En matemáticas , una distribución degenerada (a veces también distribución de Dirac ) es, según algunos, [1] una distribución de probabilidad en un espacio con apoyo solo en una variedad de dimensión inferior , y según otros [2] una distribución con apoyo solo en un único punto. Según la última definición, es una distribución determinista y toma un solo valor. Los ejemplos incluyen una moneda de dos caras y lanzar un dado cuyos lados muestran todos el mismo número. [2] [ mejor fuente necesaria ] Esta distribución satisface la definición de "variable aleatoria" aunque no parezca aleatoria en el sentido cotidiano de la palabra; por lo tanto, se considera degenerada . [ cita requerida ]
En el caso de una variable aleatoria de valor real, la distribución degenerada es una distribución de un punto , localizada en un punto k 0 en la línea real . [2] [ se necesita una mejor fuente ] La función de masa de probabilidad es igual a 1 en este punto y 0 en el resto. [ cita requerida ]
La distribución univariante degenerada puede verse como el caso límite de una distribución continua cuya varianza tiende a 0, lo que hace que la función de densidad de probabilidad sea una función delta en k 0 , con una altura infinita allí pero un área igual a 1. [ cita requerida ]
La función de distribución acumulativa de la distribución degenerada univariante es:
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En teoría de la probabilidad , una variable aleatoria constante es una variable aleatoria discreta que toma un valor constante , independientemente de cualquier evento que ocurra. Esto es técnicamente diferente de una variable aleatoria casi seguramente constante , que puede tomar otros valores, pero solo en eventos con probabilidad cero. Las variables aleatorias constantes y casi seguramente constantes, que tienen una distribución degenerada, brindan una forma de tratar con valores constantes en un marco probabilístico.
Sea X : Ω → R una variable aleatoria definida en un espacio de probabilidad (Ω, P ). Entonces X es una variable aleatoria casi seguramente constante si existe tal que
y además es una variable aleatoria constante si
Una variable aleatoria constante es casi seguramente constante, pero no necesariamente al revés , ya que si X es casi seguramente constante entonces puede existir γ ∈ Ω tal que X (γ) ≠ k 0 (pero entonces necesariamente Pr({γ}) = 0, de hecho Pr(X ≠ k 0 ) = 0).
Para efectos prácticos, la distinción entre que X sea constante o casi seguramente constante no es importante, ya que la función de distribución acumulativa F ( x ) de X no depende de si X es constante o "simplemente" casi seguramente constante. En cualquier caso,
La función F ( x ) es una función escalonada ; en particular, es una traducción de la función escalonada de Heaviside . [ cita requerida ]
La degeneración de una distribución multivariante en n variables aleatorias surge cuando el soporte se encuentra en un espacio de dimensión menor que n . [1] Esto ocurre cuando al menos una de las variables es una función determinista de las otras. Por ejemplo, en el caso de 2 variables supongamos que Y = aX + b para las variables aleatorias escalares X e Y y las constantes escalares a ≠ 0 y b ; aquí, conocer el valor de una de X o Y proporciona un conocimiento exacto del valor de la otra. Todos los puntos posibles ( x , y ) caen sobre la línea unidimensional y = ax + b . [ cita requerida ]
En general, cuando una o más de n variables aleatorias están determinadas linealmente de manera exacta por las otras, si existe la matriz de covarianza, su rango es menor que n [1] [ verificación necesaria ] y su determinante es 0, por lo que es semidefinida positiva pero no definida positiva, y la distribución de probabilidad conjunta es degenerada. [ cita necesaria ]
La degeneración también puede ocurrir incluso con covarianzas distintas de cero. Por ejemplo, cuando el escalar X se distribuye simétricamente alrededor de 0 e Y está dado exactamente por Y = X 2 , todos los puntos posibles ( x , y ) caen en la parábola y = x 2 , que es un subconjunto unidimensional del espacio bidimensional. [ cita requerida ]
