestrear el gaussiano continuo, lo que produce el núcleo gaussiano muestreado . Sin embargo, esta función discreta no tiene los análogos discretos de las propiedades de la función continua y puede provocar efectos no deseados, como se describe en el artículo Implementación del espacio de escala .

Un enfoque alternativo es utilizar el núcleo gaussiano discreto : ^[10]

$${\displaystyle T(n,t)=e^{-t}I_{n}(t)}$$

funciones de Bessel modificadas ${\displaystyle I_{n}(t)}$

Este es el análogo discreto de la gaussiana continua en el sentido de que es la solución de la ecuación de difusión discreta (espacio discreto, tiempo continuo), al igual que la gaussiana continua es la solución de la ecuación de difusión continua. ^{[10] [11]}

Aplicaciones

Las funciones gaussianas aparecen en muchos contextos en las ciencias naturales , las ciencias sociales , las matemáticas y la ingeniería . Algunos ejemplos incluyen:

• En estadística y teoría de la probabilidad , las funciones gaussianas aparecen como la función de densidad de la distribución normal , que es una distribución de probabilidad límite de sumas complicadas, según el teorema del límite central .
• Las funciones gaussianas son la función de Green para la ecuación de difusión (homogénea e isotrópica) (y para la ecuación de calor , que es lo mismo), una ecuación diferencial parcial que describe la evolución temporal de una densidad de masa bajo difusión . Específicamente, si la densidad de masa en el momento t = 0 viene dada por un delta de Dirac , lo que esencialmente significa que la masa se concentra inicialmente en un solo punto, entonces la distribución de masa en el momento t estará dada por una función gaussiana, con estando el parámetro a linealmente relacionado con 1/ √ t y c estando linealmente relacionado con √ t ; esta gaussiana variable en el tiempo se describe mediante el núcleo de calor . De manera más general, si la densidad de masa inicial es φ ( x ), entonces la densidad de masa en momentos posteriores se obtiene tomando la convolución de φ con una función gaussiana. La convolución de una función con una gaussiana también se conoce como transformada de Weierstrass .
• Una función gaussiana es la función de onda del estado fundamental del oscilador armónico cuántico .
• Los orbitales moleculares utilizados en química computacional pueden ser combinaciones lineales de funciones gaussianas llamadas orbitales gaussianos (ver también conjunto de bases (química) ).
• Matemáticamente, las derivadas de la función gaussiana se pueden representar mediante funciones de Hermite . Para la varianza unitaria, la n -ésima derivada del gaussiano es la propia función gaussiana multiplicada por el n -ésimo polinomio de Hermite , hasta la escala.
• En consecuencia, las funciones gaussianas también están asociadas con el estado de vacío en la teoría cuántica de campos .
• Los haces gaussianos se utilizan en sistemas ópticos, sistemas de microondas y láseres.
• En la representación del espacio a escala , las funciones gaussianas se utilizan como núcleos de suavizado para generar representaciones de múltiples escalas en visión por computadora y procesamiento de imágenes . En concreto, las derivadas de las gaussianas ( funciones de Hermite ) se utilizan como base para definir una gran cantidad de tipos de operaciones visuales.
• Las funciones gaussianas se utilizan para definir algunos tipos de redes neuronales artificiales .
• En microscopía de fluorescencia se utiliza una función gaussiana 2D para aproximar el disco de Airy , describiendo la distribución de intensidad producida por una fuente puntual .
• En el procesamiento de señales sirven para definir filtros gaussianos , como en el procesamiento de imágenes donde se utilizan gaussianos 2D para desenfoques gaussianos . En el procesamiento de señales digitales , se utiliza un núcleo gaussiano discreto , que puede definirse mediante muestreo de un gaussiano, o de una manera diferente.
• En geoestadística se han utilizado para comprender la variabilidad entre los patrones de una imagen de entrenamiento compleja. Se utilizan con métodos del kernel para agrupar los patrones en el espacio de características. ^[12]

Ver también

• Distribución normal
• Distribución de Cauchy
• Núcleo de función de base radial

Referencias

1. Escuderos, GL (30 de agosto de 2001). Física Práctica (4 ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. doi :10.1017/cbo9781139164498. ISBN 978-0-521-77940-1.
2. Weisstein, Eric W. "Transformada de Fourier - Gaussiana". MundoMatemático . Consultado el 19 de diciembre de 2013 .
3. Nawri, Nikolai. "Berechnung von Kovarianzellipsen" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 14 de agosto de 2019 . Consultado el 14 de agosto de 2019 .
4. Padre, A., M. Morin y P. Lavigne. "Propagación de distribuciones de campo supergaussianas". Electrónica óptica y cuántica 24.9 (1992): S1071 – S1079.
5. "Manual de comandos del software óptico GLAD, Entrada al comando GAUSSIAN" (PDF) . Investigación en Óptica Aplicada . 2016-12-15.
6. Caruana, Richard A.; Searle, Roger B.; Heller, Thomas.; Shupack, Saúl I. (1986). "Algoritmo rápido para la resolución de espectros". Química analítica . Sociedad Química Estadounidense (ACS). 58 (6): 1162-1167. doi :10.1021/ac00297a041. ISSN  0003-2700.
7. Hongwei Guo, "Un algoritmo simple para ajustar una función gaussiana", IEEE Sign. Proc. revista 28(9): 134-137 (2011).
8. N. Hagen, M. Kupinski y EL Dereniak, "Estimación del perfil gaussiano en una dimensión", Appl. Optar. 46:5374–5383 (2007)
9. N. Hagen y EL Dereniak, "Estimación del perfil gaussiano en dos dimensiones", Appl. Optar. 47:6842–6851 (2008)
10. Lindeberg, T., "Espacio de escala para señales discretas", PAMI(12), núm. 3, marzo de 1990, págs.
11. Campbell, J, 2007, El modelo SMM como problema de valor límite utilizando la ecuación de difusión discreta , Theor Popul Biol. Diciembre de 2007; 72 (4): 539–46.
12. Honarkhah, M y Caers, J, 2010, Simulación estocástica de patrones mediante modelado de patrones basado en distancia , Geociencias matemáticas, 42: 487–517

enlaces externos

• Mathworld, incluye una prueba de las relaciones entre c y FWHM
• "Integración de la curva de campana". MathPages.com .
• Implementación de Haskell, Erlang y Perl de la distribución gaussiana
• Bensimhoun Michael, Función acumulativa N-dimensional y otros datos útiles sobre gaussianas y densidades normales (2009)
• Código para ajustar gaussianos en ImageJ y Fiji.