Principio de D'Alembert

Enunciado en mecánica clásica

Tratado de dinámica de Jean Le Rond d'Alembert , 1743. En él, el erudito francés enunció el principio de la cantidad de movimiento, también conocido como "principio de D'Alembert".

Juan de Alembert (1717-1783)

El principio de D'Alembert , también conocido como principio de Lagrange-d'Alembert , es un enunciado de las leyes clásicas fundamentales del movimiento. Recibe su nombre en honor a su descubridor, el físico y matemático francés Jean le Rond d'Alembert , y al matemático ítalo-francés Joseph Louis Lagrange . El principio de D'Alembert generaliza el principio del trabajo virtual de sistemas estáticos a dinámicos mediante la introducción de fuerzas de inercia que, cuando se suman a las fuerzas aplicadas en un sistema, dan como resultado el equilibrio dinámico . ^{[1] [2]}

El principio de D'Alembert se puede aplicar en casos de restricciones cinemáticas que dependen de velocidades. ^{[1] : 92} El principio no se aplica a desplazamientos irreversibles, como la fricción por deslizamiento , y se requiere una especificación más general de la irreversibilidad. ^{[3] [4]}

Declaración del principio

El principio establece que la suma de las diferencias entre las fuerzas que actúan sobre un sistema de partículas masivas y las derivadas temporales de los momentos del propio sistema proyectados sobre cualquier desplazamiento virtual consistente con las restricciones del sistema es cero. ^{[ aclaración necesaria ]} Por lo tanto, en notación matemática, el principio de d'Alembert se escribe de la siguiente manera: $${\displaystyle \sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}-{\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0,}$$

dónde:

• ${\displaystyle i}$es un número entero utilizado para indicar (mediante subíndice) una variable correspondiente a una partícula particular en el sistema,
• ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$es la fuerza total aplicada (excluyendo las fuerzas de restricción) sobre la partícula -ésima, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle m_{i}}$es la masa de la partícula -ésima, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$es la velocidad de la partícula -ésima, ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$es el desplazamiento virtual de la partícula -ésima, consistente con las restricciones. ${\displaystyle i}$

La notación de puntos de Newton se utiliza para representar la derivada con respecto al tiempo. La ecuación anterior se suele denominar principio de d'Alembert, pero fue escrita por primera vez en esta forma variacional por Joseph Louis Lagrange . ^[5] La contribución de D'Alembert fue demostrar que en la totalidad de un sistema dinámico las fuerzas de restricción se desvanecen. Es decir, las fuerzas generalizadas no necesitan incluir fuerzas de restricción. Es equivalente al principio de Gauss de mínima restricción, algo más engorroso . ${\displaystyle \mathbf {Q} _{j}}$

Derivaciones

Caso general con masa variable

El enunciado general del principio de d'Alembert menciona "las derivadas temporales de los momentos del sistema". Según la segunda ley de Newton, la primera derivada temporal del momento es la fuerza. El momento de la masa -ésima es el producto de su masa por su velocidad: y su derivada temporal es ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle \mathbf {p} _{i}=m_{i}\mathbf {v} _{i}}$$ $${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}_{i}={\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i}+m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}.}$$

En muchas aplicaciones, las masas son constantes y esta ecuación se reduce a $${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}_{i}=m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}=m_{i}\mathbf {a} _{i}.}$$

Sin embargo, algunas aplicaciones implican cambios de masas (por ejemplo, cadenas que se enrollan o desenrollan) y en esos casos ambos términos y tienen que permanecer presentes, dando ${\displaystyle {\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i}}$ ${\displaystyle m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}}$ $${\displaystyle \sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i}-{\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.}$$

Caso especial con masa constante

Considere la ley de Newton para un sistema de partículas de masa constante, . La fuerza total sobre cada partícula es ^[6] donde ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}=m_{i}\mathbf {a} _{i},}$$

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}}$son las fuerzas totales que actúan sobre las partículas del sistema,
• ${\displaystyle m_{i}\mathbf {a} _{i}}$son las fuerzas inerciales que resultan de las fuerzas totales.

Mover las fuerzas inerciales hacia la izquierda da una expresión que puede considerarse como una representación del equilibrio cuasiestático, pero que en realidad es sólo una pequeña manipulación algebraica de la ley de Newton: ^[6] $${\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}-m_{i}\mathbf {a} _{i}=\mathbf {0} .}$$

Considerando el trabajo virtual , , realizado por las fuerzas totales e inerciales juntas a través de un desplazamiento virtual arbitrario, , del sistema, se llega a una identidad cero, ya que las fuerzas involucradas suman cero para cada partícula. ^[6] ${\displaystyle \delta W}$ ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$

$${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\sum _{i}m_{i}\mathbf {a} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$$

La ecuación vectorial original se podría recuperar reconociendo que la expresión de trabajo debe ser válida para desplazamientos arbitrarios. Al separar las fuerzas totales en fuerzas aplicadas, , y fuerzas de restricción, , se obtiene ^[6] ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} _{i}}$ $${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\sum _{i}m_{i}\mathbf {a} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.}$$

Si se supone que los desplazamientos virtuales arbitrarios están en direcciones ortogonales a las fuerzas de restricción (lo que no suele ser el caso, por lo que esta derivación funciona solo para casos especiales), las fuerzas de restricción no realizan ningún trabajo, . Se dice que tales desplazamientos son consistentes con las restricciones. ^[7] Esto conduce a la formulación del principio de d'Alembert , que establece que la diferencia de fuerzas aplicadas y fuerzas inerciales para un sistema dinámico no realiza trabajo virtual: ^[6] ${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$ $${\displaystyle \delta W=\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.}$$

También existe un principio correspondiente para los sistemas estáticos llamado principio de trabajo virtual para fuerzas aplicadas .

Principio de fuerzas inerciales de D'Alembert

D'Alembert demostró que se puede transformar un cuerpo rígido en aceleración en un sistema estático equivalente añadiendo la llamada " fuerza inercial " y el "par inercial" o momento. La fuerza inercial debe actuar a través del centro de masas y el par inercial puede actuar en cualquier lugar. El sistema puede entonces analizarse exactamente como un sistema estático sometido a esta "fuerza y ​​momento inerciales" y a las fuerzas externas. La ventaja es que en el sistema estático equivalente se pueden tomar momentos respecto a cualquier punto (no sólo el centro de masas). Esto a menudo conduce a cálculos más sencillos porque cualquier fuerza (a su vez) puede eliminarse de las ecuaciones de momento eligiendo el punto apropiado sobre el que aplicar la ecuación de momento (suma de momentos = cero). Incluso en el curso Fundamentos de dinámica y cinemática de máquinas, este principio ayuda a analizar las fuerzas que actúan sobre un eslabón de un mecanismo cuando está en movimiento. En los libros de texto de dinámica de ingeniería, a veces se hace referencia a esto como el principio de D'Alembert .

Algunos educadores advierten que los intentos de utilizar la mecánica inercial de d'Alembert llevan a los estudiantes a cometer frecuentes errores de signo. ^[8] Una causa potencial de estos errores es el signo de las fuerzas inerciales . Las fuerzas inerciales se pueden utilizar para describir una fuerza aparente en un marco de referencia no inercial que tiene una aceleración con respecto a un marco de referencia inercial . En un marco de referencia no inercial de este tipo, una masa que está en reposo y tiene aceleración cero en un sistema de referencia inercial, porque no actúan fuerzas sobre ella, seguirá teniendo una aceleración y una fuerza inercial aparente, o pseudo o ficticia , parecerá actuar sobre ella: en esta situación, la fuerza inercial tiene un signo menos. ^[8] ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle -\mathbf {a} }$ ${\displaystyle -m\mathbf {a} }$

Equilibrio dinámico

La forma de D'Alembert del principio del trabajo virtual establece que un sistema de cuerpos rígidos está en equilibrio dinámico cuando el trabajo virtual de la suma de las fuerzas aplicadas y las fuerzas inerciales es cero para cualquier desplazamiento virtual del sistema. Por lo tanto, el equilibrio dinámico de un sistema de cuerpos rígidos con coordenadas generalizadas requiere para cualquier conjunto de desplazamientos virtuales que sea una fuerza aplicada generalizada y que sea una fuerza de inercia generalizada. Esta condición produce ecuaciones, que también se pueden escribir como El resultado es un conjunto de m ecuaciones de movimiento que definen la dinámica del sistema de cuerpo rígido. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle \delta W=\left(Q_{1}+Q_{1}^{*}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(Q_{m}+Q_{m}^{*}\right)\delta q_{m}=0,}$$ ${\displaystyle \delta q_{j}}$ ${\displaystyle Q_{j}}$ ${\displaystyle Q_{j}^{*}}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

Formulación utilizando el Lagrangiano

El principio de D'Alembert puede reescribirse en términos del lagrangiano L=TV del sistema como una versión generalizada del principio de Hamilton de la siguiente manera, donde: $${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)dt+\sum _{i}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt=0,}$$

• ${\displaystyle \mathbf {r} =(\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{N})}$

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$son las fuerzas aplicadas

• ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$es el desplazamiento virtual de la partícula -ésima, consistente con las restricciones ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$
• La curva crítica satisface las restricciones ${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=0}$

Con el Lagrangiano se recupera el enunciado anterior del principio de d’Alembert. $${\displaystyle L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}^{2},}$$

Generalización para la termodinámica

Una extensión del principio de d'Alembert se puede utilizar en termodinámica. ^[4] Por ejemplo, para un sistema termodinámico adiabáticamente cerrado descrito por un lagrangiano que depende de una única entropía S y con masas constantes , tal como se escribe de la siguiente manera donde las restricciones anteriores y se generalizan para involucrar la entropía como: ${\displaystyle m_{i}}$ $${\displaystyle L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},S,t)=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}^{2}-V(\mathbf {r} ,S),}$$ $${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},S,t)dt+\sum _{i}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt=0,}$$ ${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$ ${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=0}$

• ${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+T\delta S=0}$
• ${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}+T{\dot {S}}=0.}$

Aquí se muestra la temperatura del sistema, las fuerzas externas y las fuerzas disipativas internas. Se obtienen las ecuaciones de equilibrio mecánico y térmico: ^[4] Las aplicaciones típicas del principio incluyen sistemas termomecánicos, transporte por membranas y reacciones químicas. ${\displaystyle T=\partial V/\partial S}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} _{i}}$ $${\displaystyle m_{i}\mathbf {a} _{i}=-{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {r} _{i}}}+\mathbf {C} _{i}+\mathbf {F} _{i},\;\;i=1,...,N\qquad \qquad T{\dot {S}}=-\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}.}$$

Para el clásico se recuperan el principio de d’Alembert y sus ecuaciones. ${\displaystyle \delta S={\dot {S}}=0}$

Referencias

1. Lanczos, Cornelius (1964). Principios variacionales de la mecánica. Toronto, University of Toronto Press. pág. 92.
2. d'Alembert, Jean le Rond (1743). Traité de dynamique. págs. 50–51.
3. Udwadia, FE; Kalaba, RE (2002). "Sobre los fundamentos de la dinámica analítica" (PDF) . Revista internacional. Mecánica no lineal . 37 (6): 1079–1090. Código bibliográfico :2002IJNLM..37.1079U. CiteSeerX 10.1.1.174.5726 . doi :10.1016/S0020-7462(01)00033-6. Archivado desde el original (PDF) el 13 de junio de 2010. 
4. Gay-Balmaz, François; Yoshimura, Hiroaki (2018). "De la mecánica lagrangiana a la termodinámica del no equilibrio: una perspectiva variacional". Entropía . 21 (1): 8. arXiv : 1904.03738 . Bibcode :2018Entrp..21....8G. doi : 10.3390/e21010008 . ISSN  1099-4300. PMC 7514189 . PMID  33266724. 
5. Arnold Sommerfeld (1956), Mecánica: conferencias sobre física teórica , vol. 1, pág. 53
6. Torby, Bruce (1984). "Métodos de energía". Dinámica avanzada para ingenieros . Serie HRW en ingeniería mecánica. Estados Unidos de América: CBS College Publishing. ISBN 978-0-03-063366-9.
7. Jong, Ing-Chang (2005). "Mejora de la mecánica de materiales". Enseñanza de los estudiantes sobre el trabajo y el método de trabajo virtual en estática: una estrategia de orientación con ejemplos ilustrativos. Conferencia y exposición anual de la Sociedad Estadounidense de Educación en Ingeniería de 2005. Consultado el 24 de junio de 2014 .^{[ enlace muerto permanente ]}
8. Ruina, Andy L. y Rudra Pratap . Introducción a la estática y la dinámica. Preimpresión para Oxford University Press, 2008.