Dispersión caótica

La dispersión caótica es una rama de la teoría del caos que trata de sistemas de dispersión que muestran una fuerte sensibilidad a las condiciones iniciales . En un sistema de dispersión clásico habrá uno o más parámetros de impacto , b , en los que una partícula es enviada al dispersor. Esto da lugar a uno o más parámetros de salida, y , a medida que la partícula sale hacia el infinito. Mientras la partícula atraviesa el sistema, también puede haber un tiempo de retardo , T (el tiempo que tarda la partícula en salir del sistema) además de la distancia recorrida, s . En ciertos sistemas (por ejemplo, sistemas "similares al billar" en los que la partícula sufre colisiones sin pérdidas con objetos duros y fijos), los dos serán equivalentes (véase más abajo). En un sistema de dispersión caótica, un cambio minúsculo en el parámetro de impacto puede dar lugar a un cambio muy grande en los parámetros de salida.

Sistema Gaspard-Rice

Fig. 1: Diagrama del sistema de dispersión de Gaspard-Rice que muestra los principales parámetros.

Un excelente ejemplo de sistema es el sistema de dispersión "Gaspard-Rice" (GR) ^[1] —también conocido simplemente como el sistema de "tres discos"—, que incorpora muchos de los conceptos importantes de la dispersión caótica y, al mismo tiempo, es simple y fácil de entender y simular. El concepto es muy simple: tenemos tres discos duros dispuestos en una formación triangular, se envía una partícula puntual y sufre colisiones elásticas perfectas hasta que sale hacia el infinito. En este análisis, solo consideraremos sistemas GR que tengan discos de igual tamaño, igualmente espaciados alrededor de los puntos de un triángulo equilátero.

La figura 1 ilustra este sistema, mientras que la figura 2 muestra dos trayectorias de ejemplo. Nótese primero que las trayectorias rebotan alrededor del sistema durante algún tiempo antes de finalmente salir. Nótese también que si consideramos que los parámetros de impacto son el comienzo de las dos líneas perfectamente horizontales de la izquierda (el sistema es completamente reversible: el punto de salida también podría ser el punto de entrada), las dos trayectorias están inicialmente tan cerca que son casi idénticas. Para cuando salen, son completamente diferentes, lo que ilustra la fuerte sensibilidad a las condiciones iniciales. Este sistema se utilizará como ejemplo a lo largo del artículo.

Fig. 2: Sistema de dispersión de Gaspard-Rice que muestra sensibilidad a las condiciones iniciales.

Tasa de decaimiento

Si introducimos una gran cantidad de partículas con parámetros de impacto distribuidos uniformemente, la velocidad a la que salen del sistema se conoce como tasa de desintegración. Podemos calcular la tasa de desintegración simulando el sistema a lo largo de muchos ensayos y formando un histograma del tiempo de retardo, T . Para el sistema GR, es fácil ver que el tiempo de retardo y la longitud de la trayectoria de la partícula son equivalentes, excepto por un coeficiente de multiplicación. Una opción típica para el parámetro de impacto es la coordenada y , mientras que el ángulo de la trayectoria se mantiene constante en cero grados (horizontal). Mientras tanto, decimos que la partícula ha "salido del sistema" una vez que pasa un borde a una distancia arbitraria, pero suficientemente grande, del centro del sistema.

Esperamos que el número de partículas restantes en el sistema, N(T) , varíe como:

${\displaystyle N(T)\sim e^{-\gamma T}}$

Por lo tanto, la tasa de desintegración , , se da como: ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }-{\frac {\ln N(T)}{T}}}$

donde n es el número total de partículas. ^[2]

La figura 3 muestra un gráfico de la longitud de la trayectoria en función del número de partículas para una simulación de un millón (1e6) de partículas iniciadas con un parámetro de impacto aleatorio, b . Se superpone una línea recta ajustada de pendiente negativa . La longitud de la trayectoria, s , es equivalente al tiempo de decaimiento, T , siempre que escalemos la velocidad (constante) de forma adecuada. Nótese que una tasa de decaimiento exponencial es una propiedad específica de la dispersión caótica hiperbólica. Los dispersores no hiperbólicos pueden tener una tasa de decaimiento aritmética. ^[3] ${\displaystyle \gamma =0.739}$

Fig. 3: Tasa de desintegración del sistema de dispersión de Gaspard-Rice.

Un sistema experimental y la variedad estable

Fig. 4: Un sistema experimental de dispersión de Gaspard-Rice. ^[4]

La figura 4 muestra una realización experimental del sistema Gaspard-Rice utilizando un láser en lugar de una partícula puntual. Como cualquiera que haya probado esto sabe, este no es un método muy eficaz para probar el sistema: el haz láser se dispersa en todas las direcciones. Como muestran Sweet, Ott y Yorke ^[5] , un método más eficaz es dirigir luz de color a través de los espacios entre los discos (o en este caso, pegar tiras de papel de colores a través de pares de cilindros) y ver los reflejos a través de un espacio abierto. El resultado es un patrón complejo de rayas de color alternado, como se muestra a continuación, que se ve más claramente en la versión simulada que aparece a continuación.

Las figuras 5 y 6 muestran las cuencas de atracción para cada parámetro de impacto, b , es decir, para un valor dado de b , ¿por qué hueco sale la partícula? Los límites de las cuencas forman un conjunto de Cantor y representan miembros de la variedad estable : trayectorias que, una vez iniciadas, nunca salen del sistema.

Fig. 5: Un sistema de dispersión experimental de Gaspard-Rice que muestra cuencas de atracción. ^[4]

Fig. 6: Simulación del sistema de dispersión de Gaspard-Rice que muestra cuencas de atracción. ^[4]

El conjunto invariante y la dinámica simbólica

Fig. 7: Posibles variables para representar el sistema Gaspard-Rice como un mapa de funciones iteradas. ^[6]

Mientras sea simétrico, podemos pensar fácilmente en el sistema como un mapa de función iterada , un método común para representar un sistema dinámico caótico. ^[7] La ​​Figura 7 muestra una posible representación de las variables, con la primera variable, , representando el ángulo alrededor del disco en el rebote y la segunda, , representando el ángulo de impacto/rebote relativo al disco. Un subconjunto de estas dos variables, llamado el conjunto invariante se mapeará sobre sí mismo. Este conjunto, cuatro miembros del cual se muestran en las Figuras 8 y 9, será fractal , totalmente no atractivo y de medida cero. Esta es una inversión interesante de los sistemas caóticos más normalmente discutidos en los que el conjunto invariante fractal es atractivo y de hecho comprende la(s) cuenca(s) de atracción. Nótese que la naturaleza totalmente no atractiva del conjunto invariante es otra propiedad de un dispersor caótico hiperbólico. ${\displaystyle \theta \in [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle \phi \in [-\pi /2,\pi /2]}$

Fig. 8: Cuatro miembros del conjunto invariante del sistema Gaspard–Rice.

Fig. 9: Cuatro miembros del conjunto invariante del sistema Gaspard-Rice, iterados hacia adelante en el tiempo.

Cada miembro del conjunto invariante puede modelarse mediante dinámica simbólica : la trayectoria se etiqueta en función de cada uno de los discos de los que rebota. El conjunto de todas esas secuencias forma un conjunto incontable . ^[8] Para los cuatro miembros que se muestran en las figuras 8 y 9, la dinámica simbólica será la siguiente: ^[3]

...121212121212......232323232323......313131313131......123123123123...

Los miembros de la variedad estable pueden representarse de la misma manera, excepto que cada secuencia tendrá un punto de partida. Cuando se considera que un miembro del conjunto invariante debe "encajar" en los límites entre dos cuencas de atracción, es evidente que, si se perturba, la trayectoria puede salir en cualquier lugar a lo largo de la secuencia. Por lo tanto, también debería ser evidente que existirá un número infinito de cuencas alternadas de los tres "colores" entre cualquier límite dado. ^{[2] [3] [8]}

Debido a su naturaleza inestable, es difícil acceder directamente a los miembros del conjunto invariante o de la variedad estable. El exponente de incertidumbre está idealmente diseñado para medir la dimensión fractal de este tipo de sistema. Una vez más, utilizando el parámetro de impacto único, b , realizamos múltiples pruebas con parámetros de impacto aleatorios, perturbándolos en una cantidad mínima, , y contando con qué frecuencia cambia el número de rebotes de los discos, es decir, la fracción de incertidumbre. Nótese que, aunque el sistema es bidimensional, un solo parámetro de impacto es suficiente para medir la dimensión fractal de la variedad estable. Esto se demuestra en la Figura 10, que muestra las cuencas de atracción graficadas como una función de un parámetro de impacto dual, y . La variedad estable, que se puede ver en los límites entre las cuencas, es fractal a lo largo de una sola dimensión. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

Fig. 10: Cuencas de atracción en función de los parámetros de impacto dual, y . ^[6] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

La figura 11 representa gráficamente la fracción de incertidumbre, f , como función de la incertidumbre, para un sistema Gaspard–Rice simulado. La pendiente de la curva ajustada devuelve el exponente de incertidumbre, , por lo que la dimensión de recuento de cajas de la variedad estable es, . El conjunto invariante es la intersección de las variedades estable e inestable . ^[9] ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \gamma =0.380}$ ${\displaystyle D_{0}=N-\gamma =2-0.380=1.62}$

Como el sistema es el mismo ya sea que se ejecute hacia adelante o hacia atrás, la variedad inestable es simplemente la imagen especular de la variedad estable y sus dimensiones fractales serán iguales. ^[8] Sobre esta base podemos calcular la dimensión fractal del conjunto invariante: ^[2]

${\displaystyle D=D_{s}+D_{u}-N=2D_{s}-N=N-2\gamma }$

donde D_s y D_u son las dimensiones fractales de las variedades estable e inestable, respectivamente y N = 2 es la dimensionalidad del sistema. La dimensión fractal del conjunto invariante es D = 1,24.

Fig. 10: Gráfico de la fracción de incertidumbre del sistema de dispersión de Gaspard-Rice, con ajuste de línea recta, que da el exponente de incertidumbre .

Relación entre la dimensión fractal, la tasa de decaimiento y los exponentes de Lyapunov

De la discusión anterior, debería resultar evidente que la tasa de decaimiento, la dimensión fractal y los exponentes de Lyapunov están todos relacionados. El gran exponente de Lyapunov, por ejemplo, nos dice qué tan rápido divergirá una trayectoria en el conjunto invariante si se perturba. De manera similar, la dimensión fractal nos dará información sobre la densidad de órbitas en el conjunto invariante. Por lo tanto, podemos ver que ambos afectarán la tasa de decaimiento, como se captura en la siguiente conjetura para un sistema de dispersión bidimensional: ^[2]

${\displaystyle D_{1}=\left(h_{1}-{\frac {1}{\gamma }}\right)\left({\frac {1}{h_{1}}}-{\frac {1}{h_{2}}}\right)}$

donde D ₁ es la dimensión de información y h ₁ y h ₂ son los exponentes de Lyapunov pequeño y grande, respectivamente. Para un atractor, y se reduce a la conjetura de Kaplan-Yorke . ^[2] ${\displaystyle \gamma =\infty }$

Véase también

• Lagos de Wada
• exponente de incertidumbre

Referencias

1. Gaspard, Pierre; Rice, Stuart A. (15 de febrero de 1989). "Dispersión de un repelente caótico clásico". The Journal of Chemical Physics . 90 (4). AIP Publishing: 2225–2241. doi :10.1063/1.456017. ISSN  0021-9606.
2. Edward Ott (1993). Caos en sistemas dinámicos . Cambridge University Press .
3. Yalçinkaya, Tolga; Lai, Ying-Cheng (1995). "Dispersión caótica". Computadoras en Física . 9 (5). AIP Publishing: 511–518. doi : 10.1063/1.168549 . ISSN  0894-1866.
4. Peter Mills (2000). Investigación de un sistema experimental de dispersión caótica clásica (informe técnico). Universidad de Waterloo.
5. David Sweet, Edward Ott y James A. Yorke. "Topología compleja en dispersión caótica: una observación de laboratorio". Nature . 399 : 313.
6. Peter Mills (1998). Dispersión caótica ruidosa (tesis). Universidad de Waterloo.
7. Denny Gulick (1992). Encuentros con el caos . McGraw-Hill .
8. Bleher, Siegfried; Grebogi, Celso ; Ott, Edward (1990). "Bifurcación a dispersión caótica". Physica D: Fenómenos no lineales . 46 (1). Elsevier BV: 87–121. doi :10.1016/0167-2789(90)90114-5. ISSN  0167-2789.
9. Ott, Edward; Tél, Tamás (1993). "Dispersión caótica: una introducción" (PDF) . Caos: una revista interdisciplinaria de ciencia no lineal . 3 (4). AIP Publishing: 417–426. doi :10.1063/1.165949. ISSN  1054-1500. PMID  12780049.

Enlaces externos

• Software para simular el sistema Gaspard-Rice
• Una simulación del sistema Gaspard-Rice y su dinámica simbólica, de Chaos V: Duhem's Bull