Distancia desde un punto a un plano

En el espacio euclidiano , la distancia de un punto a un plano es la distancia entre un punto dado y su proyección ortogonal en el plano, la distancia perpendicular al punto más cercano del plano.

Se puede encontrar comenzando con un cambio de variables que mueve el origen para que coincida con el punto dado y luego encontrando el punto en el plano desplazado que está más cerca del origen . El punto resultante tiene coordenadas cartesianas : ${\displaystyle ax+by+cz=d}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle \displaystyle x={\frac {ad}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle y={\frac {bd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle z={\frac {cd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$.

La distancia entre el origen y el punto es . ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

Conversión de un problema general en un problema de distancia desde el origen

Supongamos que deseamos encontrar el punto de un plano más cercano al punto ( ), donde el plano está dado por . Definimos , , y , para obtener como el plano expresado en términos de las variables transformadas. Ahora el problema se ha convertido en encontrar el punto más cercano en este plano al origen y su distancia al origen. El punto en el plano en términos de las coordenadas originales se puede encontrar a partir de este punto usando las relaciones anteriores entre y , entre y , y entre y ; la distancia en términos de las coordenadas originales es la misma que la distancia en términos de las coordenadas revisadas. ${\displaystyle X_{0},Y_{0},Z_{0}}$ ${\displaystyle aX+bY+cZ=D}$ ${\displaystyle x=X-X_{0}}$ ${\displaystyle y=Y-Y_{0}}$ ${\displaystyle z=Z-Z_{0}}$ ${\displaystyle d=D-aX_{0}-bY_{0}-cZ_{0}}$ ${\displaystyle ax+by+cz=d}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle Z}$

Reformulación usando álgebra lineal

La fórmula para el punto más cercano al origen se puede expresar de manera más sucinta usando notación del álgebra lineal . La expresión en la definición de plano es un producto escalar y la expresión que aparece en la solución es la norma al cuadrado . Por lo tanto, si es un vector dado, el plano puede describirse como el conjunto de vectores para los cuales y el punto más cercano en este plano al origen es el vector. ${\displaystyle ax+by+cz}$ ${\displaystyle (a,b,c)\cdot (x,y,z)}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ ${\displaystyle |(a,b,c)|^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =(a,b,c)}$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =d}$

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\mathbf {v} d}{|\mathbf {v} |^{2}}}}$. ^{[1] [2]}

La distancia euclidiana del origen al plano es la norma de este punto,

${\displaystyle {\frac {|d|}{|\mathbf {v} |}}={\frac {|d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$.

¿Por qué este es el punto más cercano?

Ya sea en la formulación de coordenadas o de vectores, se puede verificar que el punto dado se encuentra en el plano dado ingresando el punto en la ecuación del plano.

Para ver que es el punto más cercano al origen del plano, observe que es un múltiplo escalar del vector que define el plano y, por tanto, es ortogonal al plano. Por lo tanto, si hay algún punto en el plano distinto de él mismo, entonces la línea se divide desde el origen hacia y desde para formar un triángulo rectángulo , y según el teorema de Pitágoras la distancia desde el origen hasta es ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\sqrt {|\mathbf {p} |^{2}+|\mathbf {p} -\mathbf {q} |^{2}}}}$.

Como debe ser un número positivo, esta distancia es mayor que , la distancia desde el origen hasta . ^[2] ${\displaystyle |\mathbf {p} -\mathbf {q} |^{2}}$ ${\displaystyle |\mathbf {p} |}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

Alternativamente, es posible reescribir la ecuación del plano usando productos escalares con en lugar del producto escalar original con (porque estos dos vectores son múltiplos escalares entre sí), después de lo cual el hecho de que sea el punto más cercano se convierte en una consecuencia inmediata de la desigualdad de Cauchy-Schwarz . ^[1] ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

Punto más cercano y distancia para un hiperplano y un punto arbitrario

La ecuación vectorial para un hiperplano en un espacio euclidiano de dimensiones que pasa por un punto con vector normal es o donde . ^[3] La forma cartesiana correspondiente es donde . ^[3] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} \neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {a} =d}$ ${\displaystyle d=\mathbf {p} \cdot \mathbf {a} }$ ${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=d}$ ${\displaystyle d=\mathbf {p} \cdot \mathbf {a} =a_{1}p_{1}+a_{2}p_{2}+\cdots a_{n}p_{n}}$

El punto más cercano en este hiperplano a un punto arbitrario es ${\displaystyle \mathbf {y} }$

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {y} -\left[{\dfrac {(\mathbf {y} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} }{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a} =\mathbf {y} -\left[{\dfrac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d}{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a} }$

y la distancia desde al hiperplano es ${\displaystyle \mathbf {y} }$

${\displaystyle \left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|=\left\|\left[{\dfrac {(\mathbf {y} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} }{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a} \right\|={\dfrac {\left|(\mathbf {y} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} \right|}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\dfrac {\left|\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d\right|}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}}$. ^[3]

Escrito en forma cartesiana, el punto más cercano viene dado por donde ${\displaystyle x_{i}=y_{i}-ka_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle k={\dfrac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d}{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\dfrac {a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+\cdots a_{n}y_{n}-d}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots a_{n}^{2}}}}$,

y la distancia desde al hiperplano es ${\displaystyle \mathbf {y} }$

${\displaystyle {\dfrac {\left|a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+\cdots a_{n}y_{n}-d\right|}{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots a_{n}^{2}}}}}$.

Así, en el punto de un plano más cercano a un punto arbitrario viene dado por ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle ax+by+cz=d}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}x=x_{1}-ka\\y=y_{1}-kb\\z=z_{1}-kc\end{array}}\right\}}$

dónde

${\displaystyle k={\dfrac {ax_{1}+by_{1}+cz_{1}-d}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$,

y la distancia del punto al plano es

${\displaystyle {\dfrac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}-d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$.

Ver también

• Distancia de un punto a una recta
• Forma normal de Hesse
• Líneas sesgadas § Distancia

Referencias

1. Strang, Gilbert; Borre, Kai (1997), Álgebra lineal, geodesia y GPS, SIAM, págs. 22-23, ISBN 9780961408862.
2. Shifrin, Ted; Adams, Malcolm (2010), Álgebra lineal: un enfoque geométrico (2ª ed.), Macmillan, p. 32, ISBN 9781429215213.
3. Cheney, sala; Kincaid, David (2010). Álgebra lineal: teoría y aplicaciones . Editores Jones y Bartlett. págs.450, 451. ISBN 9781449613525.