Contar es el proceso de determinar el número de elementos de un conjunto finito de objetos; es decir, determinar el tamaño de un conjunto. La forma tradicional de contar consiste en aumentar continuamente un contador (mental o hablado) en una unidad para cada elemento del conjunto, en algún orden, mientras se marcan (o desplazan) esos elementos para evitar visitar el mismo elemento más de una vez, hasta que no se dejan elementos sin marcar; si el contador se configuró en uno después del primer objeto, el valor después de visitar el objeto final da la cantidad deseada de elementos. El término relacionado enumeración se refiere a identificar de forma única los elementos de un conjunto finito (combinatorio) o infinito asignando un número a cada elemento.
A veces contar implica números distintos de uno; por ejemplo, al contar dinero, contar el cambio, "contar de dos en dos" (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...) o "contar de cinco en cinco" (5, 10, 15, 20, 25 ,...).
Hay evidencia arqueológica que sugiere que los humanos llevan contando desde hace al menos 50.000 años. [1] El conteo fue utilizado principalmente por las culturas antiguas para realizar un seguimiento de datos sociales y económicos, como el número de miembros del grupo, animales de presa, propiedades o deudas (es decir, contabilidad ). También se encontraron huesos con muescas en las cuevas fronterizas de Sudáfrica, lo que puede sugerir que los humanos conocían el concepto de contar ya en el año 44.000 a.C. [2] El desarrollo del conteo condujo al desarrollo de la notación matemática , los sistemas numéricos y la escritura .
El conteo verbal implica hablar números secuenciales en voz alta o mentalmente para seguir el progreso. Generalmente, dicho conteo se realiza con números de base 10 : "1, 2, 3, 4", etc. El conteo verbal se usa a menudo para objetos que están actualmente presentes en lugar de contar cosas a lo largo del tiempo, ya que después de una interrupción el conteo debe reanudarse desde donde quedó fuera, un número que hay que registrar o recordar.
Contar un pequeño conjunto de objetos, especialmente a lo largo del tiempo, se puede lograr de manera eficiente con marcas de conteo : hacer una marca para cada número y luego contar todas las marcas cuando termine de contar. El conteo es conteo en base 1 .
Contar con los dedos es conveniente y común para números pequeños. Los niños cuentan con los dedos para facilitar el conteo y realizar operaciones matemáticas simples. Los métodos más antiguos de contar con los dedos utilizaban los cuatro dedos y los tres huesos de cada dedo ( falanges ) para contar hasta doce. [3] También se utilizan otros sistemas de gestos con las manos, por ejemplo el sistema chino mediante el cual se puede contar hasta 10 utilizando sólo gestos de una mano. Con el binario de dedo es posible mantener un conteo de dedos hasta 1023 = 2 10 − 1 .
También se pueden utilizar diversos dispositivos para facilitar el conteo, como contadores y ábacos .
El conteo inclusivo/exclusivo son términos utilizados para contar intervalos. Para el conteo inclusivo el punto de partida es uno; para el conteo exclusivo el punto de partida es cero. El conteo inclusivo generalmente se encuentra cuando se trata del tiempo en los calendarios romanos y las lenguas romances . [4] En el antiguo calendario romano , los nones (que significa "nueve") están 8 días antes de los idus ; De manera más general, las fechas se especifican como días contados inclusive hasta el siguiente día indicado. [4] En el calendario litúrgico cristiano , Quinquagesima (que significa 50) es 49 días antes del Domingo de Pascua. Al contar "inclusive", el domingo (el día de inicio) será el día 1 y por tanto el domingo siguiente será el octavo día . Por ejemplo, la frase francesa para " quincena " es quinzaine (15 [días]), y palabras similares están presentes en griego (δεκαπενθήμερο, dekapenthímero ), español ( quincena ) y portugués ( quinzena ). Por el contrario, la palabra inglesa "fortnight" deriva de "a catorce noches", como lo hace el arcaico "sennight" de "a siete noches"; las palabras en inglés no son ejemplos de conteo inclusivo. En idiomas exclusivos de conteo como el inglés, al contar ocho días "a partir del domingo", el lunes será el día 1 , el martes el día 2 y el lunes siguiente será el octavo día . [ cita necesaria ] Durante muchos años, fue una práctica estándar en la ley inglesa que la frase "a partir de una fecha" significara "a partir del día siguiente a esa fecha": esta práctica ahora está en desuso debido al alto riesgo de malentendidos. [5]
Un recuento similar se aplica en el cómputo de edades del este de Asia , en el que se considera que los recién nacidos son 1 al nacer.
La terminología musical también utiliza el conteo inclusivo de intervalos entre notas de la escala estándar: subir una nota es un segundo intervalo, subir dos notas es un tercer intervalo, etc., y subir siete notas es una octava .
Aprender a contar es un hito educativo y de desarrollo importante en la mayoría de las culturas del mundo. Aprender a contar es el primer paso de un niño hacia las matemáticas y constituye la idea más fundamental de esa disciplina. Sin embargo, algunas culturas de la Amazonia y el interior de Australia no cuentan, [6] [7] y sus idiomas no tienen palabras numéricas.
Muchos niños con tan solo 2 años tienen cierta habilidad para recitar la lista de contar (es decir, decir “uno, dos, tres,…”). También pueden responder preguntas de ordinalidad para números pequeños, por ejemplo, "¿Qué viene después de tres ?". Incluso pueden tener la habilidad de señalar cada objeto de un conjunto y recitar las palabras una tras otra. Esto lleva a muchos padres y educadores a la conclusión de que el niño sabe contar para determinar el tamaño de un conjunto. [8] Las investigaciones sugieren que un niño tarda aproximadamente un año después de aprender estas habilidades para comprender lo que significan y por qué se realizan los procedimientos. [9] [10] Mientras tanto, los niños aprenden a nombrar cardinalidades que pueden subitizar .
En matemáticas, la esencia de contar un conjunto y encontrar un resultado n es que establece una correspondencia uno a uno (o biyección) del conjunto sujeto con el subconjunto de enteros positivos {1, 2,..., n }. Un hecho fundamental, que puede demostrarse mediante inducción matemática , es que no puede existir biyección entre {1, 2,..., n } y {1, 2,..., m } a menos que n = m ; este hecho (junto con el hecho de que se pueden componer dos biyecciones para dar otra biyección) garantiza que contar el mismo conjunto de diferentes maneras nunca pueda dar como resultado números diferentes (a menos que se cometa un error). Este es el teorema matemático fundamental que le da al conteo su propósito; como sea que cuentes un conjunto (finito), la respuesta es la misma. En un contexto más amplio, el teorema es un ejemplo de un teorema en el campo matemático de la combinatoria (finita) ; de ahí que a veces se haga referencia a la combinatoria (finita) como "las matemáticas del conteo".
Muchos conjuntos que surgen en matemáticas no permiten establecer una biyección con {1, 2,..., n } para cualquier número natural n ; estos se llaman conjuntos infinitos , mientras que aquellos conjuntos para los cuales existe tal biyección (para algunos n ) se llaman conjuntos finitos . Los conjuntos infinitos no se pueden contar en el sentido habitual; por un lado, los teoremas matemáticos que subyacen a este sentido habitual para conjuntos finitos son falsos para conjuntos infinitos. Además, diferentes definiciones de los conceptos en términos de los cuales se expresan estos teoremas, si bien son equivalentes para conjuntos finitos, no son equivalentes en el contexto de conjuntos infinitos.
La noción de contar puede extenderse a ellos en el sentido de establecer (la existencia de) una biyección con algún conjunto bien comprendido. Por ejemplo, si un conjunto se puede biyectar con el conjunto de todos los números naturales, entonces se llama " contablemente infinito ". Este tipo de conteo difiere fundamentalmente del conteo de conjuntos finitos, en que agregar nuevos elementos a un conjunto no necesariamente aumenta su tamaño, porque no se excluye la posibilidad de una biyección con el conjunto original. Por ejemplo, el conjunto de todos los números enteros (incluidos los números negativos) se puede biyectar con el conjunto de números naturales, e incluso conjuntos aparentemente mucho más grandes, como el de todas las secuencias finitas de números racionales, siguen siendo (sólo) contablemente infinitos. Sin embargo, hay conjuntos, como el conjunto de los números reales , que se puede demostrar que son "demasiado grandes" para admitir una biyección con los números naturales, y estos conjuntos se denominan " incontables ". Se dice que los conjuntos para los cuales existe una biyección entre ellos tienen la misma cardinalidad y, en el sentido más general, contar un conjunto puede significar determinar su cardinalidad. Más allá de las cardinalidades dadas por cada uno de los números naturales, existe una jerarquía infinita de cardinalidades infinitas, aunque sólo muy pocas cardinalidades de este tipo ocurren en las matemáticas ordinarias (es decir, fuera de la teoría de conjuntos que estudia explícitamente las posibles cardinalidades).
El conteo, principalmente de conjuntos finitos, tiene varias aplicaciones en matemáticas. Un principio importante es que si dos conjuntos X e Y tienen el mismo número finito de elementos, y se sabe que una función f : X → Y es inyectiva , entonces también es sobreyectiva , y viceversa. Un hecho relacionado se conoce como principio de casillero , que establece que si dos conjuntos X e Y tienen números finitos de elementos n y m con n > m , entonces cualquier aplicación f : X → Y no es inyectiva (por lo que existen dos elementos distintos). de X que f envía al mismo elemento de Y ); esto se sigue del principio anterior, ya que si f fuera inyectiva, entonces también lo sería su restricción a un subconjunto estricto S de X con m elementos, restricción que entonces sería sobreyectiva, contradiciendo el hecho de que para x en X fuera de S , f ( x ) no puede ser a imagen de la restricción. Argumentos de conteo similares pueden probar la existencia de ciertos objetos sin proporcionar un ejemplo explícito. En el caso de conjuntos infinitos esto puede aplicarse incluso en situaciones en las que es imposible dar un ejemplo. [ cita necesaria ]
El dominio de la combinatoria enumerativa se ocupa de calcular el número de elementos de conjuntos finitos, sin contarlos realmente; esto último suele ser imposible porque se consideran a la vez infinitas familias de conjuntos finitos, como el conjunto de permutaciones de {1, 2, ..., n } para cualquier número natural n .